1.2 矩形的性质与判定&专题一 直角三角形斜边上的中线性质的应用-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（北师大版）

第一章特殊平并四边形 第4课时1.2矩形的性质与判定(1) 课前预习 【思路点拨】过点P作PE⊥OA于点E,根据 等腰三角形的性质得出OE=ED,进而利用矩形的 1.矩形的定义：有一个角是 的平行四 性质解答即可。 边形叫做矩形 (2)如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,E 2.矩形的性质： 为AD边中点，连接BE,CE,则∠BEC=() (1)矩形是轴对称图形，它的对称轴有 条，分别是对边 所连线所在的直线： 矩形也是中心对称图形，其对称中心是两条 的交点： A.60°B.80 C.90 D.100° (2)矩形的四个角都是 【思路点拨】根据AD=2AB,E为AD边中点， (3)矩形的对角线 得到AE=AB,再根据矩形ABCD中∠A=∠ABC (4)矩形具有 的所有性质. 90°，得到∠ABE-∠AEB=45°，同理可得，∠DEC 3.直角三角形斜边上的中线等于 ∠DCE=45°，从商求得答案. 汤裸堂导入 针对训练 如图是一个可以活动的平行四边形教具，轻 1.如图，在一张长方形纸片上画一条线段 轻拉动一个点并观察， AB,将右侧部分纸片四边形ABCD沿线 段AB翻折至四边形ABC'D',若∠ABC =58°，则∠1的度数是 () A.60° B.64 C.42 D.52 (1)在拉动过程中，还是平行四边形吗？ (2)在拉动过程中，四边形不变的是什么？ 改变的是什么？ (3)当拉动到一个角是直角时，此时四边形 1题图 2题图 2.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一 是什么特殊四边形？ 点，且DE=DA,AF⊥DE,垂足为F,在下 裸堂探究 列结论中，不一定正确的是 A.△AFD≌△DCE B.AB=AF 探究一 矩形的边角性质 例①(1)如图，在平面直角坐标系中，矩形 C.BE=AD-DF D.AF-ZAD OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0)，(0， 3.如图，四边形OABC是矩形，A(2,1), 4),点D是OA的中点，点P在BC上运动，当 B(0,5),点C在第二象限，则点C的坐标 OP=PD时，点P的坐标是 ) 是 0 A.(2.5,4)B.(2,4)C.(4,4)D.(5,4) 6. 日写优课堂转钧A+·九年级数学（上） 探究二矩形对角线的性质 探究三直角三角形斜边上的中线 例2过矩形ABCD的对角线AC的中点 例3如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中， O作EF⊥AC,交BC边于点E,交AD边于点 ∠ACB=∠ADB=90°，AB=10,M是AB的 F,分别连接AE,CF 中点，连接MC,MD,CD,若CD=6,则△MCD (1)求证：四边形AECF是菱形； 的面积为 (2)若AB-6,AC-10BC-草求EF的长. 【思路点拨】(I)由矩形的性质可得∠ACB■ ∠DAC,然后利用“ASA”证明△AOF和△COE全 等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF,即 【思路点拔】过点M作ME⊥CD于点E,根据 可证四边形AECF是菱形：(2)由菱形的性质可得： 直角三角形斜边上的中线性质求出CM,DM,根据 菱形AECF的面积-EBC×AB-2 ACxEF,进而 等腰三角形的性质求出CE,根据勾股定理求出 得到EF的长， EM的长即可求解。 针对训练 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC =60°，BD平分∠ABC,P点是BD的中 点，若AD=6,则CP的长为 ( ) A.3 B.3.5C.4 D.4.5 7.如图，已知△ABC的高BD,CE相交于点 O,点M,N分别是BC,AO的中点，求证： MN垂直平分DE. 针对训练 4.如图，矩形ABCD中，AC,BD交于点O, M,N分别为BC,OC的中点.若MN=3, AB-6,则∠ACB的度数为 () A.30° B.35 C.45° D.60° B 4题图 5题图 5.如图，在矩形ABCD中，BC=4,对角线 AC与BD相交于点O,AN⊥BD,垂足为 N,BN=3DN,则AN长为 。7 曰写优课堂作动A+·九年级数学（上） 第7课时 专题一直角三角形斜边上的中线性质的应用 探究二构建直角三角形斜边上的中线 裸前预习 例2如图，E是矩形ABCD的边CB延长 1.直角三角形斜边上的中线等于 线上一点，CE=CA,F是AE的中点.求证： 2.直角三角形斜边的中线将直角三角形分成 BF⊥FD 两个 三角形，且两个三角形的面积 【思路点拨】连接BD,交AC于点O,连接FO, 根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD=2AO =2CO,AO=CO,推出OF是三角形AEC的中位 裸堂探究 线，得出2FO-EC-AC-BD,根据直角三角形的 探究一直接应用性质求解 判定推出直角即可。 例1I如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D是斜 边AB边上的中点，连接 CD,延长BC至点E,使得 CE=AD,连接DE,过点C作CM⊥DE于点 M,其中BC=6,AD=5,则S△：S△MR等于 ( A.11:1B.44:3C.24:5D.44:5 【思路点拨】根据直角三角形的性质得到AB 10,根据勾股定理得到AC=√AB-BC=8,根 据直角三角形斜边的中线性质，得CD=AD-BD -一名AB-5,再由面积公式南可得到结论。 针对训练 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上 针对训练 的中线，EF过点C且平行于AB.若 3.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB ∠BCF=35°，则∠ACD的度数是() =BD,E,F分别是AC,BD的中点，EF= A.35 B.45 C.55 D.65 2,则AC的长是 A.3 B.4 C.5 D.6 1题图 2题图 2.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 点D,E分别是AB,BC的中点，延长AC 3题图 4题图 2AC,连接ER.若EP 4.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°， 到F,使得CP ∠DCB=90°，E,F分别是BD,AC的中 4,则AB的长为 ( 点，AC=6,BD=10,则EF的长为( A.8 B.42 C.4 D.23 A.3 B.4 C.5 D.7 ·11.曰写优课堂转切A+·九年级数学（上） 第4课时1.2矩形的性质与判定(1) 课前预习 【思路点拔】过点P作PE⊥OA于点E,根据 等腰三角形的性质得出OE=ED,进而利用矩形的 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四 性质解答即可， 边形叫做矩形 (2)如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,E 2.矩形的性质： 为AD边中点，连接BE,CE,则∠BEC=(C) (1)矩形是轴对称图形，它的对称轴有两 条，分别是对边中点所连线所在的直线： 矩形也是中心对称图形，其对称中心是两条 对角线的交点： A.60°B.80° C.90 D.100° (2)矩形的四个角都是直角： 【思路点拨】根据AD=2AB,E为AD边中点， (3)矩形的对角线相等； 得到AE=AB,再根据矩形ABCD中∠A=∠ABC (4)矩形具有平行四边形的所有性质. 90°，得到∠ABE-∠AEB=45°，同理可得，∠DEC 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ∠DCE=45°，从商求得答案. 裸堂导入 针对训练 如图是一个可以活动的平行四边形教具，轻 1.如图，在一张长方形纸片上画一条线段 轻拉动一个点并观察 AB,将右侧部分纸片四边形ABCD沿线 段AB翻折至四边形ABC'D',若∠ABC =58°，则∠1的度数是 (B) A.60° B.64 C.42 D.52 (1)在拉动过程中，还是平行四边形吗？ (2)在拉动过程中，四边形不变的是什么？ 改变的是什么？ (3)当拉动到一个角是直角时，此时四边形 1题图 2题图 2.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上 是什么特殊四边形？ 点，且DE=DA,AF⊥DE,垂足为F,在下 裸堂探究 列结论中，不一定正确的是 (D) A.△AFD≌△DCE B.AB=AF 探究一 矩形的边角性质 例①(1)如图，在平面直角坐标系中，矩形 C.BE=AD-DF D.AF-ZAD OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0)，(0， 3.如图，四边形OABC是矩形，A(2,1), 4),点D是OA的中点，点P在BC上运动，当 B(0,5),点C在第二象限，则点C的坐标 OP=PD时，点P的坐标是 (A) 是(-2,4) 0 A.(2.5,4)B.(2,4)C.(4,4)D.(5,4) 6. 第一章特殊平行四边形 探究二矩形对角线的性质 探究三直角三角形斜边上的中线 例2过矩形ABCD的对角线AC的中点 例3如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中， O作EF⊥AC,交BC边于点E,交AD边于点 ∠ACB=∠ADB=90°，AB=10,M是AB的 F,分别连接AE,CF 中点，连接MC,MD,CD,若CD=6,则△MCD (1)求证：四边形AECF是菱形； 的面积为12· (2)若AB-6,AC-10,BC-草求EF的长. 【思路点拨】(I)由矩形的性质可得∠ACB一 ∠DAC,然后利用“ASA”证明△AOF和△COE全 等，根据全等三角形对应边相等可得OE一OF,即 【思路点拨】过点M作ME⊥CD于点E,根据 可证四边形AECF是菱形：(2)由菱形的性质可得： 直角三角形斜边上的中线性质求出CM,DM,根据 菱形AECF的面积-EC×AB-之ACxEF,进而 等腰三角形的性质求出CE,根据勾股定理求出 EM的长即可求解. 得到EF的长， (1)证明：四边形AB 针对训练 CD是矩形，.AD∥BC 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC ∠ACB=∠DAC :O是AC的中点， =60°，BD平分∠ABC,P点是BD的中 .A0=CO0, 点，若AD=6,则CP的长为 (A) M∠FAO=∠ECO, 在△AOF和△COE中， AO-CO. ∠AOF=∠COE, ∴.△AOF≌△CO)E(ASA), A.3 B.3.5C.4 .OE=OF.且A0=(C0 D.4.5 ∴.四边形AECF是平行四边形， 7.如图，已知△ABC的高BD,CE相交于点 又：EF⊥AC,∴.平行四边形AECF是菱形： O,点M,N分别是BC,AO的中点，求证： (2)解：Stm=EC×AB= ACXEF. MN垂直平分DE. 针对训练 4.如图，矩形ABCD中，AC,BD交于点O 解答图 M,N分别为BC,OC的中点.若MN=3, 证明：连接EN,DN,EM,DM,如解答图， AB-6,则∠ACB的度数为 (A) ,BD⊥AC.CE⊥AB. A.30 B.35 C.45 D.60 ∴.∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠BDC=90, B :M,N是BC,AO的中点， ∴EM-号AO.DN-号A0.EM=号BC,DM nc. 4题图 5题图 ..EN=DN.EM=DM 5.如图，在矩形ABCD中，BC=4,对角线 ∴M.N在线段DE的垂直平分线上， AC与BD相交于点O,AN⊥BD,垂足为 ∴MN垂直平分DE. N,BN=3DN,则AN长为23 。7 曰写优课堂转钓A+·九年级数学（上）】 第5课时 1.2矩形的性质与判定(2) (2)已知：如图，在口ABCD中，BA=BD, 裸前预习 M,N分别是AD和BC的中点.求证：四边形 1.矩形的判定方法： BNDM是矩形. (1)由矩形的定义：有一个内角是直角的平 【思路点拨】根据有一个角是直角的平行四边 行四边形叫做矩形， 形是矩形进行判断. (2)对角线相等的平行四边形是矩形 证明：四边形ABCD (或：对角线相等且平分的四边形是矩形). 是平行四边形， (3)有三个角是直角的四边形是矩形. .AD∥BC,AD=BC 2.易错提示：矩形的判定，除去用“三个角为直 BA=DC. 角”的方法以外，都要先确定四边形是平行 BA-BD .BA=BD =DC. 四边形，然后利用矩形的特殊性“一个直角 :M,N分别是AD和BC的中点， 或者对角线相等”进行判定， BMAD,.DM=AD,BN=合BC 裸堂导入 ∴.DM=BN, 问题： 又，DM∥BV,∴.四边形BMDN是平行四边形， (1)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断 BM⊥AD,∴∠BMD=90, 一个四边形是平行四边形？ .四边形BMDN是矩形. (3)如图，将□ABCD的边AB延长到点 (2)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断 E,使BE=AB,连接DE,交边BC于点O. 一个四边形是菱形？ ①求证：△BEO≌△CDO: (3)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断 ②连接BD,CE,若∠BOD=2∠A,求证： 一个四边形是矩形？ 四边形BECD是矩形， 课堂探究 【思路点拨】(1)根据平行四边形的性质找到两 三角形对应边、对应角之问的关系进行证明：(2)先 探究一矩形的判定 判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明对 例I(1)已知：如图，在△ABC中，AB= 角线相等即可得到四边形BECD是矩形. AC,AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外 证明：①，四边形ABCD 角∠CAM的平分线，CE⊥AV,垂足为E.求 是平行四边形， 证：四边形ADCE为矩形 .AB∥CD,AB=CD, 【思路点拔】根据三个角是直角的四边形是矩 .AB=BE.:.BE=CD. 形进行判新， AB∥CD .∠BE0=∠LD0,∠EBO=∠DCO, 证明：，AB=AC,AD是 ,.△BEO△CDO(ASA): ∠BAC的平分线， ②，四边形ABCD是平行四边形 .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD ∴.AE∥CD,∠A=∠DCB,由①知，BECD .∠ADC=90°， ∴，四边形BECD是平行四边形， :AN为△ABC的外角∠CAM .∠A=∠DCB,∠BOD=2∠A 的平分线， .∠I30D2∠DCB, .∠MAN=∠CAN,∴.∠DAE=90°， ,.∠DC0=∠ODC..DO=CO. :CE⊥AN,.∠AEC-90 由(1)得B)=C),E)=DO. ,.四边影ADCE为矩形. ∴.DE=BC,.四边形BECD是矩形. 8 第一章持殊平行四边形 第7课时专题一直角三角形斜边上的中线性质的应用 探究二构建直角三角形斜边上的中线 裸前预习 例2如图，E是矩形ABCD的边CB延长 L.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 线上一点，CE=CA,F是AE的中点.求证： 2.直角三角形斜边的中线将直角三角形分成 BF⊥FD. 两个等腰三角形，且两个三角形的面积 【思路点拨】连接BD,交AC于点O,连接FO, 相等 根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD=2AO -2CO,AO-CO,推出OF是三角形AEC的中位 裸堂探究 线，得出2FO=EC=AC=BD,根据直角三角形的 探究一直接应用性质求解 判定推出直角即可， 例I]如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D是斜 边AB边上的中点，连接 CD,延长BC至点E,使得 CE=AD,连接DE,过点C作CM⊥DE于点 解答图 M,.其中BC=6,AD=5,则S△A:S△E等于 证明：连接DB,交AC于点O,连接(O)F (C) 四边形ABCD是趣形， A.11:1B.44:3C.24:5D.44:5 .∠ABC=90°，AC=BD=2A0=2CO,AO 【思路点拨】根据直角三角形的性质得到AB= =C), 10,根据勾股定理得到AC=√AB-BC=8,根 :F为AE的中点，dF0-号CE, 据直角三角形斜边的中线性质，得CD=AD=BD 一AB-5,再由面积公式即可得到结论。 CE-CA.FO-TAC-BD. 即FO=OB=OD, ∴.∠DFB=90,即BF⊥DF. 针对训练 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上 针对训练 的中线，EF过点C且平行于AB.若 3.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB ∠BCF=35°，则∠ACD的度数是(C) =BD,E,F分别是AC,BD的中点，EF= A.35 B.45 C.55 D.65 2,则AC的长是 (B) A.3 B.4 C.5 D.6 D 1题图 2题图 2.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 3题图 点D,E分别是AB,BC的中点，延长AC 4题图 4.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°， 到F,使得CP 2AC,连接ER.若EP ∠DCB=90°，E,F分别是BD,AC的中 4,则AB的长为 (A) 点，AC=6,BD=10,则EF的长为(B) A.8 B.42 C.4 D.23 A.3 B.4 C.5 D.7 ·11✉