1.1 菱形的性质与判定-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（北师大版）

曰写优课堂转切A+·九年级数学（上） 第2课时1.1菱形的性质与判定(2) 例2如图，在口ABCD中，点O是对角线 课常预习 BD的中点，过点O作EF⊥BD,垂足为O,且 1.菱形的判定： 交AD,BC分别于点E,F.求证：四边形 (1)定义法：有一组 的平行四边 BEDF是菱形. 形是菱形； 【思路点拨】先证△DOE≌△BOF(ASA),得 (2)判定定理1： 的平行四边 OE=OF,再证四边形EBFD是平行四边形，然后 形是菱形： 由EF⊥BD即可得出结论. (3)判定定理2： 的四边形是 菱形 2.判定菱形时，首先要确定四边形是平行四边 形，然后看菱形的特征：邻边相等或者对角 线垂直.判定菱形的常见思路： 四边都相等→菱形 四边形 平行四边形对角线互相垂直→菱形 有一组邻边相等→菱形 裸堂导入 1.将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿着 例3如图，在四边形ABCD中，AC是BD 图中的虚线剪下，打开剪下的三角形展开， 的垂直平分线，E是CD上一点，BE交AC于 得到一个什么图形呢？你知道这是为什 点F,连接DF.∠BEC=∠ADF,求证：四边形 么吗？ ABCD是菱形 【思路点拨】由线段垂直平分线的性质得AB= AD,BC=CD,再证△ABF≌△ADF(SAS),得 2.你能用一张锐角三角形纸片折出一个菱形， ∠ABF=∠ADF,则∠BEC=∠ABF,再证出AB 使∠A成为菱形的一个内角吗？试试看！ ∥CD,得∠BAC=∠ACD,然后证∠CAD= ∠ACD,得AD=CD,则AB=CB=CD=AD,即可 得出结论， 探究一菱形的判定 例☐如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥ AB,要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加 的条件可以是 A.AB=AC B.AD-BD C.BE平分∠ABC D.BE⊥AC 【思路点拔】先证明四边形BDEF是平行四边 形，再证明邻边相等即可解决何题， 。3第一章 特殊平行四边形 第一章 特殊平行四边形 第1课时 1.1菱形的性质与判定(1) 课预习 针对训练 1.将2022个形状、大小均相同的菱形按照如 1.菱形的定义:一组 邻边 相等的平行四边 图所示的方式排成一列,使得右侧菱形的 形是菱形. 顶点与左侧菱形的对角线交点重合,若这 2.萎形的性质:萎形的四条边。 1相等;菱形的 些菱形的边长均为2,则阴影部分的周长 总和等于 两条对角线互相 垂直平分 ,并且每一条 ( C) 对角线 平分一组对角 ;菱形是 轴对称 图形,也是 中心对称 图形. A.4044 B.8080 课堂导入 C.8084 D.8088 1.任意两条的长方形纸片交又重叠,重叠部分 2.如图,在正五边形ABCDE的内部作菱形 ABCF,则FAE的度数为 (C) 是什么图形? A.30* B.32* C.36* D.40* 2.你能从平行四边形中剪出一个菱形来吗? 平行四边形 形 课堂探究 2题图 3题图 3.如图,在菱形ABCD中,BE1.AD,BF。 探究一 菱形边角的性质 CD.E,F为垂足,AE=ED,则之EBF的 例1如图所示是根据四边形的不稳定性 度数为 ( B) 制作的边长均为15cm的可活动萎形衣架,若 A.75* C.50{ B.60{ D.45* 墙上钉子间的距离AB=BC=15cm,则 1 4.在菱形ABCD中,点P是BC边上一点; 120 连接AP,点E,F是AP上的两点,连接 【思路点拨】连接AB,根据等边三角形的性质 DE,BF,使得 AED=ABC,乙ABF 和菱形的性质进行解答。 {BPF.求证:DE=BF+EF. 证明:·四边形ABCD是 ###_##### 菱形, '.AB-AD.AD/BC. '.BPA-/DAE, ":乙ABC-乙AED. 例1图 例2图 .乙BAF-乙ADE. 例2如图,四边形OABC是菱形,若乙AOC ·'ABF-BPF. BPA- DAE, ..乙ABF- DAE, -45{,OA-2,则点C的坐标为(②②). .AB=DA..'.△ABF△DAE(ASA). 【思路点拨】作CD上轴,根据菱形的性质得 ..AE-BF,DE-AF. 到OC-OA一2,根据勾股定理求出OD的值,即可 ·'AF=AE-EF-BF+EF. 得到C点的坐标. '.DE-BF+EF .1. 三 优课堂A·九年级数学(上) 探究二 菱形对角线的性质 针对训练 圆3菱形的一个内角为120{},其中一条对 5.菱形一定具有而平行四边形不一定具有 角线的长是2,求菱形的边长 的性质是 ( D) 【思路点拨】由题意可知,对角线长为2,没有说 A.两组对边分别平行 是长对角线还是短对角线的长度,因此分两种情况 B.两组对角分别相等 进行讨论。 C.对角线互相平分 解:如图.·在菱形ABCD中,乙ADC-乙ABC D.对角线互相垂直 -120. 6.如图,已知在平面直角坐标系中,四边形 ..乙BAD-乙BCD-60". ABCD是菱形,其中B点坐标是(8,2),D 若BD-2,则AB-AD-BD-2; 点坐标是(0,2),点A在x轴上,则萎形 ABCD的周长是 若AC-2,则AO-1. (C) A.2/5 C.8/5 B.8 在Rt△ABO中.BAO=30*. D.12 设OB一.,则AB一2x.由勾般定理,得 +1-(2),解得 则边长AB-223 0 ③ 6题图 7题图 综上所述,筹形的边长为2或23 7.如图,在菱形ABCD中,乙ABC=100{*,对 角线AC,BD相交于点O,过点O的直线 例4如图,四边形ABCD是菱形,对角线 交AD于点M,交BC于点N,下列结论 AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,点E是 ① ACD=40*;②OM=ON;③AM+BN CD上一点,连接OE,若OE=AE,求OE -AB. 的长. 其中正确结论是①②③.(填序号) 【思路点拨】根据菱形对角线的性质得到OA. 8.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD OD.AC1BD,再利用勾股定理求出AD,根据三角 相交于点O,E,F在对角线BD上,且BF 形的中位线求解即可. -DE,连接AE,AF 解:,菱形ABCD的对角 (1)求证,AE-AF; 线AC,BD相交于点O. (2)若BE=AE,BD=2AC=16,求线段$ #$. $D-BD-×6-3 EF的长. (1)证明:四边形ABCD 是菱形, *.OB-OD.AC1BD. 1BD. ,BF-DE. 由勾股定理,得AD-OD+OA-③+4-5. *.BF-OB-DE-OD. "OE-AE...ZEAC=乙AOE. .OF-0E. ·四边形ABCD是菱形..'.AD一CD. '.AE-AF: .DCA-乙DAC...DCA-乙EOA (2)解:.'四边形ABCD是菱形, .OE/CD. '.OB=OD.AC 1BD.OA-OC. ·BD-2AC-16...0A-4.0B-8. ·AO-OC..OE是△ADC的中位线 .r-D-:52. 5. 设BE-AE-r,则OE-8-x. 在Rt△AOE中,AE*-OA+OE. ..-(8-x)+4,解得x-5. ..OE-8-5-3. 由(1)知OF-0E..,EF-2OE-6. .2. 第一章 特殊平行四边形 第2课时 1.1菱形的性质与判定(2) 例2如图,在□ABCD中,点O是对角线 课预习 BD的中点,过点O作EF1BD,垂足为O,目 1.萎形的判定: 交AD,BC分别于点E,F.求证:四边形 (1)定义法:有一组 邻边相等 的平行四边 BEDF是菱形. 形是菱形; 【思路点拨】先证△DOE二△BOF(ASA),得 (2)判定定理1: 对角线互相垂直 的平行四 OE-OF,再证四边形EBFD是平行四边形,然后 边形是菱形; 由EF上BD即可得出结论, (3)判定定理2: 四边相等 的四边形是 菱形. 证明:.'四边形ABCD 是平行四边形,0为对角线 2.判定菱形时,首先要确定四边形是平行四边 BD的中点, 形,然后看萎形的特征:邻边相等或者对角 '.BO-DO.FDB- /FBO. 线垂直,判定菱形的常见思路; [乙EDO-乙FBO. 四边都相等→菱形 在△EOD和△FOB中,OD-OB. 四边形 (对角线互相垂直→菱形 乙EOD=/FOB. 平行四边形 有一组邻边相等→菱形 ..△DOE△BOF(ASA)..',OE-OF. 义。OB一OD...四边形BEDF是平行四边形, /课堂导入 .'EF BD..'.平行四边形BEDF为菱形。 1.将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿着 则3如图,在四边形ABCD中,AC是BD 图中的虚线剪下,打开剪下的三角形展开, 的垂直平分线,E是CD上一点,BE交AC于 得到一个什么图形呢?你知道这是为什 点F,连接DF. BEC一 ADF,求证;四边形 么吗? ABCD是菱形. 【思路点拨】由线段垂直平分线的性质得AB= AD.BC=CD.再证△ABF二△ADF(SAS),得 2.你能用一张锐角三角形纸片折出一个菱形, ABF= ADF,则乙BEC=乙ABF,再证出AB$$ 使之A成为菱形的一个内角吗?试试看! /CD.得乙BAC=乙ACD,然后证 CAD ACD,得AD=CD,则AB=CB-CD-AD,即可 得出结论。 证明:.'AC是BD的垂 直平分线. '.AB-AD.BC-CD. 课堂探究 ..乙ABD-乙ADB. .乙BAF- DAF. ) 探究一 萎形的判定 [AB-AD. 如图,△ABC中,DE/BC,EF/ 在△ABF和△ADF中. CBAF-乙DAF. AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加 AF-AF. 的条件可以是 (C) '.△ABF△ADF(SAS)..' ABF= ADF. A.AB-AC · BEC- ADF... BEC- ABF. B.AD-BD '.AB/CD... BAC-ACD. C.BE平分乙ABC 又: BAC-/DAC. D. BEAC '.CADACD..'.AD-CD. 【思路点拨】先证明四边形BDEF是平行四边 .AB-AD.BC-CD...AB-CB-CD-AD. 形,再证明邻边相等即可解决问题, '.四边形ABCD是菱形 .3. 三 优课堂A·九年级数学(上) 探究二 针对训练 萎形判定的应用 1. 下列条件中,能判断四边形是菱形的是 例4如图,AC一8,分别以A,C为圆心,以 ( D) 长度5为半径作死,两条引分别相交干点B和 A.对角线互相垂直且相等的四边形 点D.依次连接A.B.C.D,连接BD,交AC于 点O B.对角线互相垂直的四边形 (1)判断四边形ABCD的形状并说明 C.对角线相等的平行四边形 理由; D.对角线互相平分且垂直的四边形 (2)求BD的长 2.在平面直角坐标系内,点Q是原点,点A 解:(1)四边形ABCD为 的坐标是(3,4),点B的坐标是(3,一4). 菱形: 要使四边形AOBC是菱形,则满足条件的 由作法得AB-AD-CB ( C) 点C的坐标是 -CD一5. B.(3,0) A.(-3,0) 所以四边形ABCD为 C.(6,0) D.(5,0) 菱形; (2)'四边形ABCD为菱形. 3.如图,在ABCD中,对角线AC与BD相 ..OA-OC-4.OB-OD.AC1BD. 交于点O,下列条件中,不能判断这个平行 在Rt△AOB中,0B-5-4-3. 四边形是菱形的是 (C) *.BD-2OB-6. A.AB-AD B. BAC-DAC C. BAC-ABD D. AC BD 针对训练 6.如图,在平行四边形ABCD中,以点A为 0 圆心,AB长为半径画狐,交AD于点F, 再分别以点B,F为圆心,大于BF的长 3题图 4题图 为半径画狐,两狐交于一点P,连接AP并 4.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF 延长,交BC于点E,连接EF. 在直线/上滑动,要使四边形CBFE为菱 (1)求证:四边形ABEF是菱形; 形,还需添加的一个条件是 BECF (写 (2)设AE与BF相交于点O,四边形 出一个即可). ABEF的周长为16,BF=4,求AE的长和 5.已知,如图,四边形ABCD的对角线AC C的度数. BD于点E,点F为四边形ABCD外一 (1)证明:由尺规作图的 点,且FCA=90{*,BC平分DBF 过程可知,直线AE是 CBF=乙DCB.求证:四边形DBFC是 DAB的角垂分线。 菱形. FAE-乙BAE. 'AF-AB,FF-EB: 证明:.ACBD. :AD/BC.'.乙FAE-乙AEB. 乙FCA-90. '.乙AEB- BAE...BA=BE. .乙AEB-乙ACF. '.BA-BE-AF-FE. .BD/CF. .四边形ABEF是菱形; ./CBF-/DCB. (2)解:,'四边形ABCD是平行四边形, ..CD/BF. .乙BAD=C. '.四边形DBFC是平行四边形。 .菱形ABEF的周长为16. ·BC平分DBF...CBF= CBD. *.AF-AB-4,又BF-4. .CBF-DCB...CBD- DCB ..△ABF是等边三角形. '.CD一BD..',四边形DBFC是菱形. '.乙ABF-60*.AO-2③. ..乙C-60,AE-4/③ .4. 第一章 特殊平行四边形 第3课时 1.1菱形的性质与判定(3) 课预习 针对训练 1.如图,菱形ABCD中,AC-6,BD-8,AH 1.菱形的四条边 1 相等,对角线 互相垂直平 [BC于点H,则AH (C) 分 ,且每条对角线 平分一组内角 . 2 D. A.24 B. 10 ## 2.菱形的面积一两对角线 乘积的一半 底 ×高 V 3.方法指导;有一个内角为60{}的菱形可看作 由两个等边三角形拼接而成,考试时,经常 出现,要注意分析边角关系, 1题图 #课堂导入 3题图 2.已知菱形ABCD的周长为4/5,两条对角 1.回忆三角形、长方形、正方形、平行四边形等 线的和为6,则菱形ABCD的面积为 图形面积的计算方法,是否可以借助这些图 (D) 形面积的计算方式算出菱形的面积呢? B.5 A.2 C.3 D.4 2.萎形是特殊的平行四边形,那么它有特殊的 面积计算方法吗? 3.如图,四边形ABCD为菱形,点A,B,C,D 在坐标轴上,A(/5,0).AB=3,则菱形 D 课堂探究 ABCD的面积等于 4/5 探究一 萎形的面积 4.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O. 例1如图,已知菱形ABCD两条对角线 /BAD=60{*,菱形ABCD的周长为24 BD与AC的长之比为3;4,周长为40cm,求 (1)求对角线BD的长; 萎形的高及面积 (2)求菱形ABCD的面积 解:四边形ABCD是菱形, 解:(1)''四边形ABCD .'.AC1BD. 是菱形,周长为24. .BD:AC-3:4. '.AB-BC=CD-AD= 设BD-3r.AC-4r. 6.AC1BD.OB-OD- #BD,OA=OC-AC 又:AB-BO+AO. #$BAO-/BAD-60一30。 .AB-,形的周长是40 c, . AOB-90”.v.OB-AB-3. 2 ..BD-2OB-6: 解得-4. (2)由(1)得,BD-6.AB-6,OB-3. *.BD-12cm.AC-16cm. 乙A0B-90*, -1# BDAC .S. $$A-AB-OB-6-3=3③.$ 'AC-20A-63. x12×16-96(cm). .菱形ABCD的积-ACXBD-×6、 .'Ssn-AB·h. ×6-18/3. '.h-9.6cm,即菱形的高为9.6cm. .5.