专题1.1 空间向量及其运算（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.1 空间向量及其运算 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二上·河南平顶山·阶段练习）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·天津·阶段练习）已知，，，令，，则对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 4．（2024高二下·河南濮阳·阶段练习）已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数，的取值可能分别为（   ） A．，2 B．2，2 C．，1 D．1，5 5．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24高一下·广东中山·期中）如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（    ） A．4 B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．在正方体中， 10．（2024高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知点是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（    ） A． B．存在实数，使 C．不是平面的法向量 D．四边形的面积为 11．（2024·重庆·模拟预测）棱长为的正四面体ABCD中，，，，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线AK与平面PQR的交点为M，则 C．四面体ABCD外接球的表面积是 D．四面体KPQR的体积是 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 13．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    14．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高二·全国·课堂例题）化简：． 16．（2024高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 17．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）已知空间内三点，，． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积； (2)若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标． 18．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 19．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 空间向量及其运算 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二上·河南平顶山·阶段练习）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共线向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确． 故选：B． 2．（2024高一下·天津·阶段练习）已知，，，令，，则对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量坐标运算公式计算即可. 【详解】因为，，， 所以，， 所以. 故选：B 3．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模. 【详解】由， 由，. 所以. 故选：D 4．（2024高二下·河南濮阳·阶段练习）已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数，的取值可能分别为（   ） A．，2 B．2，2 C．，1 D．1，5 【答案】D 【分析】利用空间向量共面的条件，设实数，满足，列出方程组求解即可. 【详解】因为三向量共面， 所以存在实数，使得， 所以， 解得， 故当时满足条件. 故选：D. 5．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 6．（2024高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意， . 故选：D 7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】依题意 ， 所以 ， 所以，即. 故选：C 8．（23-24高一下·广东中山·期中）如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量来解决,由二面角的平面角的定义可得,求的模即为的长. 【详解】由二面角的平面角的定义知,, 由,,得,,, , 所以,即． 故选：A． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．在正方体中， 【答案】BD 【分析】根据向量的定义结合向量模的含义可判断A；根据数量积的运算律判断B；根据向量的夹角公式可判断C；根据正方体的性质可判断D。 【详解】对于A，若，但，的方向不确定，A错误； 对于B，若，两边平方得， 则，B正确； 对于C，，则，即得， 故，， 故， 而，故与的夹角为，C错误； 对于D，在正方体中，， 故四边形为平行四边形，故， 故，D正确， 故选：BD 10．（2024高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知点是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（    ） A． B．存在实数，使 C．不是平面的法向量 D．四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量的性质，结合法向量的性质、空间向量模的公式、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】对于A，， 所以A正确； 对于B，，假设存在存在实数，使， ，显然方程组无实数解， 因此假设不成立，所以不存在实数，使，所以B不正确； 对于C，不互相垂直， 所以不是平面的法向量，因此C正确； 对于D，， 所以， 四边形的面积为：， 因此D正确. 故选：ACD. 11．（2024·重庆·模拟预测）棱长为的正四面体ABCD中，，，，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线AK与平面PQR的交点为M，则 C．四面体ABCD外接球的表面积是 D．四面体KPQR的体积是 【答案】ABD 【分析】根据正四面体的结构特征可判断A,将四面体放入正方体中，利用正方体的外接球即可求解C，利用向量共面即可求解B，利用等体积法，结合比例关系即可求解D. 【详解】由于点K为BCD的重心，所以点K为BCD的中心，故平面，平面，所以，A正确， 由于该正四面体的棱长为，将该正四面体放入棱长为1的正方体中，则正方体的外接球即为四面体的外接球，故外接球的直径为正方体的体对角线，故,故表面积是，C错误， 由于三点共面，点K为BCD的重心，所以, 又四点共面，所以, 由于共线，所以，解得， 故，B正确， 由于是的中点，所以 ， 由选项B，可知，所以，所以 ,,D正确， 故选：ABD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 【答案】3 【分析】根据空间向量共面得到，得到方程，求出 【详解】设，即， 故，解得. 故答案为：3 13．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    【答案】 【分析】根据向量线性运算直接求解即可. 【详解】为中点，； ，； . 故答案为：. 14．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据投影向量定义和向量坐标运算直接求解即可. 【详解】，又， 在方向上的投影向量为. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高二·全国·课堂例题）化简：． 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算及运算律即可求解。 【详解】原式． 16．（2024高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可； （2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案. 【详解】（1）由题意，，， 所以，； （2）由（1）可知， 又，所以，即与的夹角为. 17．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）已知空间内三点，，． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积； (2)若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由空间向量夹角公式求出，再根据三角形面积公式计算即可； （2）设，由，，列出方程组，求解即可． 【详解】（1），， ， 又，，． （2）设，由，，得，， 解得或， 或． 18．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【答案】(1)， (2)，，． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可． 【详解】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 19．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可； （2）利用三点共线的坐标表示设，利用空间向量的数量积的坐标表示结合二次函数性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 所以， 则； （2）由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$