专题1.2 集合的基本关系（7类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.2 集合的基本关系 【考点1：集合的子集】 1 【考点2：集合的真子集】 3 【考点3：集合包含关系的判断】 4 【考点4：集合子集的个数】 4 【考点5：集合真子集的个数】 4 【考点6：空集】 5 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 6 【考点1：集合的子集】 【知识点：子集】 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A． 1．（2024高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 5．（2024高一上·陕西榆林·期中）已知集合，则集合的一个非空子集为 . 【考点2：集合的真子集】 【知识点：真子集】 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集，记作A⫋B． 1．（2024高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 4．（2024高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 5．（2024高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【考点3：集合包含关系的判断】 1．（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南驻马店·一模）已知集合，则与的关系是（    ） A． B． C．且 D．不能确定 4．（多选）（23-24高一上·四川乐山·期中）下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 5．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 【考点4：集合子集的个数】 【知识点：子集的个数】 集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集. 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 4．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 5．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 6．（2024高三·全国·专题练习）非空集合中所有元素乘积记为．已知集合，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的集合的个数为 ． 【考点5：集合真子集的个数】 【知识点：真子集的个数】 集合A中有n个元素，则集合A有2n-1个真子集. 1．（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 2．（2024高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 4．（多选）（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ）． A．4 B．7 C．8 D．15 5．（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 6．（2024高一·全国·竞赛）已知集合，且，给出下列命题： ①满足的集合的个数为； ②满足⫋的集合的个数为； ③满足⫋的集合的个数为； ④满足⫋⫋的集合的个数为． 其中正确的是 ．（填上你认为正确的所有命题序号） 【考点6：空集】 【知识点：空集】 不含任何元素的集合叫空集. 1．（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·山东东营·阶段练习）若关于x的方程的解集是空集，求k的值（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 1．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 2．（多选）（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 3．（2024高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 4．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 5．（2024高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 6．（2024高一上·广东揭阳·阶段练习）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 集合的基本关系 【考点1：集合的子集】 1 【考点2：集合的真子集】 3 【考点3：集合包含关系的判断】 4 【考点4：集合子集的个数】 7 【考点5：集合真子集的个数】 9 【考点6：空集】 12 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 13 【考点1：集合的子集】 【知识点：子集】 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A． 1．（2024高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 2．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题意可知，用列举法写出满足条件的集合即可. 【详解】解：因为,，， 所以集合可以是：，，共4个， 故选：C. 3．（2024高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据集合的定义求得，再根据集合的包含关系，即可求得. 【详解】，又，， 故集合为包含元素和，且为的子集， 故集合可以为：，则集合的个数是个. 故选：B. 4．（2024高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 【答案】，，， 【分析】先求出集合，再列出它的子集即可. 【详解】∵， 所以集合的子集有：，，，. 故答案为：，，， 5．（2024高一上·陕西榆林·期中）已知集合，则集合的一个非空子集为 . 【答案】（或或） 【分析】首先求集合，再根据非空子集的定义，即可列举求解. 【详解】，则集合的一个非空子集为，，. 故答案为：（或或） 【考点2：集合的真子集】 【知识点：真子集】 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集，记作A⫋B． 1．（2024高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 2．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D． 故选：AC. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论求结果. 【详解】集合，， 满足的集合中必有元素2，3， 所以求满足的集合的个数即求集合的真子集个数， 所以满足的集合的个数为个. 故答案为：7. 4．（2024高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【答案】答案见解析 【分析】 解出集合，按元素个数进行分类写出其子集即可. 【详解】 由，得， 解方程得或或，故集合. 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为； 由2个元素构成的子集为； 由3个元素构成的子集为, 因此集合A的子集为:，，，． 真子集为:，，. 5．（2024高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 【考点3：集合包含关系的判断】 1．（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可. 【详解】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 2．（2024高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 3．（2024·河南驻马店·一模）已知集合，则与的关系是（    ） A． B． C．且 D．不能确定 【答案】A 【分析】由，可得结论. 【详解】，， 由，可得是奇数，是整数， 所以，因为，所以. 故选：A. 4．（多选）（23-24高一上·四川乐山·期中）下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 【答案】BC 【分析】根据真子集的定义即可判断A；根据等集的定义即可判断B；根据子集的定义即可判断CD. 【详解】集合真子集是，共3个，所以A为假命题； 由，知，，则，则B为真命题； 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题； ，所以，所以D为假命题． 故选：BC. 5．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 【答案】16 【分析】先根据中的数除以的余数将集合进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案. 【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组： ，则， ，则， ，则， ，则， ，则， A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个， ∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16. 故答案为： 【点睛】两数之和能被整除，则两数分别除以的余数之和能被整除.本题的分析方法是先求得中所有数除以的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被整除的知识来求得正确答案. 【考点4：集合子集的个数】 【知识点：子集的个数】 集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集. 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据子集的定义逐一列举求解. 【详解】因为集合，所以集合的子集有：，，，. 所以集合的子集共有4个. 故选：C. 2．（2024高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数. 【详解】，故其子集的个数为8， 故选：D. 3．（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】 先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数. 【详解】根据题意，， 则集合的非空子集的个数是. 故选：B 4．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意求得集合，从而求得其子集的个数. 【详解】因为，， 所以， 所以，有两个元素， 则的子集个数是个． 故选：B． 5．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 【答案】 【分析】求出集合中元素个数，再利用子集个数公式求解. 【详解】, 集合中有个元素， 则的非空子集的个数是. 故答案为：. 6．（2024高三·全国·专题练习）非空集合中所有元素乘积记为．已知集合，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的集合的个数为 ． 【答案】24 【分析】因使为偶数的集合的情况较多，故考虑间接法，即用集合的非空子集个数减去使为奇数的集合的个数即得. 【详解】依题意，为偶数的对立事件为为奇数，故可以用间接法求其个数. 因集合的非空子集有个，而其中使为奇数的集合包括三类集合： ①只含1个奇数的集合，有共3个， ②只含有2个奇数的集合，有共3个， ③只含有3个奇数的集合，有共1个. 故为偶数的集合的个数为个. 故答案为：. 【考点5：集合真子集的个数】 【知识点：真子集的个数】 集合A中有n个元素，则集合A有2n-1个真子集. 1．（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】C 【分析】先确定集合中的元素，再求其非空真子集个数. 【详解】根据题意，当时， 集合， 集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为. 故选：C 2．（2024高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 【答案】D 【分析】列举出集合A的所有元素，由n元集合的真子集个数为可得. 【详解】由和可得， 所以集合A的真子集个数为个. 故选：D 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据子集概念得，根据真子集概念得不全部是的元素，所以集合个数等于集合的真子集个数. 【详解】由得且不全部是的元素， 令，则，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个， 故选：B. 4．（多选）（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ）． A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】先求出集合B，再求真子集个数即可. 【详解】由题意得， 故集合B的真子集个数为. 故选：B 5．（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【答案】AC 【分析】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 6．（2024高一·全国·竞赛）已知集合，且，给出下列命题： ①满足的集合的个数为； ②满足⫋的集合的个数为； ③满足⫋的集合的个数为； ④满足⫋⫋的集合的个数为． 其中正确的是 ．（填上你认为正确的所有命题序号） 【答案】①③ 【分析】由包含和真包含的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】①满足的集合的个数为的子集的个数，即； ②满足⫋的集合的个数为的非空子集的个数，即； ③满足⫋的集合的个数为的真子集的个数，即； ④满足⫋⫋的集合的个数为的非空真子集的个数，即． 故答案为：①③. 【考点6：空集】 【知识点：空集】 不含任何元素的集合叫空集. 1．（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 2．（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 3．（22-23高一上·山东东营·阶段练习）若关于x的方程的解集是空集，求k的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对方程进行整理，然后结合一次方程的解集存在条件可求． 【详解】方程整理得， 当时，方程的解集为空集，显然成立； 当时，有，解方程得,显然不符合题意． 综上． 故选：C． 4．（2024高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）讨论当时和当时两种情况，当时，，从而可得答案. （2）讨论当时和当时两种情况，列出方程，即可得解； 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 1．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得集合有且只有一个元素，然后分与讨论，即可得到结果. 【详解】因为集合恰有1个真子集，则集合有且只有一个元素， 当时，即，则，符合题意； 当时，即，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得； 综上所述，或. 故选：D 2．（多选）（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 3．（2024高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 5．（2024高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 6．（2024高一上·广东揭阳·阶段练习）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3). 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$