专题拓展：利用空间向量解决探索性问题（技巧解密+4考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题拓展：利用空间向量解决探索性问题 一、与空间向量有关的探索性问题 一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直， 另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题。 二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。 三、动点的设法（减少变量数量） 在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下设法。 1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标； 依据：根据平面向量共线定理—若，使得 【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示， 方法如下：， 因为在上，所以 ∴， 所以可设点. 2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。 依据：平面向量基本定理—若，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得 【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示， 方法如下：，， 故，即 所以可设点. 考点一：平行问题中的动点探索 例1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是与的交点.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1);(2)存在， 【解析】（1）在直三棱柱中，因为； 以点为坐标原点，方向分别为轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系,    因为，所以， 所以， 设是平面的法向量， 则，即，取，则， 所以是平面的一个法向量. 又因为点坐标为，所以. 设与平面所成的角为，则. 即与平面所成的角正弦值为. （2）存在，线段上靠近的三等分点，满足平面. 因为为的中点，所以， 设，所以 所以，由（1）知平面的一个法向量为. 若平面，则，所以， 即，解得， 所以存在，线段上靠近的三等分点，使得平面， 则， 即的长为 【变式1-1】（23-24高二上·山东滨州·期末）如图，已知正方体中，点分别在棱和上，. (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为3，由已知可得平面的法向量为， 易知，所以， 设平面的法向量为， 所以，取，则， 所以 设平面与平面夹角为， 所以. （2）假设在线段上存在点，使得平面， 由可得， 设， 所以， 所以， 若平面， 可知， 所以，即 故在线段上存在点使得平面. 【变式1-2】（23-24高三上·河北秦皇岛·月考）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点． (1)求多面体的体积； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？ 【答案】(1)5；(2)；(3)存在 【解析】（1） （2）设点到平面的距离为， 由得， 在中，，，， 则，， 故的面积为 由以上数据解得. （3）如图，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， 则，，． 设面的法向量，则，即． 令得． 因为平面，所以，即． 所以，得， ，所以．因为，， 所以存在在三等分点处靠近，使得平面． 【变式1-3】（23-24高三上·云南昆明·月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．    (1)证明：平面ABCD； (2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）因为，点G是EF的中点，所以， 又因为，所以， 由平面平面ABCD，平面平面，平面ADEF， 所以平面ABCD． （2）由（1）得平面ABCD，平面ABCD，∴， 四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG、AD、AB两两垂直， 以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，    所以， 假设线段AC上存在一点M，使平面ABF， 设，则， ∵，∴， 设，则, 所以， , 设平面ABF的法向量为 ，取 由于平面ABF，所以，即，解得 所以，此时， 即当时，平面ABF． 考点二：垂直问题中的动点探索 例2. （23-24高二上·四川成都·月考）如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点. (1)证明：当为棱的中点时，平面； (2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析 【解析】（1）当为的中点时，取中点为，连接， 因为分别为的中点，故可得， 根据已知条件可知：，故， 故四边形为平行四边形，则， 又平面平面， 故面； （2）因为平面平面，故， 又四边形为矩形，故，则两两垂直， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，设， 若，则， 即，解得，不满足题意， 故不存在. 【变式2-1】（23-24高二上·广东江门·月考）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析 【解析】（1）∵，E为BD的中点， ∴⊥， 又平面⊥平面，且平面平面，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴， 而平面，平面， ∴平面； （2）由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥， 故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，    设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 假设在线段AD上存在，使得平面， 设，则， ∴．则． 平面的法向量， 由，即，即，无解，不存在． ∴线段AD上不存点M，使得平面． 【变式2-2】（23-24高二上·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点为棱的中点，，. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若为棱的中点，则棱上是否存在一点，使得平面. 若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)不存在，因为不垂直. 【解析】（1）因为底面是矩形，侧棱底面，可知三线两两垂直， 如图示建立空间直角坐标系，由题意可知，所以, 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则； （2）假设存在点，使得平面，且， 根据（1）可知，则， 若平面，又平面，所以， 而，则不成立，所以平面不成立. 【变式2-3】（23-24高二上·广东·月考）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面， ． (1)若点是棱上靠近的三等分点，证明：平面； (2)试探究棱上是否存在一点（不与、重合），使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在； 【解析】（1）解法一：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐 标系，    则，，，，, 点是棱上靠近的三等分点，则， 则，，， 设平面的一个法向量为，满足 令，则，则． ，∴， 又平面，所以平面． 解法二：如图所示，连接，相交于点，连接．    在梯形中，有，， 所以． 又因为是棱上靠近的三等分点，所以，故． 又平面，平面，所以平面． （2）存在． 设，则，，，    设平面的一个法向量为，满足 令，则，故取． ，， 设平面的法向量为，满足 令，则，故取， 若平面平面，则，即 解得，此时为的中点，则． 考点三：夹角问题中的动点探索 例3. （23-24高三上·江苏·月考）如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，或 【解析】（1）因为，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，即， 取AD的中点，连结PO，因为是正三角形，所以 又面面ABCD，面面，面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）取AB的中点，连结ON，则，所以 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则， 设，， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，即，若， 取， 由直线AP与平面MBD所成角为， 得， 化简得  解得或， 当或时，直线AP与平面所成角为. 【变式3-1】（23-24高二上·广西南宁·期末）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，则，且， 因此四边形为平行四边形，则，又平面，平面， 所以平面. （2）由，，，得两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 令，有，则，    假定在线段上存在点满足条件， 设，则，， 当时，此时与重合，直线和平面垂直，不满足所成角的正弦值为，舍去； 当时，设平面的法向量为，， 则，令，得，而， 设直线和平面所成的角为，则， 而，解得，即点为线段的中点， 所以在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，此时. 【变式3-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，的长度为. 【解析】（1）因为，， 所以根据余弦定理可得， 代入数值解得， 所以，所以. 又因为，M是BC的中点， 所以，， 所以在中，，， 解得， 所以，所以. 因为，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面， 所以. 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. （2）由（1）得，平面，， 所以以为原点，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， 根据三棱柱的性质可知，. 假设存在符合题意的点， 所以设 所以， 设平面的法向量为， 由，得到，取，所以， 所以平面的法向量为 而且平面的法向量为， 因为二面角的正弦值为，所以二面角的余弦值为， 所以，解得， 又因为，所以， 此时，所以. 综上，在棱上存在点P，使得二面角的正弦值为，的长度为. 【变式3-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成的锐角的余弦值为，试判断点的位置. 【答案】(1)证明见解析；(2)点与重合 【解析】（1）因为：是等边三角形，点是的中点，所以：， 因为：平面，平面，所以：， 又因为：，平面，所以：平面， 因为：平面，所以：平面平面. （2）在平面中，作，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立 空间直角坐标系如图所示， 因为：为等边三角形，，，得：，，， 因为：，所以：，设：，， 所以：，得：， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，得：， 设平面的一个法向量为，， 则，令，得：， 设平面与平面所成角为， 则：，又因为：，解得：. 即点与重合. 考点四：距离问题中的动点探索 例4. （23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在； 【解析】（1）证明：设点是线段上靠近的三等分点，连接，． ∵，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形，∴，， 在正方形中，，所以，， ∴四边形是平行四边形，则，平面，平面， ∴平面； （2）∵平面，，∴以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设，，，故， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， ∵点到平面的距离为， 所以，解得或（舍去）， ∵，∴，∴当时，点到平面的距离为． 【变式4-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）如图，三棱柱的所有棱长都是平面分别是的中点. (1)求证：平面平面； (2)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析. 【解析】（1）如图，取的中点，连接，则， 又平面，所以平面， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，. 所以， . 设分别为平面和平面的法向量， 由，得 令，则， 是平面的一个法向量. 由，得 令，则， 是平面的一个法向量， ， 平面平面. （2）假设在线段（含端点）上存在点，使点到平面的距离为， 设，则. 由，解得：（舍去）或， 故在线段上存在点（含端点）， 使点到平面的距离为. 【变式4-2】（23-24高二上·上海·月考）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且为中点． (1)求二面角的余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)点为线段的中点. 【解析】（1）由四边形为正方形，得,， 因为，平面，则⊥平面，又平面， 于是，而，则，同理，又， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，， 设平面的法向量为，则，取，得， 而平面的一个法向量为，， 显然二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值. （2）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离为， 设点，平面的法向量为，而，, 由，取，则，又， 因此点到平面的距离为，解得，即点， 所以当点为线段的中点时，点到平面的距离为. 【变式4-3】（22-23高二下·福建·月考）如图，三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3. (1)求证：平面平面； (2)若点为棱的中点，线段上是否存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，此时的长为1 【解析】（1）取中点，连接，如图所示： 因为，，所以，且， 因为是等腰直角三角形，所以，且， 又，满足，所以， 因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知，平面，且， 故可以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 因为点为棱的中点，所以到平面的距离为； 则， 则， 所以， 则， ， 所以，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得，则， 由，得，或（舍去）， 此时. 故存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为， 此时的长为1 一、多选题 1．（23-24高二上·河南商丘·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为线段上的动点，则（    ） A．存在点，使得直线 B．存在点，使得平面 C．点到直线距离的最小值为 D．三棱锥的体积为 【答案】BC 【解析】以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，，，，， 所以，，， 设，则， 所以， 对于A项，， 所以，故A项错误； 对于B项，因为面， 所以面的一个法向量为， 又因为面，， 所以，解得，即， 所以存在点M位于的中点时，使得面，故B项正确； 对于C项，因为，所以， 设，则， 所以点到直线的距离为 （）， 所以当时，，故C项正确； 对于D项，因为，面，面，所以面， 所以， 易得，， 所以， 所以，故D项错误． 故选：BC. 2．（23-24高二上·重庆·月考）如图，在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面 C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值为 【答案】BC 【解析】在正方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下 图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、， 因为，其中、， 对于A选项，，，则， 所以，与不垂直，故不存在点，使得平面，A错； 对于B选项，，， 若存在点，使得平面，则，解得， 即当点与点重合时，平面，B对； 对于CD选项，，可得， 又因为，，设，，其中， 则， 则， 因为，则，所以，， 所以，，当且仅当时，即当时，取最小值， ，当且仅当或时，即当或时，取最大值， C对D错. 故选：BC. 3．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得直线与直线所成的角为 C．存在点，使得三棱锥的体积为 D．不存在点，使得，其中为二面角的大小， 为直线与所成的角 【答案】ACD 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则、、、、、、 、，设，即点，其中. 对于A：假设存在点，使得平面， 因为，，， 则，解得， 故当点为线段的中点时，平面， 即选项A正确； 对于B：假设存在点，使得直线与直线所成的角为， ，， 因为，即， 所以不存在点，使得直线与直线所成的角为， 即选项B错误； 对于C：假设存在点，使得三棱锥的体积为， ，且点到平面的距离为， 则，解得， 所以当点为线段的靠近的三等分点时， 三棱锥的体积为，即选项正确； 对于D：，， 设平面的法向量为， 则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为，而，， 则， ，， ， 因为，， 则， 因为，，且余弦函数在上单调递减， 则，即不存在点，使得，即选项D正确. 故选：ACD. 二、解答题 4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，. (1)求直线与平面所成角的余弦值． (2)线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在； 【解析】（1）因为为正方形，所以， 又因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面，所以， 因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 故， 即直线与平面所成角的余弦值为， （2）设， 则， ， ， 设平面的一个法向量为， ， 则，即， 令，则， ， 在线段上存在，使得直线平面， 等价于存在，使， ，，解得， 线段上存在点，使得平面，且. 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱中，，，点在底面上的射影点O是BC的中点，则： (1)求证：上存在一点E，使平面，并求出AE的长； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1）分别以OA，OB，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 故， 由于，所以. 设， 则，，, 由于，要使得平面，只需要， 解得，经检验，此时点满足题意， 故存在且，且 （2）由（1）知，，得点. 设平面的法向量， 设平面的法向量，则， 得，， 故取，∴， 设，则，∴，，， ∴，故平面平面. 设，则， 解得，，.由知，二面角为钝角， 故二面角的余弦值为. 6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）因为在梯形中，，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 因为线段点，所以为线段的中点， 所以中，， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，则，垂足为， 所以，， 因为平面，平面，所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以，即， 如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系， 线段上存在点，使得平面平面， 设，， 因为，所以， 由设平面的法向量为， 则， 令，则， 由，设平面的法向量为， 则，令，则可得， 则， 解得，即 为线段的中点，此时. 7．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，. (1)求证：平面平面； (2)点是棱上的动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求点的位置. 【答案】(1)证明见解析；(2)点与点重合或 【解析】（1）如图，取中点为，连接. 因为，，， 在中，由余弦定理可得， 所以，且， 所以. 又因为为等边三角形，中点为， 所以，，，且. 在中，有， 所以，. 因为平面，平面，， 所以，平面. 因为平面， 所以，平面平面. （2）由（1）知，，平面. 分别以所在的直线为轴，以过点且与平行的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设， 则，，， 设是平面的一个法向量， 则有，即， 取，则，，. 因为直线与平面所成角的正弦值为时， 所以有，即， 所以有， 整理可得，，解得或. 所以，点与点重合或. 8．（23-24高二下·福建泉州·月考）如图，四棱锥中，底面是正方形，，且，平面平面，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点． (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，为线段中点. 【解析】（1）在四棱锥中，平面平面，平面， 平面平面，，平面， 又平面，则， 又，，，平面，则平面， 而平面，于是，底面是正方形，， 是棱的中点，则，，，平面， 因此平面，而平面，所以平面平面． （2）以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，得， ，令，得， ，即， 整理得，则， 所以线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 且为线段中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：利用空间向量解决探索性问题 一、与空间向量有关的探索性问题 一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直， 另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题。 二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。 三、动点的设法（减少变量数量） 在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下设法。 1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标； 依据：根据平面向量共线定理—若，使得 【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示， 方法如下：， 因为在上，所以 ∴， 所以可设点. 2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。 依据：平面向量基本定理—若，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得 【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示， 方法如下：，， 故，即 所以可设点. 考点一：平行问题中的动点探索 例1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是与的交点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【变式1-1】（23-24高二上·山东滨州·期末）如图，已知正方体中，点分别在棱和上，. (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 【变式1-2】（23-24高三上·河北秦皇岛·月考）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点． (1)求多面体的体积； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？ 【变式1-3】（23-24高三上·云南昆明·月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．    (1)证明：平面ABCD； (2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 考点二：垂直问题中的动点探索 例2. （23-24高二上·四川成都·月考）如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点. (1)证明：当为棱的中点时，平面； (2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式2-1】（23-24高二上·广东江门·月考）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式2-2】（23-24高二上·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点为棱的中点，，. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若为棱的中点，则棱上是否存在一点，使得平面. 若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【变式2-3】（23-24高二上·广东·月考）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面， ． (1)若点是棱上靠近的三等分点，证明：平面； (2)试探究棱上是否存在一点（不与、重合），使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 考点三：夹角问题中的动点探索 例3. （23-24高三上·江苏·月考）如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式3-1】（23-24高二上·广西南宁·期末）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式3-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成的锐角的余弦值为，试判断点的位置. 考点四：距离问题中的动点探索 例4. （23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）如图，三棱柱的所有棱长都是平面分别是的中点. (1)求证：平面平面； (2)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由. 【变式4-2】（23-24高二上·上海·月考）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且为中点． (1)求二面角的余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（22-23高二下·福建·月考）如图，三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3. (1)求证：平面平面； (2)若点为棱的中点，线段上是否存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由. 一、多选题 1．（23-24高二上·河南商丘·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为线段上的动点，则（    ） A．存在点，使得直线 B．存在点，使得平面 C．点到直线距离的最小值为 D．三棱锥的体积为 2．（23-24高二上·重庆·月考）如图，在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面 C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值为 3．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得直线与直线所成的角为 C．存在点，使得三棱锥的体积为 D．不存在点，使得，其中为二面角的大小， 为直线与所成的角 二、解答题 4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，. (1)求直线与平面所成角的余弦值． (2)线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱中，，，点在底面上的射影点O是BC的中点，则： (1)求证：上存在一点E，使平面，并求出AE的长； (2)求二面角的余弦值. 6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 7．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，. (1)求证：平面平面； (2)点是棱上的动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求点的位置. 8．（23-24高二下·福建泉州·月考）如图，四棱锥中，底面是正方形，，且，平面平面，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点． (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$