专题20 解答压轴题型：几何综合题2023-2024学年人教版七年级数学下册

专题20 解答压轴题型：几何综合题 1．（2023春•延庆区期末）已知：如图，点在线段上，过点作交线段于点，连接，过点作于点，过点作交线段于点． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示与的数量关系，并证明． 2．（2023春•东城区期末）已知，直线，点为直线上一定点，射线交于点，平分，． （1）如图1，当时，　　； （2）点为线段上一定点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点在点右侧时，求与的数量关系； ②当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 3．（2023春•海淀区校级期末）如图，已知． （1）如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 　　种．（不要证明） 4．（2023春•门头沟区期末）如图，直线和相交于点，点，是直线上两点，点是直线上一点，连接，并过点作交直线于点．点是直线上一动点，连接和，设，，． （1）当点在线段上时， ①依题意补全图； ②判断，，的数量关系并加以证明． （2）当点不在线段上时，直接写出，，的数量关系，不用证明． 5．（2023春•密云区期末）已知：如图，直线，点、在直线上（点在点左侧），点、在直线上（点在点左侧），和相交于点． （1）求证：； （2）分别作和的角平分线相交于点． ①结合题意，补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明． 6．（2023春•怀柔区期末）如图，直线与的两边交于，两点，，点是边上一个动点，连接． （1）过点作，交射线于点，依题意补全图形， ①直接写出的度数（用含的式子表示）； ②若点，在，的延长线上，并且直线，当平分时，求的度数（用含的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点作交射线于点，通过转化角可以求出的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出的度数． （2）参考小林思考问题的方法，解决问题：若点，在，的延长线上，并且直线，当点在上运动时，直接用含的等式表示，，的数量关系． 7．（2023春•房山区期末）如图，线段，交于点．为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点与不重合）． （1）如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明． （2）若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系． 8．（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角． （1）已知是的关联角． ①当时，　　； ②当时，直线，的位置关系为 　　； （2）如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线，于点，，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 　　． 9．（2022春•大兴区期末）如图，已知，为，之间一点，连接，． （1）猜想，，的数量关系，并证明； （2）作，的角平分线，交于点． ①依题意补全图形； ②直接用等式表示与的数量关系． 10．（2022春•西城区期末）已知，点在射线上，点在外部，，以为顶点，为一边，大小为的角的另一边交射线于点． （1）如图1，当点与点位于所在直线异侧时，的平分线与射线的交点为点．补全图形并直接写出直线与直线的位置关系； （2）当点与点位于所在直线同侧时，射线与射线交于点，点在线段的延长线上． ①如图2，若平分，求证：平分； ②当时，直接写出的度数并画出符合题意的图形． 11．（2022春•昌平区期末）如图1．直线与直线、分别交于点、、，． （1）请直接写出直线与的位置关系． （2）如图2，动点在直线，之间，且在直线左侧．连接，，探究，．之间的数量关系． 小明经过分析证明的过程如下： 过点作． 　　（两直线平行，内错角相等）． （已知）． （平行于同一条直线的两条直线平行）． （两直线平行．内错角相等）． ， 　　（等量代换）． 请你补全上述的证明过程． （3）小明进一步探究，分别作出和的角平分线，若两条角平分线交于点，如图3． ①若．则　　． ②探究与的数量关系，小明思路如下： 设，进一步可知　　．（用含的式子表示）． 设，用等式表示与的数量关系 　　． 12．（2022春•顺义区期末）已知，如图，为直线上一点，于点．点为射线上一点，从点引两条射线分别交直线于点，（点在点左侧，点在点右侧），过点作交于点，为线段上一点，过作于点． （1）①依题意补全图形； ②若，求的度数； （2）直接写出表示与之间的数量关系的等式． 13．（2022春•东城区期末）如图，已知，射线分别和直线、交于点、，射线分别和直线、交于点、，点在上点与、、三点不重合），设，，． （1）如果点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）如果点在、两点之外运动时，、、之间有何数量关系？（只需写出结论，不必说明理由） 14．（2023春•海淀区期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是 　　（用含的式子表示）． 15．（2023春•西城区期末）将三角形和三角形按图1所示的方式摆放，其中，，，，点，，，在同一条直线上． （1）将图1中的三角形绕点逆时针旋转，且点在直线的下方． ①如图2，当时，求证：； ②当时，直接写出的度数； （2）将图1中的三角形绕点逆时针旋转，如图3，当点首次落在边上时，过点作，作射线平分，作射线平分交的反向延长线于点，依题意补全图形并求的度数． 16．（2023春•朝阳区期末）在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段（点与点对应，且不与点，重合），连接，和的平分线所在直线相交于点（点不与点，重合）． （1）如图1，， ①依题意补全图1； ②求的度数； （2）若，直接写出的度数．（用含的式子表示） 17．（2023春•东城区期末）已知：直线，被直线截于，两点，且，点是直线上一定点，点是射线上一动点，连结，过点作交直线于点． （1）如图，若点在线段上，和的平分线交于点． ①请写出和的数量关系，并证明； ②的度数为 　　； （2）若点在线段的延长线上，直接写出和的数量关系，不必证明． 18．（2022春•海淀区期末）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出. （1）①如图1，点在一条格线上，当时，　　； ②如图2，点在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； （2）在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 19．（2022春•朝阳区期末）三角形中，的平分线与相交于点，，垂足为． （1）如图1，三角形是直角三角形，． 完成下面求的过程． 解：， ． ， ． 　　． 　　． 平分， ． ． （2）如图2．三角形是锐角三角形．过点作，交于点．依题意补全图2．用等式表示，与之间的数量关系并证明． （3）三角形是钝角三角形，其中．过点作，交于点，直接写出，与之间的数量关系． 20．（2022春•东城区校级期末）已知：，分别交、于点和点，点在与之间，连接，． （1）如图1，点在的右侧，平分，平分，过点作交于点， ①补全图形；②求的度数． （2）若点不在线段上，用等式表示、、之间的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 解答压轴题型：几何综合题 1．（2023春•延庆区期末）已知：如图，点在线段上，过点作交线段于点，连接，过点作于点，过点作交线段于点． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）图形如下： （2），证明如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 2．（2023春•东城区期末）已知，直线，点为直线上一定点，射线交于点，平分，． （1）如图1，当时，　　； （2）点为线段上一定点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点在点右侧时，求与的数量关系； ②当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）60；（2）①；②或 【详解】（1）， ， ， ， 平分， ， ． （2）①与的数量关系是：． 理由如下： 延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． ②的度数为：或． 理由如下： 的一边恰好与射线平行， 有以下两种情况， （ⅰ）当与射线平行时，设， 延长于点， ， ，， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， （ⅱ）当与射线平行时， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2023春•海淀区校级期末）如图，已知． （1）如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 　　种．（不要证明） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4 【详解】（1）， 证明：， （两直线平行，内错角相等）， ， （两直线平行，内错角相等）， ； （2）， 证明：， （两直线平行，同旁内角互补）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ； （3）四个角，，，之间的数量关系有4种， 故答案为：4． 4．（2023春•门头沟区期末）如图，直线和相交于点，点，是直线上两点，点是直线上一点，连接，并过点作交直线于点．点是直线上一动点，连接和，设，，． （1）当点在线段上时， ①依题意补全图； ②判断，，的数量关系并加以证明． （2）当点不在线段上时，直接写出，，的数量关系，不用证明． 【答案】（1）见解析；（2）或 【详解】（1）①如图； ②过点作， ， ，， ， ． （2）当点不在线段上时，有两种情况； 当在射线上时，过点作，如图， ， ，， ，即， ， 当在点上方时，过点作，如图， ， ，， ，即， ， 综上所述，，，的数量关系为或． 5．（2023春•密云区期末）已知：如图，直线，点、在直线上（点在点左侧），点、在直线上（点在点左侧），和相交于点． （1）求证：； （2）分别作和的角平分线相交于点． ①结合题意，补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】见解析 【详解】（1）证明：过点作，如图， ， ，， ， （2）解：①如图； ②， 过点作，过点作， 由（1）可知， 同理可得， 、分别平分和， ，， ， ． 6．（2023春•怀柔区期末）如图，直线与的两边交于，两点，，点是边上一个动点，连接． （1）过点作，交射线于点，依题意补全图形， ①直接写出的度数（用含的式子表示）； ②若点，在，的延长线上，并且直线，当平分时，求的度数（用含的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点作交射线于点，通过转化角可以求出的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出的度数． （2）参考小林思考问题的方法，解决问题：若点，在，的延长线上，并且直线，当点在上运动时，直接用含的等式表示，，的数量关系． 【答案】（1）画图见解析；①②； （2）或 【详解】（1）如图，过点作，交射线于点． ①， ． ②， ． 又平分， ， ． （2）当点在（不含点、上时：过点作，交于点，连接、． ， ， ， ， ， ， ， ； 当点在（不含点上时：过点作，交于点，连接、． ， ， ， ， ， ， ； 当点在的延长线上时：过点作，交于点，连接、． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，，，的数量关系为或． 7．（2023春•房山区期末）如图，线段，交于点．为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点与不重合）． （1）如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明． （2）若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）①补全图形如图： ②判断：． 证明：过点作， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （平行于同一直线的两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （垂直的定义）． ， 即． （2）． 理由：如图，过点作， ， （已知）， （平行于同一直线的两直线平行）． ， 又， ， ， 即． 8．（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角． （1）已知是的关联角． ①当时，　　； ②当时，直线，的位置关系为 　　； （2）如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线，于点，，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 　　． 【答案】（1）①80；②平行；（2）①见解析；②、或 【详解】（1）①是的关联角，， ． 故答案为：80． ②由题意可得方程组，解得， ， ． 故答案为：平行． （2）①证明：是的关联角， ， 又，， ， ， 是的关联角． ②当直线位于如图所示位置时： 是的关联角，， ． 若是的关联角，则． 若是的关联角，则，得． 当直线位于如图所示位置时： ，， ， 若是的关联角，则． ， （舍去）． 若是的关联角，则，得． 故答案为：、或． 9．（2022春•大兴区期末）如图，已知，为，之间一点，连接，． （1）猜想，，的数量关系，并证明； （2）作，的角平分线，交于点． ①依题意补全图形； ②直接用等式表示与的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2）①见解析；② 【详解】（1）． 证明：过点作． ． ，， ， ， ． 即； （2）解：①如图所示： ②由（1）得， ，的角平分线，交于点， ，， ，即， ， ． 10．（2022春•西城区期末）已知，点在射线上，点在外部，，以为顶点，为一边，大小为的角的另一边交射线于点． （1）如图1，当点与点位于所在直线异侧时，的平分线与射线的交点为点．补全图形并直接写出直线与直线的位置关系； （2）当点与点位于所在直线同侧时，射线与射线交于点，点在线段的延长线上． ①如图2，若平分，求证：平分； ②当时，直接写出的度数并画出符合题意的图形． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②，画图见解析 【详解】（1）解：补全图形如图1所示，此时，理由如下： 平分，且， ， ， ， ， ， ． （2）①证明： ， ，，． ，， ，． 平分， ． ． ． ． 平分． ②解：如图2， ， ， ， ， ， ，解得． 11．（2022春•昌平区期末）如图1．直线与直线、分别交于点、、，． （1）请直接写出直线与的位置关系． （2）如图2，动点在直线，之间，且在直线左侧．连接，，探究，．之间的数量关系． 小明经过分析证明的过程如下： 过点作． 　　（两直线平行，内错角相等）． （已知）． （平行于同一条直线的两条直线平行）． （两直线平行．内错角相等）． ， 　　（等量代换）． 请你补全上述的证明过程． （3）小明进一步探究，分别作出和的角平分线，若两条角平分线交于点，如图3． ①若．则　　． ②探究与的数量关系，小明思路如下： 设，进一步可知　　．（用含的式子表示）． 设，用等式表示与的数量关系 　　． 【答案】（1）；（2）；；（3）①；②， 【详解】（1），理由如下： ，， ， ； （2）过点作． （两直线平行，内错角相等）． （已知）． （平行于同一条直线的两条直线平行）． （两直线平行．内错角相等）． ， （等量代换）． 故答案为：；； （3）①由（2）得：， ， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为：； ②设， 由①可得：， 设， 由①得：． 故答案为：，． 12．（2022春•顺义区期末）已知，如图，为直线上一点，于点．点为射线上一点，从点引两条射线分别交直线于点，（点在点左侧，点在点右侧），过点作交于点，为线段上一点，过作于点． （1）①依题意补全图形； ②若，求的度数； （2）直接写出表示与之间的数量关系的等式． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 【详解】（1）①如图： ②， ， ， ． ， ， ； （2）如图，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 13．（2022春•东城区期末）如图，已知，射线分别和直线、交于点、，射线分别和直线、交于点、，点在上点与、、三点不重合），设，，． （1）如果点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）如果点在、两点之外运动时，、、之间有何数量关系？（只需写出结论，不必说明理由） 【答案】见解析 【详解】（1）， 理由：过点作（如图， ， ， ，， ； （2）当点在上运动时（如图， ， ， 是的外角， ； 同理可得，当点在上运动时，； 14．（2023春•海淀区期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是 　　（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【详解】（1）补全图形如图 证明：根据平移的性质可知，， 如图2，过点作， ，， ， ； （2）①解：当在外部时，如图3， ，， ， ， ， ， ； 当在内部时，如图4， ，， ， ， ， ， ，综上，与之间的数量关系为或；②点到直线距离最大，就是两条直线距离最大，也就是点到直线的距离最大， 当直线垂直于线段所在直线时，距离最大，如图5所示， ， ． 故答案为：． 15．（2023春•西城区期末）将三角形和三角形按图1所示的方式摆放，其中，，，，点，，，在同一条直线上． （1）将图1中的三角形绕点逆时针旋转，且点在直线的下方． ①如图2，当时，求证：； ②当时，直接写出的度数； （2）将图1中的三角形绕点逆时针旋转，如图3，当点首次落在边上时，过点作，作射线平分，作射线平分交的反向延长线于点，依题意补全图形并求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；（2）见解析 【详解】（1）①证明：． 点，，，在同一条直线上． ， ， ． ②解：过点作， ， ， ，， ， ， 又， ， ． （2）解：补全图形如下： 过点作，设，，则， ， ， ，， 为的平分线，为的平分线， ，， ， ， ， ， ， 解得：． ． 16．（2023春•朝阳区期末）在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段（点与点对应，且不与点，重合），连接，和的平分线所在直线相交于点（点不与点，重合）． （1）如图1，， ①依题意补全图1； ②求的度数； （2）若，直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①见解析；②；（2）或或 【详解】（1）①图形如图所示： ②过点作， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，分别平分，， ， ， ，， ， ，， ． （2）如图1中，若，由②可知，， ，， ． 如图2中，同法可得． 如图3中，同法可得． 如图4中，同法可得． 综上所述，或或． 17．（2023春•东城区期末）已知：直线，被直线截于，两点，且，点是直线上一定点，点是射线上一动点，连结，过点作交直线于点． （1）如图，若点在线段上，和的平分线交于点． ①请写出和的数量关系，并证明； ②的度数为 　　； （2）若点在线段的延长线上，直接写出和的数量关系，不必证明． 【答案】（1）①；②；（2）或或 【详解】（1）①作， ，，， ． ． ②如图作， ， ， 又， ， ，， ． 故答案为：． （2）①如图2所示，与相交于点， ， ， ， ， ， ． ②如图3，与相交于， ， ， ， ， ， ， ． ③如图4，与相交于， ， ， ， ， ， ， ． 综上，和的数量关系为：或或． 18．（2022春•海淀区期末）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出. （1）①如图1，点在一条格线上，当时，　　； ②如图2，点在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； （2）在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）或 【详解】（1）如图： ①如图格线都互相平行， ，， ， ， ， 故答案为：； ②， 证明：如图2：作平行于格线， 格线都互相平行， ，， ； （2）或， 理由：分两种情况： 当射线在的内部，如图： ，， ， 是的一个外角， ， 格线都互相平行， ， ， ； 当射线在的外部，如图： ，， ， 是的一个外角， ， 格线都互相平行， ， ， ， 综上所述：或． 19．（2022春•朝阳区期末）三角形中，的平分线与相交于点，，垂足为． （1）如图1，三角形是直角三角形，． 完成下面求的过程． 解：， ． ， ． 　　． 　　． 平分， ． ． （2）如图2．三角形是锐角三角形．过点作，交于点．依题意补全图2．用等式表示，与之间的数量关系并证明． （3）三角形是钝角三角形，其中．过点作，交于点，直接写出，与之间的数量关系． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；；（2），证明见解析； （3） 【详解】（1）， ． ， ． （同位角相等，两直线平行）． ． 平分， ． ． 故答案为：同位角相等，两直线平行；； （2）如图，， 理由如下：延长、交于， ， ， 平分， ， 是的外角， ， ； （3）． 如图， ， ， 是的外角， ， ． 20．（2022春•东城区校级期末）已知：，分别交、于点和点，点在与之间，连接，． （1）如图1，点在的右侧，平分，平分，过点作交于点， ①补全图形；②求的度数． （2）若点不在线段上，用等式表示、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析 【详解】（1）①如图： ②， ， 平分，平分， ，， ， ． （2）或 当在右侧时： ，， ， ，， ， 当在左侧时： ，， ， ， ， 即：． 学科网（北京）股份有限公司 $$