上海市七年级下学期数学期末考试模拟卷-2023-2024学年七年级数学下册单元+月考+期中+期末实战演练卷（沪教版，上海专用）

上海市七年级下学期数学期末考试模拟卷 （考试范围：第12~15章 考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（每题3分，共18分） 1．在实数中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个． 2．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 3．如图，已知，点A、E在直线a上，点B、C在直线b上，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定． 4．如图，下列说法中错误的是（   ） A．是同位角 B．是同位角 C．是内错角 D．是同旁内角 5．等腰三角形底边长为17，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为9，则腰长为（    ）． A．8 B．26 C．8或26 D．以上结论都不正确 6．下列说法正确的个数是（    ）． ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ②等腰三角形的对称轴是底边上的高； ③有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每题2分，共24分） 7．计算：实数4的算术平方根是 ． 8．若a3＝﹣8，则a＝ ． 9．将方根写成幂的形式为 ． 10．第十届中国花卉博览会于2021年5月21日至2021年7月2日在上海市崇明区举行，花博园区有三大永久场馆：复兴馆、世纪馆和竹藤馆，其总面积为45400平方米，用科学记数法表示这个总面积是 平方米（保留2个有效数字）． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为 ． 12．在平面直角坐标系中，点、点N到x轴的距离相等，且MN平行于y轴，则N的坐标为 ． 13．如图，已知，的平分线CD交AB于D，，且，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 cm． 14．如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则 ． 15．已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是，那么这个等腰三角形顶角的度数是 16．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝ °． 17．如图，已知OA＝OB，点C在OA上，点D在OB上，OC＝OD，AD与BC相交于点E，那么图中全等的三角形共有 对． 18．在中，，D为的中点，如图所示，E为上一点，将沿着直线翻折，点B的对应点落在的延长线上，分别联结、，与交于点F．如果，那么 （结果用用整数比比表示） 三、解答题（第19~26题，每题5分，第27题8分，第28题10分，共58分） 19．计算： 20．用幂的运算性质计算：（结果表示为含幂的形式）． 21．先化简，再计算：已知，求的值． 22．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标． (1)点A右移2个单位，上移4个单位得到B点的坐标是______；点A关于y轴对称的点C的坐标是______． (2)在直角坐标平面上找一点D，能满足的点D有______个；且D点在直线______和直线______上． (3)已知点E的横纵坐标都为整数，点E与A、B、C中两个点组成的三角形与全等，那么在y轴右侧所有满足条件的点E的位置是______．（用坐标表示，并在图中画出图形） 23．如图，在中，，点C在BE上，AD平分，交BC于点D，点F是线段AD的中点，联结EF，与相等吗？请说明理由． 解：结论：与相等， 因为AD平分（已知）， 所以______（角的平分线的意义）， 因为（已知）， 所以______，（等式性质） 而____________（______），， 所以（等量代换） 所以______（______）， 又因为点F是线段AD的中点（已知）， 所以，（线段中点的意义） 所以______（______）． 24．已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE. 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，已知EF＝3，求ED的长． 26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标，点C坐标，且a、b满足，且． (1)点D的坐标为______，中的面积为______． (2)小明同学在学习求坐标平面内三角形面积时学到一个新方法如下：平面直角坐标系中有，其三个顶点、、，按逆时针方向排列，则的面积S可用下面式子计算，，请用此方法计算的面积． 27．解答下列各题 (1)小明在学习了平行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线，如图1所示，小明的作图依据是： ____________．          (2)小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线．如图2，已知直线a，点P为直线a外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线平行于直线a．以下是小丽的作图方法： ①在直线a上取一点A，作直线（与直线a不垂直）； ②在的延长线上取一点B，以B为圆心长为半径作弧，交直线a于点C； ③联结，以B为圆心长为半径作弧，交于点D，作直线 这样，就得到直线．你能说明的理由吗？ 28．如图，∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，且OA＝OB＝OC，联结AC、BC，作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E、F． (1)如图1，当OC为∠AOB的平分线时，求证OC⊥EF． (2)如图2，延长BF、OE交于点D，OF＝6． ①直接写出CD与BF之间的数量关系______． ②联结AD，若，求四边形AOBD的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市七年级下学期数学期末考试模拟卷 （考试范围：第12~15章 考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（每题3分，共18分） 1．在实数中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个． 【答案】A 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：0、是整数，属于有理数； 3.14是有限小数，属于有理数； 是循环小数，属于有理数； 无理数有，，共有2个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽得到的数；以及像，等有这样规律的数． 2．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解． 【详解】解：设两内角的度数为x、4x， 当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，x＝20°； 当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，x＝30°，4x＝120°； 综上分析可知，等腰三角形的顶角度数为20°或120°，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形内角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质． 3．如图，已知，点A、E在直线a上，点B、C在直线b上，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定． 【答案】C 【分析】先根据平行线之间的距离可得点到直线的距离相等，再利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：， 点到直线的距离相等， 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，掌握理解平行线之间的距离是解题关键． 4．如图，下列说法中错误的是（   ） A．是同位角 B．是同位角 C．是内错角 D．是同旁内角 【答案】A 【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义结合图形判断． 【详解】解：A、∠GBD和∠HCE不符合同位角的定义，故本选项合题意； B、∠ABD和∠ACH是同位角，故本选项不合题意； C、∠FBC和∠ACE是内错角，故本选项不合题意； D、∠GBC和∠BCE是同旁内角，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义，属于基础题，正确且熟练掌握同位角、同旁内角、内错角的定义和形状，是解题的关键． 5．等腰三角形底边长为17，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为9，则腰长为（    ）． A．8 B．26 C．8或26 D．以上结论都不正确 【答案】B 【分析】设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：设等腰三角形腰长为x， 由题意得：或， 解得或8， 当时，8，8，17无法构成三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，关键是求出x的值后根据三角形三边关系进行验证． 6．下列说法正确的个数是（    ）． ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ②等腰三角形的对称轴是底边上的高； ③有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据等边三角形的判定即可判断①；根据对称轴的定义即可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③④． 【详解】①若有一个外角为120°，则与之相邻的等腰三角形的内角为60°，因此这个等腰三角形一定是等边三角形，故结论①正确； ②等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，故结论②错误； ③有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等（即SSA不能判定两三角形全等），故结论③错误； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形不一定全等，故结论④错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，对称轴的定义，全等三角形的判定，熟知相关知识是解题的关键． 二、填空题（每题2分，共24分） 7．计算：实数4的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的求法计算即可得出答案． 【详解】解：实数4的算术平方根是， 故答案为：． 8．若a3＝﹣8，则a＝ ． 【答案】﹣2． 【分析】直接利用立方根的定义分析得出答案． 【详解】：∵a3=-8， ∴a=-2． 故答案为-2． 【点睛】本题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键． 9．将方根写成幂的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分数指数幂，将写成幂的形式即可得解，解题的关键是明确分数指数幂的含义． 【详解】解：将方根写成幂的形式为， 故答案为：． 10．第十届中国花卉博览会于2021年5月21日至2021年7月2日在上海市崇明区举行，花博园区有三大永久场馆：复兴馆、世纪馆和竹藤馆，其总面积为45400平方米，用科学记数法表示这个总面积是 平方米（保留2个有效数字）． 【答案】 【分析】先将45400用科学记数法表示出来，再保留两位有效数字．科学记数法表示为，是整数）：确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：45400平方米平方米． 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法、有效数字的概念．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键是要正确确定的值以及的值．有效数字则是左边第一个不是0的数起到精确到的位数止，只与有关，取舍时要注意遵循四舍五入的原则． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点．分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可． 【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 所以顶角是； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是．    故答案为：或． 12．在平面直角坐标系中，点、点N到x轴的距离相等，且MN平行于y轴，则N的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得点M与点N横坐标相等，纵坐标互为相反数，写出点N 的坐标即可． 【详解】∵点与点N到x轴的距离相等，且轴， 则点M与点N横坐标相等，纵坐标互为相反数， 故点N坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行于坐标轴的点的坐标特征，解决本题的关键是熟练掌握坐标系中点的坐标特征． 13．如图，已知，的平分线CD交AB于D，，且，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 cm． 【答案】12 【分析】由角平分线可知，由平行可知，则，由等角对等边可知，然后根据计算求解即可． 【详解】解：∵的平分线CD交AB于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是AC中点， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，中点等知识．解题的关键在于求出． 14．如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：是的三等分点，且是等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 15．已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是，那么这个等腰三角形顶角的度数是 【答案】 【分析】画出图形，根据且，求出∠C的度数，根据求出∠ABC的度数，再利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，数据等腰三角形的性质是解题的关键． 16．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝ °． 【答案】47 【分析】根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可． 【详解】解：在△ABC和△ADE中，， ∴（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2， ∵， ∴， ∴． 故答案为：47． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 17．如图，已知OA＝OB，点C在OA上，点D在OB上，OC＝OD，AD与BC相交于点E，那么图中全等的三角形共有 对． 【答案】4 【分析】由于OA＝OB，∠AOD＝∠BOC，OC＝OD，利用SAS可证△AOD≌△BOC，再利用全等三角形的性质，可知∠A＝∠B；在△ACE和△BDE中，∠A＝∠B，∠AEC＝∠BED，而OA－OC＝OB－OD，即AC＝BD，利用AAS可证△ACE≌△BDE；再利用全等三角形的性质，可得AE＝BE，在△AOE和△BOE中，由于OA＝OB，∠A＝∠B，AE＝BE，利用SAS可证△AOE≌△BOE；再利用全等三角形的性质，可得∠COE＝∠DOE，而OE＝OE，OC＝OD，利用SAS可证△COE≌△DOE． 【详解】解：∵ ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴∠A＝∠B， 又∵∠AEC＝∠BED，OA－OC＝OB－OD， 即AC＝BD， ∴△ACE≌△BDE， ∴AE＝BE， 又∵ ∴△AOE≌△BOE（SAS）， ∴∠COE＝∠DOE， 又∵ ， ∴△COE≌△DOE（SSS）． 故全等的三角形一共有4对． 故答案为：4 【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质．做题时要从已知开始结合判定方法逐个验证，做到由易到难，不重不漏． 18．在中，，D为的中点，如图所示，E为上一点，将沿着直线翻折，点B的对应点落在的延长线上，分别联结、，与交于点F．如果，那么 （结果用用整数比比表示） 【答案】5:6:7 【分析】根据点B沿折叠，对应点B落在延长线上，得出垂直平分可求，可证，求出，利用角的和差，利用三角形内角和即可． 【详解】解：∵点B沿折叠，对应点B落在延长线上， ∴垂直平分， ∴（垂直平分线性质）． ∴， ∴（外角性质）， 又∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（三角形内角和）， ∴． 故答案为： 5:6:7． 【点睛】本题考查折叠性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和，掌握折叠性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和是解题关键． 三、解答题（第19~26题，每题5分，第27题8分，第28题10分，共58分） 19．计算： 【答案】 【分析】先算零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，再算加减即可． 【详解】解： = = =； 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 20．用幂的运算性质计算：（结果表示为含幂的形式）． 【答案】 【分析】根据幂的运算性质以及同底数幂的乘除运算 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了分数指数幂的性质以及同底数幂的乘除运算，正确化简各数是解题关键． 21．先化简，再计算：已知，求的值． 【答案】， 【分析】根据分式和二次根式的运算，对式子进行化简，然后代值求解即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式和分式的运算，解题的关键是掌握分式和二次根式的相关运算法则． 22．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标． (1)点A右移2个单位，上移4个单位得到B点的坐标是______；点A关于y轴对称的点C的坐标是______． (2)在直角坐标平面上找一点D，能满足的点D有______个；且D点在直线______和直线______上． (3)已知点E的横纵坐标都为整数，点E与A、B、C中两个点组成的三角形与全等，那么在y轴右侧所有满足条件的点E的位置是______．（用坐标表示，并在图中画出图形） 【答案】(1) (2)无数，， (3)、、、 【分析】（1）根据点的平移以及点坐标对称求解即可； （2）根据题意可知点B到AC的距离为4，点D到AC的距离也为4，可知答案； （3）根据题意画出图形，分类讨论即可； 【详解】（1）解：点A坐标为（-3，0），向右移2个单位，上移4个单位B坐标为（-1，4）， 点A关于y轴对称点C的坐标为（3，0） 故答案为：（-1，4），（3，0） （2）解：∵， ∴点D到AC的距离等于点B到AC的距离， ∵点B到AC的距离为4， ∴点D到AC的距离也为4， ∴能满足的点D有无数个且点D在直线和直线上． 故答案为：无数，，． （3）解：如图所示， 当点的坐标为时，； 当点的坐标为时，； 当点的坐标为时，； 当点的坐标为时，， ∴在y轴右侧满足条件的点E的坐标为、、、． 【点睛】本题考查了坐标与图形，掌握点的坐标平移规律和对称，以及三角形的面积以及全等是解题的关键． 23．如图，在中，，点C在BE上，AD平分，交BC于点D，点F是线段AD的中点，联结EF，与相等吗？请说明理由． 解：结论：与相等， 因为AD平分（已知）， 所以______（角的平分线的意义）， 因为（已知）， 所以______，（等式性质） 而____________（______），， 所以（等量代换） 所以______（______）， 又因为点F是线段AD的中点（已知）， 所以，（线段中点的意义） 所以______（______）． 【答案】，，，，三角形的一个外角等于与它相邻的两个内角和，，等角对等边，，等腰三角形的三线合一． 【分析】直接利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案． 【详解】解：， 因为AD平分（已知）， 所以（角的平分线的意义）， 因为，（已知）， 所以，（等式性质） 而（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）， ， 所以（等量代换）， 所以（等角对等边）， 又因为（线段中点的意义）， 所以（等腰三角形的三线合一）． 【点睛】本题考查了角的平分线的意义，等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，解题的关键是正确得出 EA = ED ． 24．已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE. 【答案】证明见解析. 【分析】先根据已知证明△ABD≌△CAE，从而得到AD=EC，BD=AE，因为AE=AD+DE=CE+DE=BD从而得到了结论BD=DE+CE． 【详解】解：∵∠CAE+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，    ∴∠CAE=∠ABD． ∵∠ADB=∠AEC=90°，AB=AC，    ∴△ABD≌△CAE．     ∴AD=CE，BD=AE． ∵AE=AD+DE=CE+DE，     ∴BD=DE+CE． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，已知EF＝3，求ED的长． 【答案】3 【分析】先根据三线合一定理得到AD⊥BC，再由角平分线的性质即可得到ED＝EF＝3． 【详解】解：∵AC＝AB，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC， ∴ED＝EF＝3． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理和角平分线的性质，熟知三线合一定理和角平分线的性质是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标，点C坐标，且a、b满足，且． (1)点D的坐标为______，中的面积为______． (2)小明同学在学习求坐标平面内三角形面积时学到一个新方法如下：平面直角坐标系中有，其三个顶点、、，按逆时针方向排列，则的面积S可用下面式子计算，，请用此方法计算的面积． 【答案】(1)，1 (2) 【分析】（1）过点C作轴于点E，过点D作交AC延长线于点H，先根据求出点D的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）∵， 又∵，， ∴且，∴，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，轴， 过点C作轴于点E，过点D作交AC延长线于点H， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴（AAS）， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为， ∴． 故答案为：，1． （2）∵，，， ∴ ． 故的面积为． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是正确作出辅助线． 27．解答下列各题 (1)小明在学习了平行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线，如图1所示，小明的作图依据是： ____________．          (2)小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线．如图2，已知直线a，点P为直线a外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线平行于直线a．以下是小丽的作图方法： ①在直线a上取一点A，作直线（与直线a不垂直）； ②在的延长线上取一点B，以B为圆心长为半径作弧，交直线a于点C； ③联结，以B为圆心长为半径作弧，交于点D，作直线 这样，就得到直线．你能说明的理由吗？ 【答案】(1)同位角相等，两直线平行； (2)证明见解析 【分析】（1）将三角板沿直尺移动的时候，三角板各个角度大小不变，由此得同位角相等，所以两直线平行； （2）由于大三角形和小三角形都是等腰三角形，且共有∠B，所以四个底角都相等，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】（1） 由小明的作图方法可知，小明的作图依据是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． （2） 由小丽的作图方法可知：， ∴， ∵， ， ∴ ∴， 即（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查平行线与直线相交中的平行线的判定，掌握他们的判定和性质是解题关键． 28．如图，∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，且OA＝OB＝OC，联结AC、BC，作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E、F． (1)如图1，当OC为∠AOB的平分线时，求证OC⊥EF． (2)如图2，延长BF、OE交于点D，OF＝6． ①直接写出CD与BF之间的数量关系______． ②联结AD，若，求四边形AOBD的面积． 【答案】(1)见解析． (2)①CD＋BF＝6；②36． 【分析】（1）利用△AOC≌△BOC和△OEC≌△OFC得到OE＝OF，CE＝CF即可得出结论；（2）①利用三角形内角和性质得到∠ECD的度数，从而得出△OFD是等腰直角三角形，OF=DF=CD+CF=CD+BF, 即可计算结果．② ． 【详解】（1）（1）∵OC是∠AOB是平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SAS）， ∴∠OCA＝∠OCB， ∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC＝∠OFC＝90°， 在△OEC和△OFC中，，∴△OEC≌△OFC（AAS）， ∴OE＝OF，CE＝CF， ∴OC垂直平分EF，∴OC⊥EF． （2）（2）①∵OA＝OC＝OB，∴，， ∴ ， ∴∠ECD＝180°－（∠OCA＋∠OCB）＝45°， ∵OE⊥AC，∴∠OEC＝90°，∴∠D＝∠OEC－∠ECD＝45°， ∵OB＝OC，OF⊥BC，∴∠OFC＝90°，CF＝BF， ∴△OFD是等腰直角三角形，∴OF＝DF＝6，∵DF＝CD＋CF，CF＝BF， ∴CD＋BF＝6． ②由①知△ODF是等腰直角三角形， ∴OF＝DF＝6，∠OFD＝90°， ∵OF⊥BC，OB＝OC，∴∠OFC＝∠OFB＝90°，CF＝BF， 在△OFC和△OFB中，， ∴△OFC≌△OFB（SAS），∴， ∵OA＝OC，OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴DA＝DC， 在△AOD和△COD中，，∴△AOD≌△COD（SSS），∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及三角形内角和性质，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$