上海市八年级下学期数学期末考试模拟卷-2023-2024学年八年级数学下册单元+月考+期中+期末实战演练卷（沪教版，上海专用）

上海市八年级下学期数学期末考试模拟卷 （考试范围：第20~23章 考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（每题3分，共18分） 1．一次函数y=kx+1，y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（）． A．任何事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率可以是任意实数 C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 D．不可能事件在一次实验中也可能发生 4．已知正方形ABCD的边长为1，设，那么的模为（    ） A． B． C． D．2 5．下列命题中，假命题是（　　） A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 6．如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 二、填空题（每题2分，共24分） 7．解关于的方程，则方程的解是 ． 8．无理方程＝﹣x的实数解是 ． 9．如果，方向向西，，方向向东，那么 ． 10．关于x的方程的解是 ． 11．一个正多边形的内角和是，则这个多边形的边数 ． 12．已知一次函数，若y值随x值的增大而减少，则k的取值范围是 ． 13．直线与平行，将该直线向下平移3个单位长度后经过点则该函数解析式为 ． 14．已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点．AC＝24，BD＝38，AD＝28，那么△OBC的周长等于 ． 15．已知梯形的上、下底长分别为6，8，一腰长为7，则梯形另一腰长a的取值范围是 ． 16．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为 ． 17．如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么 度． 18．如图，等腰梯形中，，，对角线，如果高，那么等腰梯形的中位线的长为 ． 三、解答题（第19~21题每题6分，22~24题，每题7分，第25题9分，第26题10分，共58分） 19．解方程组：． 20．解方程： 21．如图，在ABCD中，点E是边BC的中点，设，． (1)写出所有与互为相反向量的向量：__________． (2)试用向量、表示向量，则__________． (3)在图中求作：、（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果） 22．今年初，很多商场由于受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，产品销售情况不如人意．有甲、乙两家商场利用网络平台进行销售．其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物中超过元后的金额打折(为到之间的整数)．设顾客所购商品原来金额为元，在甲、乙两家商场实际支付金额分别为元和元． （1）顾客在乙商场购物时， 与之间函数图像如图所示(图中线段和射线)，求当时，与之间函数解析式； （2）当时，甲、乙两个商场中，去哪家商场购物更省钱？ 23．某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加，而且要提前年完成任务，经测算要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多万亩，求原计划平均每年的绿化面积． 24．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，联结EG． （1）求证：四边形AEGF是菱形； （2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形． 25．已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝4，AB＝7． （1）如图1，联结BD，当∠A＝60°时，求BD的长； （2）如图2，当∠D＝2∠B时，求CD的长． 26．如图，已知在平面直角坐标系中，直线和双曲线都经过点和点B． （1）求线段AB的长； （2）如果点P在y轴上，点Q在此双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出P、Q的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市八年级下学期数学期末考试模拟卷 （考试范围：第20~23章 考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（每题3分，共18分） 1．一次函数y=kx+1，y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据函数的增减性及解析式判断函数图象所经过的象限即可． 【详解】∵一次函数y=kx+1，y随x的增大而减小，∴k＜0， ∵1＞0，∴函数图象经过一、二、四象限． 故选C． 【点睛】首先能够根据待定系数法正确求出直线的解析式．在直线y=kx+b中， 当k＞0，b＞0时，函数图象过一、二、三象限，y随x增大而增大； 当k＞0，b＜0时，函数图象过一、三、四象限，y随x增大而增大； 当k＜0，b＞0时，函数图象过一、二、四象限，y随x增大而减小； 当k＜0，b＜0时，函数图象过二、三、四象限，y随x增大而减小． 2．下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断方程有无实数解，就是看方程的解是否是能满足方程的左右两边相等的实数． 【详解】A、∵，故A错误，不符合题意； B、， ， ， ，，，， 经检验，，均是原方程的解，故B正确，符合题意； C、，故无实数解，故C错误，不符合题意； D、，故无实数解，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程的解法，二次根式的性质，解题的关键是掌握方程的解的概念，是能满足方程的左右两边相等的实数． 3．下列命题正确的是（）． A．任何事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率可以是任意实数 C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 D．不可能事件在一次实验中也可能发生 【答案】C 【分析】根据随机事件、不可能事件的定义和概率的性质判断各选项即可． 【详解】A中，只有必然事件概率才是1，错误； B中，随机事件的概率p取值范围为：0＜p＜1，错误； C中，可能性很小的事件，是有可能发生的，正确； D中，不可能事件一定不发生，错误 故选：C 【点睛】本题考查事件的可能性，注意，任何事件的概率P一定在0至1之间． 4．已知正方形ABCD的边长为1，设，那么的模为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用向量的三角形法则将所求式子变形，利用正方形的边对应的向量表示，即可求解． 【详解】解：如图，∵正方形ABCD的边长为1， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的三角形法则，根据平面向量的特点将所求的式子结合正方形特点表示为是解题关键． 5．下列命题中，假命题是（　　） A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 【答案】C 【分析】利用矩形的定义或者是矩形的判定定理分别判断四个选项的正误即可． 【详解】A、有一组对角是直角且一组对边平行即可得到两组对边平行或四个角均是直角，故此选项不符合题意； B、有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意； C、有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是直角梯形，故此选项符合题意； D、有两个内角是直角的且一组对边相等可以得到其两组对边相等，所以能判定其是一个平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决此类题目的关键．举反例往往是解决此类题目的重要的方法． 6．如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【详解】任何多边形的外角和是，内角和等于外角和的2倍则内角和是．n边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【分析】解：根据题意得， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中． 二、填空题（每题2分，共24分） 7．解关于的方程，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案． 【详解】解：方程移项得：， 合并得：， ， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． 8．无理方程＝﹣x的实数解是 ． 【答案】-1． 【分析】化为有理方程，再解出有理方程，最后检验即可得答案． 【详解】解：将＝﹣x两边平方得：2x+3=x2， 整理得x2-2x-3=0， 解得x1=3，x2=-1， 当x1=3，左边=，右边=-3， ∴左边≠右边， ∴x1=3不是原方程的解，舍去， 当x2=-1时，左边=，右边=1， ∴左边=右边， ∴x2=-1是原方程的解， ∴x=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查解无理方程，利用两边平方将无理方程化为有理方程是解题的关键． 9．如果，方向向西，，方向向东，那么 ． 【答案】3 【分析】结合题意，根据向量的性质，得和符号相反，结合绝对值的性质，通过计算即可得到答案． 【详解】∵，方向向西，，方向向东 ∴和符号相反 ∴或 ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题考查了向量的知识；解题的关键是熟练掌握向量、绝对值的性质，从而完成求解． 10．关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】先移项，系数化1，利用开方求出方程的根即可． 【详解】解：移项得：， 系数化1： 即 ， 开5次方得． 【点睛】本题考查高次方程的解法，开方法，掌握解方程的方法与步骤，理解开平方，开立方解方程的方法，探索高次方程的解法是解题根据． 11．一个正多边形的内角和是，则这个多边形的边数 ． 【答案】10 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式列式求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 则， 解得． 故答案为：10． 12．已知一次函数，若y值随x值的增大而减少，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据一次函数的性质得出关于k的不等式，再解不等式即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数y=（k-2）x+3中，函数值y随自变量x的增大而减小， ∴k-2<0，解得k<2． 故答案为：k<2． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 13．直线与平行，将该直线向下平移3个单位长度后经过点则该函数解析式为 ． 【答案】/y=-7+3x 【详解】由，得， ∵与直线平行， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵直线向下平移3个单位长度后的解析式为：， 将点代入得，，解得，， 所以该函数解析式为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了根据条件求一次函数解析式，掌握两条直线平行则对应的函数解析式中的一次项系数相等是关键． 14．已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点．AC＝24，BD＝38，AD＝28，那么△OBC的周长等于 ． 【答案】59 【分析】由平行四边形的性质可求得OB、OC，则可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BO＝BD＝19，CO＝AC＝12，BC＝AD＝28， ∴BO+CO+BC＝19+12+28＝59，即△OBC的周长为59， 故答案为：59． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 15．已知梯形的上、下底长分别为6，8，一腰长为7，则梯形另一腰长a的取值范围是 ． 【答案】5＜a＜9． 【分析】通过平移腰可得：两底边之差和两腰构成三角形，则根据三角形三边之间的关系可以进行求解． 【详解】解：如图，根据题意得：AD=6，BC=8，CD=7，AB=a， 过点A作AE∥CD，交BC于点E， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴CE=AD=6，AE=CD=7， ∴BE=BC-CE=8-6=2， ∴a的取值范围是：5＜a＜9 故答案为：5＜a＜9． 【点睛】此题考查了梯形的性质、三角形三边关系以及等腰梯形的判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 16．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为 ． 【答案】75° 【分析】根据“等腰四边形”定义画出图形，对角线BD是该四边形的“等腰线”，所以△CBD和△ABD为等腰三角形，由于AB＝BC＝CD≠AD，所以△ABD中分两种情形进行讨论即可； 【详解】解：∵凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”， ∴△CBD和△ABD为等腰三角形． 由于AB≠AD，在△ABD中分两种情形：①AB＝BD，②AD＝BD． 当①AB＝BD时，如下图： ∵AB＝BC＝CD，AB＝BD． ∴BC＝CD＝BD． ∴△BDC为等边三角形． ∴∠DBC＝60°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝30°． ∵AB＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝＝75°． 当②AD＝BD时，如下图， 过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交CB延长线于点F， ∵AD＝BD，DE⊥AB， ∴BE＝AB． ∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC＝90°， ∴四边形EBFD为矩形． ∴DF＝BE＝AB． ∵AB＝CD， ∴DF＝CD． 在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝， ∴∠DCF＝30°． ∵BC＝CD， ∴∠DBC＝∠BDC＝＝15°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝75°． ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD＝75°． 综上，∠BAD＝75°． 故答案为：75°． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形、矩形的性质求解是解题的关键． 17．如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么 度． 【答案】105 【分析】过点C作CH⊥AB于H，由旋转和线段垂直平分线的性质可得EF＝BE＝AE，则△BEF是等腰直角三角形，可得∠EBF＝45°，证明四边形EFCH是矩形，可得CH＝EF＝AB＝AC，可得出∠CAH＝30°，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处， ∴AE＝EF， ∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC， ∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°， ∴EF＝BE＝AE， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠EBF＝45°， ∵DE⊥AB，CF AB， ∴CF⊥DE， ∵DE⊥AB，CH⊥AB， ∴四边形EFCH是矩形， ∴CH＝EF＝AB＝AC， ∴∠CAH＝30°， ∴∠AGB＝180°−∠EBF−∠CAH＝180°−45°−30°＝105°． 故答案为：105． 【点睛】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，求出∠EBF＝45°，∠CAH＝30°是解题的关键． 18．如图，等腰梯形中，，，对角线，如果高，那么等腰梯形的中位线的长为 ． 【答案】8 【分析】过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，根据等腰梯形的性质证得AC=BD，AD∥BC，由此得到四边形ACFD是平行四边形，再推出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边中线的性质推出，由此得到答案． 【详解】解：过点D作DF∥AC，交BC延长线于F， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC=BD，AD∥BC， ∵DF∥AC， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AC=DF，AD=CF， ∴BD=DF ， ∵， ∴DF⊥BD， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∵DE⊥BF， ∴ ∴，即梯形的中位线是8cm， 故答案为：8． 【点睛】此题考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定及性质，等腰直角三角形斜边中线的性质，正确引出辅助线是解题的关键． 三、解答题（第19~21题每题6分，22~24题，每题7分，第25题9分，第26题10分，共58分） 19．解方程组：． 【答案】或或或 【分析】将每个方程因式分解，降次化为两个一次方程，解出重新组合的方程组即可得到答案． 【详解】解：x2-5xy-6y2=0可化为（x-6y）（x+y）=0， ∴x-6y=0或x+y=0， x2-4xy+4y2=1可化为（x-2y+1）（x-2y-1）=0， ∴x-2y+1=0或x-2y-1=0， 原方程组相当于以下四个方程组： ，，， 解得①②③④分别得：，，，， ∴原方程组的解是：或或或 【点睛】本题考查解二元二次方程组，将每个二次方程因式分解，降次化为两个一次方程是解题的关键． 20．解方程： 【答案】， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： ， 经检验：，是原方程的根 所以，原方程的根是，． 【点睛】本题考查解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 21．如图，在ABCD中，点E是边BC的中点，设，． (1)写出所有与互为相反向量的向量：__________． (2)试用向量、表示向量，则__________． (3)在图中求作：、（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果） 【答案】（1），；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据相反向量的定义解答即可． （2）利用三角形法则求解． （3）连接，，利用三角形法则求解即可． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ， ， 与互为相反向量的向量有：，， 故答案为：， （2），， ， 故答案为：． （3）连接，． ，， ，即为所求． 【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，学会利用三角形法则解决问题． 22．今年初，很多商场由于受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，产品销售情况不如人意．有甲、乙两家商场利用网络平台进行销售．其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物中超过元后的金额打折(为到之间的整数)．设顾客所购商品原来金额为元，在甲、乙两家商场实际支付金额分别为元和元． （1）顾客在乙商场购物时， 与之间函数图像如图所示(图中线段和射线)，求当时，与之间函数解析式； （2）当时，甲、乙两个商场中，去哪家商场购物更省钱？ 【答案】（1）y2=0.8x+40；（2）乙商场 【分析】（1）根据y2与x之间函数图象利用待定系数法即可求解； （2）根据甲商场所有商品按9折出售，（1）求得的当x＞200时，y2与x之间函数解析式分别求出甲、乙两家商场实际支付金额，比较即可解答． 【详解】解：（1）设当x＞200时，y2与x之间函数解析式为y2=kx+b， 由图象得，， 解得：， ∴当x＞200时，y2与x之间函数解析式为y2=0.8x+40（x＞200）； （2）当x=500时， 甲商场实际支付金额为y1=500×0.9=450（元）， 乙商场实际支付金额为y2=0.8×500+40=440（元）， 所以当x=500时，去乙商场购物更省钱． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数图象，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键． 23．某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加，而且要提前年完成任务，经测算要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多万亩，求原计划平均每年的绿化面积． 【答案】原计划平均每年完成绿化面积万亩. 【分析】本题的相等关系是：原计划完成绿化时间−实际完成绿化实际＝1．设原计划平均每年完成绿化面积x万亩，则原计划完成绿化完成时间年，实际完成绿化完成时间：年，列出分式方程求解 【详解】解：设原计划平均每年完成绿化面积万亩. 根据题意可列方程： 去分母整理得： 解得：， 经检验：，都是原分式方程的根，因为绿化面积不能为负，所以取． 答：原计划平均每年完成绿化面积万亩. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验它是否是原方程的根，第二步检验它是否符合实际问题． 24．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，联结EG． （1）求证：四边形AEGF是菱形； （2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）先证△ABE≌△ADF，得到AE=AF，∠BAE=∠DAF，根据FG∥AE，得到∠EAG=∠FGA，从而得到FG=AF=AE，所以可得四边形AEGF是平行四边形，进而得到其为菱形； （2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质得出∠EAF=90°，由正方形的判定可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵菱形ABCD， ∴AB=AD，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF，∠BAE=∠DAF， ∴∠EAG=∠FAG， ∵FG∥AE， ∴∠EAG=∠FGA， ∴∠FAG=∠FGA， ∴FG=AF=AE， ∵FG∥AE， ∴四边形AEGF是平行四边形， 又∵AF=AE， ∴四边形AEGF是菱形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠B+∠BAD=180°， ∵∠B=∠BAE=30°， ∵△ABE≌△ADF， ∴∠BAE=∠DAF=30°， ∴∠BAD=180°-∠B=150°， ∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=150°-30°-30°=90°， ∵四边形AEGF是菱形， ∴四边形AEGF是正方形． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25．已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝4，AB＝7． （1）如图1，联结BD，当∠A＝60°时，求BD的长； （2）如图2，当∠D＝2∠B时，求CD的长． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）过A作DE⊥AB，垂足为E，利用直角三角形的性质得到AE，利用勾股定理求出DE2，再次利用勾股定理求出BD即可； （2）过点D作DF∥BC，交AB于F，证明四边形BCDF是平行四边形，得到BF=CD，根据角的关系证明AD=AF=4，从而可得结果． 【详解】解：（1）过D作DE⊥AB，垂足为E， ∵DE⊥AB，∠A=60°， ∴∠ADE=30°， ∴AE=AD=2， ∴DE2=AD2-AE2=12，BE=AB-AE=5， ∴BD2=DE2+BE2=37， ∴BD=； （2）过点D作DF∥BC，交AB于F， ∵AB∥CD， ∴BF∥CD，∠2=∠3， 又DF∥BC， ∴四边形BCDF是平行四边形， ∴∠2=∠B，CD=BF， ∵∠ADC=2∠B=2∠2=∠1+∠2， ∴∠1=∠2=∠3=∠B， ∵∠1=∠3， ∴AF=AD=4， ∴BF=AB-AF=3， ∴CD=BF=3． 【点睛】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，解题的关键是掌握图形的性质定理，熟练掌握线段和角的关系转化． 26．如图，已知在平面直角坐标系中，直线和双曲线都经过点和点B． （1）求线段AB的长； （2）如果点P在y轴上，点Q在此双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出P、Q的坐标． 【答案】（1）；（2），，或，或，． 【分析】（1）将点的坐标代入直线和双曲线的解析式中，求出直线和双曲线的解析式，再联立求解得出点坐标，最后用两点间距离公式求解，即可得出结论； （2）设，，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程组求解，即可得出结论． 【详解】解：（1）点在直线上， ． ， 直线的解析式为①， 点在双曲线上， ， 双曲线的解析式为②， 联立①②解得，或， ， ， ； （2）由（1）知，双曲线的解析式为， 点在双曲线上， 设， 点在轴上， 设， 由（1）知，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当与为对角线时， ，， ，， ，， ②当与是对角线时， ，， ，， ，， ③当与是对角线时， ，， ，， ，， 即满足条件的点，的坐标分别为，或，或，． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，平行四边形的性质，用方程组的思想解决问题是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$