第5章 三角函数知识点汇总-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第一册）

《人教A版必修一知识点汇总》 第5章 《 三角函数 》知识点汇总 5.1.1 任 意 角 1.角的动态定义及表示 （1）角的动态定义 平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形就叫做角，其中这条射线的端点称为角的顶点，旋转起始位置的射线称为角的始边，终止位置的射线称为角的终边，如图所示. （2）角的表示 ①用三个大写字母或一个大写字母表示角，通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示角.例如,下图中的角,可以记作“”或“” ②用小写的希腊字母来表示角,记作“角”.在不引起混淆的情况下,可以简记成“”. 2.角的分类 （1）一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角； （2）一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角称为负角； （3）如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成了一个角,这个角称为零角. 3.角的象限性 （1）象限角：为了研究方便,到高中我们通常在平面直角坐标系中讨论角. 将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,此时角的终边在第几象限,就称这个角为第几象限角． 例如 ∵ α = 60°终边在第一象限，∴ α=60°是第一象限角. （2）界限角：如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限， 称为界限角． 例如角都是界限角． （3） 实例运用 例 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角. （1）； （2） ． 解 ：将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. （1）由题意可知角是轴的非负半轴绕着原点逆时针旋转形成的, 如图所示 ∵ ∴ 终边落在第二象限 故 为第二象限角. （2）角是轴的非负半轴绕着原点顺时针旋转形成的, 如图所示 ∵ ∴ 终边落在第一象限, 故为第一象限角. 4.终边相同的角 一般地,与角终边相同的所有角构成的集合为 即所有与角终边相同的角都可以表示成角与的整数倍的和. 例1 写出与角终边相同的所有角构成的集合,并找出范围内与其终边相同的角. 解： 与角终边相同的所有角构成的集合为 当 时， 故在范围内, 与角终边相同的角是角． 注：验证法：即分别令 例2 写出终边在轴上的角组成的集合. 解：由图可知，在［］范围内，终边在轴上的角有与 ∵所有与终边相同的角组成的集合为 又∵所有与终边相同的角组成的集合为 ∴终边在轴上的角组成的集合为 5.1.2 弧 度 制 1.初中的角度制 以度（°）、分（′）、秒（″）为单位来衡量角的大小就叫做角度制. 其中用角度制来度量角时，把一个周角 360等分, 每一份圆弧所对的圆心角就是1°的角．角度制量角用的是六十进制. 2.弧度制的相关概念 （1）弧度与弧度制 规定：弧长等于半径长（即）的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角，记作 “” ,读作 “弧度” 以弧度（）为单位来度量角的制度就称为弧度制 注： 用弧度制表示角时,可以省略单位“”．如“”可以写成“”．但是, 在用角度制表示角时, 不能省略单位度“”. （2） 弧度制角的分类 同时规定，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零. 注：角α的正负由角α的终边的旋转方向决定 （3）弧度制角的大小 规定：半径为,弧长为的圆心角的大小为 即 “圆心角的绝对值等于它所对弧长与半径之比” 注：角的正负由角终边的旋转方向决定. 3.角度制与弧度制之间的相互转换 （1）角度转化为弧度 ∵ ∴ 等式两边同时除以可得 （2）弧度转化为角度 ∵ ∴ 等式两边同时除以可得 （3）一些特殊角的角度值和弧度值对应关系 （4）实例运用 例1 把下列角度转换为弧度. ①； ② 例2 把下列弧度转换为角度. ① ② 3.弧长公式与扇形面积公式 （1）角度制的弧长公式与扇形面积公式（） ① (平分法) ②=∙α (平分法) （2）弧度制的弧长公式与扇形面积公式（） ①(定义法) ②(类三角形法) （3）实例运用 例弧长为，圆心角为的扇形半径为 ，面积为 . 解：设扇形的弧长为, 半径为,圆心角为 ∵已知 ∴ 据弧度制的弧长公式与扇形面积公式可得 5.2.1 三角函数的概念 1.任意角的三角函数 如图，设角的终边与交于点的半径为,过点作 轴,垂足为点,则 点到原点的距离 (勾股定理) 定义:对于任意角 称为角的正弦函数，记作; 称为角的余弦函数，记作; 称为角的正切函数，记作 正弦函数、余弦函数和正切函数都是三角函数. 注（特征）：由任意角三角函数的定义可知 ①高中我们可以求任意角的三角函数值; ②随着角 终边所在象限的不同，角 三角函数的取值有正负之分. ③终边相同角的同一三角函数的值相等. 即： 其中 2. 特殊角的三角函数值 （1）特殊锐角的三角函数值 由图与锐角三角函数的定义可得： （2）特殊界限角三角函数的取值 由图与三角函数的定义可得： 3.单位圆与三角函数 （1）单位圆: 半径为1的圆称为单位圆； （2）单位圆与三角函数定义: 如图，设角的终边与单位圆的交点为 那么此时 ; ; 注:单位圆的引入将为后面推导三角函数的诱导公式以及解决与三角函数有关的计算问题提供理论基础 3.实例运用 例1 已知角的终边经过点 , 求角的正弦、余弦和正切． 解：∵ 已知角的终边经过点 ∴ ∴ 故据三角函数的定义可得 ; ; . 例2 判断下列各三角函数值的符号： (1) 解: ∵ ∴ 是第一象限角，如图所示 ∴ 故 (2) 解：∵ ∴ 与终边相同 又∵是第四象限角 ∴ 也是第四象限角，如图所示 ∴ 故 例3 求下列三角函数的值： (1) ; (2). 5.2.2 同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的基本关系 同一个角α 的正弦与余弦的平方和等于1，商等于角α 的正切. 即 （1）平方关系： （2）商数关系： 2.实例运用 例1 已知, 求 的值． 解：∵ 已知 ∴ 角是第三或第四象限角 （1）当角是第三象限角时，则 据平方关系 可得 又据商数关系可得 . 5.3 诱 导 公 式 1.诱导公式 我们可以从代数的角度对形如等这样的角求三角函数值的规律作如下的归纳总结： 诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限.” 注1：在运用诱导公式时，不论角的大小如何，都要把角看作一个锐角（即第一象限角）； 注2：①对于与的偶数倍之和或之差求三角函数值，即形如或时，则结果的函数名不改变； ②对于与的奇数倍之和或之差求三角函数值，即形如或时，则结果的函数名要改变，且 正弦变余弦, 余弦 变正弦，正切变余切, 余切变正切. 注3：结果的符号要根据原角度或终边所在的象限以及原函数的的定义来判定. 2.实例运用 例1 利用诱导公式求下列三角函数值： （1） （2） 例2化简 解：原式 5.4 三角函数的图像与性质 1.正弦函数的图象与性质 （1）正弦函数的图象 ①列表； ②描点； ③连线. 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线 （2）函数的周期性 ①周期函数 像正弦函数这样， 一般地，设函数的定义域为,如果存在一个非零常数, 使得对于每一个, 都有，且成立 那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期,周期函数的周期不止一个. ②最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 例如 对于正弦函数 ∵ ∴是周期函数， 都是它的周期，其中最小正周期为. （3）正弦函数的性质 由正弦函数的图象可得如下的性质： 2.余弦函数的图象与性质 （1）余弦函数的图象 ①列表； ②描点； ③连线. 余弦函数的图象叫做余弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. （2）余弦函数的性质 由余弦函数的图象可得如下的性质： 3.正切函数的图象与性质 （1）正切函数的图象 ①列表； ②描点； ③连线. 正切函数的图象叫做正切曲线，正切曲线是被与轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. （2）正切函数的性质 由正切函数的图象可得如下的性质： 3.实例运用 例1 不通过求值，比较下列各组数的大小： （1）与; 解：∵ 而正弦函数在区间[]上单调递增 ∴ （2）与; 解：∵ 又∵ 而余弦函数在区间[]上单调递减 ∴ 即 例2 求函数 的单调递增区间. 解（换元法）： 令 则 ∵已知 ，即 ∴ 即 又∵的单调递增区间为 [] 且由可得 （还原法） ∴ 的单调递增区间为 5.5 三角恒等变换 1.和(差)角公式 （1）和角的余弦公式 （2）差角的余弦公式 （3）和角的正弦公式 （4）差角的正弦公式 （5）和角的正切公式 （6）差角的正切公式 例 已知是第三象限角， 求的值. 解：∵ 已知 ∴ ,且据平方关系可得 又∵ 已知是第三象限角， ∴,且据平方关系可得 故. 2.二倍角公式 （1） （2） （3） 例 已知 求 的值. 解：∵ 已知 ∴ ，即2α是第二象限角 又∵已知 ∴ 于是据二倍角公式可得 3.半角公式与辅助角公式 （1）半角公式 ① ② ③ （2）辅助角公式 其中 例 求下列函数的周期，最大值和最小值. （1）（2） 解：由题意据辅助角公式 （其中）可得 （1）∵ ∴函数 的周期为,最大值为，最小值为. （2）∵ 其中 ∴函数的周期为,最大值为，最小值为 5.6 函数 1.匀速圆周运动的数学模型 如图将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，盛水筒 从点运动到点由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定: 筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间. 设时，盛水筒 位于点，以为始边，为终边的角为，经过 后运动到点. 于是，以为始边，为终边的角为，并且有 即① 盛水筒距离水面的高度与时间的关系是 ② 2.函数的图象 （1）对函数图象的影响 一般地，把正弦曲线上的所有点向左(当时)或向右(当时)平移||个单位长度，就得到函数的图象. 即： 的作用——“左加右减”（逆向思维） （2）对函数图象的影响 一般地，把函数图象上的所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的 倍（纵坐标不变），就得到函数的图象,且函数的周期为 . 即：的作用——“大于1横坐标缩短，小于1横坐标伸长（纵坐标不变）”（逆向思维） （3）对函数图象的影响 一般地，把函数图象上的所有点的纵坐标伸长(当时)或缩短(当时)到原来的A倍（横坐标不变），就得到函数的图象,且函数的值域为［］，最大值为，最小值为. 即：的作用——“大于1纵坐标伸长，小于1纵坐标缩短(横坐标不变)”（正向思维） 3.函数中参数的物理意义 描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关: （1）振幅:就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; （2）周期:这个简谐运动的周期是,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; （3）频率:这个简谐运动的频率由公式 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; （4）相位:称为相位;时的相位称为初相. 4.实例运用 例1 请写出正弦曲线变换得到函数图象的过程，并画出函数的简图. 解法一： ∵ ∴ 正弦曲线先向右平移 个单位长度得到函数的图象 又∵ ∴函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数的图象 又∵ ∴函数的图象所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），此时得到的曲线即为函数的图象 函数的简图如下所示 解法二： ∵ ∴函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数的图象 ∵ , 而 ∴ 函数的图象先向右平移 个单位长度得到函数的图象 又∵ ∴函数的图象所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），此时得到的曲线即为函数的图象 函数的简图如上所示. 例2 如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数 (1)求这一天时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解: (1)由图可知，这一天时的最大温差为 (2)由图可以看出，从时的图象是函数的半个周期的图象 ∴振幅 又∵ ∴解得 又∵函数 的图象经过点 ∴满足 解得 综上所述，这段曲线的函数解析式为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$