4.4 角的比较&专题五 角的计算-【优课堂给力A+】2023-2024学年七年级数学上册课前课中（北师大版）

优课堂　 A＋􀅰七年级数学(上) 第６课时　４．４角的比较 １．角的大小比较方法:度量法,　叠合法　． ２．一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分 成两个　相等的角　的射线,叫做这个角的 平分线． ３．易错提示:角平分线是一条射线,不是线段, 也不是直线． １．在小学里大家学过的角有哪些? 谁能说一说 它们是怎样判别的? ２．回忆:如何比较两条线段的大小? ３．类比:你能用类似的方法比较两个角的大 小吗? 探究一　角的比较 例１ 已 知 ∠AOB 和 ∠DEF,如 果 移 动 ∠DEF使得顶点O 与顶点E 重合,边ED 与 边OA 叠 合,边 EF 在 ∠AOB 内 部,那 么 ∠AOB 和 ∠DEF的大小关系是 (A ) A．∠AOB＞ ∠DEF　B．∠AOB＜ ∠DEF C．∠AOB＝ ∠DEF　D．不能确定 １．　　　　　　　　　　　　　　　若 ∠１＝４０．４°,∠２＝４０°４′,则 ∠１与 ∠２的 大小关系　∠１＞ ∠２　． 探究二　角的和差 例２如图所示的是一副特制的三角板,用 它们可以画出一些特殊角．在下列选项中,不 能用这副三角板画出的角度是 (C ) A．１８°　　B．１０８°　　C．８２°　　D．１１７° １．　　　　　　　　　　　　　　　２ 在同一平面内,已知 ∠AOB＝５０°,∠COB ＝３０°,则 ∠AOC＝　８０°或２０°　． ３．已知锐角α和钝角β,四位同学分别计算 １ ４ (α＋β),得到的答案分别为２２°,５１．５°, ６８．５°,７２°,其中只有一个答案是正确的, 那么这个正确的答案是　５１．５°　． 探究三　角平分线 例３如图,已知 ∠AOB∶ ∠BOC＝３∶５, OD,OE 分别是 ∠AOB 和 ∠BOC 的平分线,若 ∠DOE＝６０°,求 ∠AOB 和 ∠BOC的度数． 解:设 ∠AOB＝３x, ∠BOC＝５x, 则 ∠DOB＝１２ ∠AOB＝ ３ ２x , ∠BOE＝１２ ∠BOC＝ ５ ２x , ∵ ∠DOE＝６０°,∴３２x＋ ５ ２x＝６０° ,解得x＝１５°, ∴ ∠AOB＝４５°,∠BOC＝７５°． １．　　　　　　　　　　　　　　　４ 如图,点A,O,B 在一条直线上,∠AOC＝ ５０°,OD 平分 ∠AOC,则 ∠BOD 的度数为 　１５５°　． ５．如图,已知 ∠AOC∶ ∠BOC＝１∶４,OD 平 分 ∠AOB,且 ∠COD ＝３６°,求 ∠AOB 的 度数． 解:设 ∠AOC ＝x,则 ∠BOC ＝４x, ∴ ∠AOB＝５x, ∵OD 平分 ∠AOB, ∴ ∠AOD＝５x２ , ∴ ∠COD＝５x２ －x＝ ３x ２ ＝３６° , ∴x＝２４°,∴ ∠AOB＝５x＝５×２４°＝１２０°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４􀅰 第四章　基本平面图形 第７课时　专题五　角的计算 探究一　角的计算 例１(方程思想)如图,OC 平分 ∠AOB, ∠AOD∶ ∠BOD＝３∶５,已知 ∠COD＝１５°,求 ∠AOB 的度数． 解:设 ∠AOD＝３x,则 ∠BOD＝５x, ∴ ∠AOB＝ ∠AOD＋ ∠BOD ＝３x＋５x＝８x, ∵OC 平分 ∠AOB, ∴ ∠AOC＝１２ ∠AOB＝ １ ２ ×８x＝４x , ∴ ∠COD＝ ∠AOC－ ∠AOD＝４x－３x＝x, ∵ ∠COD＝１５°,∴x＝１５°, ∴ ∠AOB＝８x＝８×１５°＝１２０°． 例２(分类讨论)在平面上,已知 ∠AOB＝８０°, ∠BOC ＝５０°,若 OM 平分 ∠AOB,ON 平 分 ∠BOC,求 ∠MON 的度数． 解:分两种情况讨论: ①如解答图１,当OC 落在 ∠AOB 的内部时, ∵OM 平分 ∠AOB,ON 平分 ∠BOC, ∴ ∠AOM＝１２ ∠AOB＝４０° , ∠BON＝１２ ∠BOC＝２５° , ∴ ∠MON＝ ∠AOB－ ∠AOM － ∠BON ＝８０°－ ４０°－２５°＝１５°; ②如解答图２,当OC 落在 ∠AOB 的外部时, ∵OM 平分 ∠AOB,ON 平分 ∠BOC, ∴ ∠BOM＝１２ ∠AOB＝ １ ２ ×８０°＝４０° , ∠BON＝１２ ∠BOC＝ １ ２ ×５０°＝２５° , ∴ ∠MON＝ ∠BOM＋ ∠BON＝４０°＋２５°＝６５°． 综上所述,∠MON 的度数为１５°或６５°． １．　　　　　　　　　　　　　　　已知O是直线AB 上的一点,∠COD 是直 角,OE 平分 ∠BOC． 图１ 　　 图２ (１)如图１,若 ∠AOC＝３０°,则 ∠DOE 的度 数为　１５°　; (２)在图１中,若 ∠AOC＝α,求 ∠DOE 的 度数(用含α的代数式表示); (３)将图１中的 ∠DOC绕顶点O 顺时针旋 转至图２的位置,且保持射线OC 在直线 AB 上方,在整个旋转过程中,当 ∠AOC的 度数是多少时,∠COE＝２∠DOB? 解:(２)由(１)知 ∠DOE＝ ∠COD－１２ ∠BOC , ∴ ∠DOE＝９０°－１２ (１８０°－ ∠AOC)＝１２ ∠AOC ＝１２α ; (３)设 ∠AOC＝α,则 ∠BOC＝１８０°－α, ∵OE 平分 ∠BOC, ∴ ∠COE＝１２ × (１８０°－α)＝９０°－１２α , 分两种情况: 如解答图１,当OD 在直线AB 上方时, ∠BOD＝９０°－α, ∵ ∠COE＝２∠DOB, ∴９０°－１２α＝２ (９０°－α), 解得α＝６０°; 如解答图２,当OD 在直线AB 下方时, ∠BOD＝９０°－(１８０°－α)＝α－９０°, ∵ ∠COE＝２∠DOB, ∴９０°－１２α＝２ (α－９０°),解得α＝１０８°． 综上 所 述,当 ∠AOC 的 度 数 是 ６０°或 １０８°时, ∠COE＝２∠DOB． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４􀅰 (４)１２°２２′１３″　 针对训练 １．(１)１１６°１０′　(２)７３°３５′　(３)１６°３２′４０″　 例２　解:(１)２点１５分时分针指向数字３,而时针从数字 ２开始转动的角度为１５×０．５°＝７．５°, 所以钟表上２时１５分时,时针与分针所成的锐角 的度数为３０°－７．５°＝２２．５°; (２)分针转过的角度为２５×６°＝１５０°．　 针对训练 ２．解:(１)１５７．５°　(２)设分针转的度数为x,则时针转的 度数为x １２ ,得①９０°＋x－x１２＝１００° , 解得x＝１２０°１１ ,１２０° １１ ÷６°＝ ２０ １１ (分); ②９０°＋x１２－ (x－１８０°)＝１００°, 解得x＝２０４０°１１ ,２０４０° １１ ÷６°＝ ３４０ １１ (分); ∴９点过２０１１ 或３４０ １１ 分钟时,时针与分针成１００°的角．　 例３　C　 针对训练 ３．解:如图所示,C地在AC,BC两条射线的交点上． 解答图 　 第６课时　４．４角的比较 课前预习 １．叠合法　 ２．相等的角　 例１　A　 针对训练 １．∠１＞ ∠２　 例２　C　 针对训练 ２．８０°或２０°　 ３．５１．５°　 例３　解:设 ∠AOB＝３x, ∠BOC＝５x, 则 ∠DOB＝１２ ∠AOB＝ ３ ２x , ∠BOE＝１２ ∠BOC＝ ５ ２x , ∵ ∠DOE＝６０°,∴３２x＋ ５ ２x＝６０° ,解得x＝１５°, ∴ ∠AOB＝４５°,∠BOC＝７５°．　 针对训练 ４．１５５°　 ５．解:设∠AOC＝x,则∠BOC＝４x, ∴ ∠AOB＝５x, ∵OD 平分 ∠AOB, ∴ ∠AOD＝５x２ , ∴ ∠COD＝５x２ －x＝ ３x ２ ＝３６° , ∴x＝２４°,∴ ∠AOB＝５x＝５×２４°＝１２０°． 第７课时　专题五　角的计算 例１　解:设 ∠AOD＝３x,则 ∠BOD＝５x, ∴ ∠AOB＝ ∠AOD＋ ∠BOD＝３x＋５x＝８x, ∵OC平分 ∠AOB, ∴ ∠AOC＝１２ ∠AOB＝ １ ２ ×８x＝４x , ∴ ∠COD＝ ∠AOC－ ∠AOD＝４x－３x＝x, ∵ ∠COD＝１５°,∴x＝１５°, ∴ ∠AOB＝８x＝８×１５°＝１２０°． 例２　解:分两种情况讨论: ①如解答图１,当OC落在 ∠AOB的内部时, ∵OM 平分 ∠AOB,ON 平分 ∠BOC, ∴ ∠AOM＝１２ ∠AOB＝４０° , ∠BON＝１２ ∠BOC＝２５° , ∴ ∠MON＝ ∠AOB－ ∠AOM－ ∠BON＝８０°－４０° －２５°＝１５°; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６１ 解答图１ 　　 解答图２ ②如解答图２,当OC落在 ∠AOB的外部时, ∵OM 平分 ∠AOB,ON 平分 ∠BOC, ∴ ∠BOM＝１２ ∠AOB＝ １ ２ ×８０°＝４０° , ∠BON＝１２ ∠BOC＝ １ ２ ×５０°＝２５° , ∴ ∠MON＝ ∠BOM＋ ∠BON＝４０°＋２５°＝６５°． 综上所述,∠MON 的度数为１５°或６５°．　 针对训练 １．解:(１)１５° (２)由(１)知 ∠DOE＝ ∠COD－１２ ∠BOC , ∴ ∠DOE ＝９０°－ １２ (１８０°－ ∠AOC)＝ １２ ∠AOC ＝ １ ２α ; (３)设 ∠AOC＝α,则 ∠BOC＝１８０°－α, ∵OE平分 ∠BOC, ∴ ∠COE＝１２ × (１８０°－α)＝９０°－１２α , 分两种情况: 如解答图１,当OD 在直线AB 上方时, ∠BOD＝９０°－α, ∵ ∠COE＝２∠DOB, ∴９０°－１２α＝２ (９０°－α), 解得α＝６０°; 解答图１ 　 解答图２ 如解答图２,当OD 在直线AB 下方时, ∠BOD＝９０°－(１８０°－α)＝α－９０°, ∵ ∠COE＝２∠DOB, ∴９０°－１２α＝２ (α－９０°),解得α＝１０８°． 综上所述,当 ∠AOC的度数是６０°或１０８°时,∠COE＝ ２∠DOB． 第８课时　４．５多边形和圆的初步认识 课前预习 １．首尾顺次相接　 ２．n　n　n　(n－３)　n (n－３) ２ 　 ３．相等　相等　 例１　(１)A　(２)B　 针对训练 １．C　２．１０　 ３．解:该多边形边数为４＋３＝７, 设这个正七边形的边长为x, 则７x＝５６,解得x＝８, ∴这个多边形的边长为８．　 例２　解:３６０°÷(４＋２＋３)＝３６０°÷９＝４０°, ４０°×４＝１６０°,４０°×２＝８０°,４０°×３＝１２０°． 故这三个扇形的圆心角的度数分别是１６０°,８０°, １２０°．　 针对训练 ４．１８０°　 ５．解:(１)由题,得 ２ab－ １４π (２b)２ － １２π( ２b ２ ) ２ ＝２ab －πb２ －１２πb ２ ＝２ab－３２πb ２; (２)∵|a－６|＋(２－b)２ ＝０,∴a－６＝０,２－b＝０, 解得a＝６,b＝２． 把a＝６,b＝２,π＝３代入２ab－３２πb ２,得 原式 ＝２×６×２－３２ ×３×２ ２ ＝６． 答:剩余铁皮的面积是６． 第９课时　回顾与思考 １．(１)两点确定一条直线　(２)线段　长度　相等　 ２．(１)两条具有公共端点的射线　旋转　(２)６０　 １６０　６０ 　１６０　 １ ３６００　 (３)射线　 ３．(１)不在同一直线上　(２)(n－３)　１２n (n－３) (４)圆心　(５)圆弧　弧　(６)扇形　圆心角　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７１