4.3 角-【优课堂给力A+】2023-2024学年七年级数学上册课前课中（北师大版）

优课堂　 A＋􀅰七年级数学(上) 第４课时　４．３角(１) １．角的静态的定义:有公共 　端点　 的两条 　射线　组成的图形叫做角; 角 的 动 态 的 定 义:角 可 以 看 作 由 一 条 　射线　,绕 它 的 　端点　 旋 转 而 形 成 的 图形． ２．①１°＝　６０　′,１′＝　６０　″; ②１周角 ＝　３６０　°,１平角 ＝　１８０　°． ３．角的表示方法有三种: (１)用三个字母及符号“∠”来表示．中间的 字母表示顶点,其他两个字母分别表示角的 两边上的点; (２)用一个数字表示一个角; (３)用一个字母表示一个角． １．你能说出下图中每个钟表时针与分针所成 的角度吗? 　 　 　 探究一　角的概念及表示 例１如图,下列说法不正确的是 (B ) A．∠１与∠AOB是同一个角 B．∠AOC也可以用∠O表示 C．∠β＝ ∠BOC D．图中有三个角 １．　　　　　　　　　　　　　　　下列说法正确的是 (C ) A．直线是一个平角 B．周角是一条射线 C．角的两边是射线 D．角的两边是直线 ２．如 图,以 M 为 顶 点 的 角 有 　 ∠CMD, ∠CMA,∠CMB,∠DMA,∠DMB,∠AMB　． 探究二　角的度量 例２计算:(１)用度、分、秒表示:４２．３４°; (２)用度表示:５６°２５′１２″． 解:(１)４２°２０′２４″;(２)５６．４２°． １．　　　　　　　　　　　　　　　３ 下列角度换算错误的是 (A ) A．１０．６°＝１０°３６′′ B．９００′′＝０．２５° C．１．５°＝９０′ D．５４°１６′１２′＝５４．２７° 探究三　角的计数 例３观察下图,回答下列问题: (１)在图１中有　１　　个角; (２)在图２中有　３　　个角; (３)在图３中有　６　　个角; (４)以此类推,如图４所示,若一个角内有 n条射线,则共有　　　　　　　个角． 图１ 　 图２ 　 图３ 　 图４ １．　　　　　　　　　　　　　　　４ 过点O 在 ∠AOB 内部作 ３　　条射线, 可以得到１０个小于平角的角． ５．如图,图中小于１８０°的角共有　１２　个． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 第四章　基本平面图形 第５课时　４．３角(２) １．方位角就是以正北、正南为基准,描述物体 运动方向的角． ２．钟面角 (１)分针每分钟转动的角度为６°; (２)时针每分钟转动的角度为０．５°． １．常用的角的度量单位是什么? ２．１ 周 角 ＝ 平 角 ＝ 直 角 ＝ °． １平角 ＝ 周角 ＝ °． １°＝ ′＝ ″． 探究一　角度的计算 例１计算:(１)１８０°－４６°４２′＝　１３３°１８′　; (２)２８°３６′＋７２°２４′＝　１０１°　; (３)５０°２４′×３＝　１５１°１２′　; (４)４９°２８′５２″÷４＝　１２°２２′１３″　． １．　　　　　　　　　　　　　　　计算: (１)４８°３９′＋６７°３１′＝　１１６°１０′　; (２)１８０°－２１°１７′×５＝　７３°３５′　; (３)４９°３８′÷３＝　１６°３２′４０″　． 探究二　钟面角 例２(１)钟表上２时１５分时,时针与分针 所成的锐角的度数是多少? (２)若时针由２点３０分走到２点５５分,问 分针转过多大的角度? 解:(１)２点１５分时分针指向数字３,而时针从数 字２开始转动的角度为１５×０．５°＝７．５°, 所以钟表上２时１５分时,时针与分针所成的锐 角的度数为３０°－７．５°＝２２．５°; (２)分针转过的角度为２５×６°＝１５０°． １．　　　　　　　　　　　　　　　２ (１)钟面上３点４５分时,时针与分针的夹 角是　１５７．５°　． (２)在９点与１０点之间,什么时候时针与 分针成１００°的角? 解:(２)设分针转的度数为x,则时针转的度数为 x １２ ,得①９０°＋x－x１２＝１００° , 解得x＝１２０°１１ ,１２０° １１ ÷６°＝ ２０ １１ (分); 解得x＝２０４０°１１ ,２０４０° １１ ÷６°＝ ３４０ １１ (分); ∴９点过２０１１ 或３４０ １１ 分钟时,时针与分针成１００°的角． 探究三　方位角 例３ M 地是海上观测站,两艘船A,B 的 方位如图,以 M 地为中心,则 (C ) A．船A在南偏东３０°方向 B．船A在南偏西３０°方向 C．船B在北偏东４０°方向 D．船B在北偏东５０°方向 １．　　　　　　　　　　　　　　　３ 如图所示,一幅地图上有A,B,C 三地,地 图被墨迹污染,C地具体位置看不清楚了, 但知道C 地在A 地的北偏东３０°方向,在 B 地的南偏东４５°方向,你能确定C 地的 位置吗? 解:如 图 所 示,C 地 在 AC,BC 两 条 射 线 的 交 点上． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 例２　①②④　 针对训练 ３．(１)BC　(２)CD　DE　(３)CD　(４)AB　DE　 例３　解:(１)∵AC＝５cm,D 是AC 的中点, ∴AD＝DC＝１２AC＝ ５ ２ cm , (２)∵AB＝９cm,AC＝５cm, ∴BC＝AB－AC＝９－５＝４(cm), ∵E是BC 的中点,∴CE＝１２BC＝２cm , ∴DE＝CD＋CE＝５２ ＋２＝ ９ ２ (cm)．　 针对训练 ４．B　５．１０　 ６．(１)２　(２)１ 第３课时　专题四　线段的计算 课前预习 １．相等　 例１　解:∵点E,F分别是线段AB,BC的中点, ∴BE＝１２AB ,BF＝１２BC ; ①若A,B,C,三点顺次排列,如解答图１, 解答图１ 则EF＝１２AB＋ １ ２BC＝ １ ２ × (１０＋４)＝７; ②若点C在A,B两点之间,如解答图２, 解答图２ 则EF＝１２AB－ １ ２BC＝ １ ２ × (１０－４)＝３． ③∵BC＜AB,∴不存在点 A 在B,C 两点之间的 情况． 综上所述,EF的长为７或３． 例２　解:设BD＝x,则AB＝３x,CD＝４x, ∵线段AB,CD 的中点分别是E,F, ∴BE＝１２AB＝１．５x ,DF＝１２CD＝２x , ∵EF＝２０,∴１．５x＋２x－x＝２０,解得x＝８, ∴AE＋EF＋CF＝１２＋２０＋１６＝４８．　 针对训练 １．解:设BE＝xcm, ∵点E为AC 的中点,BC＝６, ∴AE＝CE＝６＋x; ∵点F为AB 的中点, ∴BF＝１２AB＝ １ ２ (６＋x＋x)＝３＋x, ∴EF＝BF－BE＝３cm．　 ２．解:(１)∵t＝２,∴AC＝４cm, ∵AB＝１０cm, ∴CB＝６cm, ∵D 是线段BC 的中点, ∴CD＝３cm; (２)∵t＝６,∴AC＝１０－２＝８cm; (３)当０≤t≤５时,AC＝２tcm, 当５≤t≤１０时,AC＝(２０－２t)cm; (４)∵DE＝EC＋CD＝１２AC＋ １ ２CB ＝１２ (AC＋CB)＝１２AB＝５cm , ∴线段DE的长不发生变化． 第４课时　４．３角(１) 课前预习 １．端点　射线　射线　端点　 ２．６０　６０　３６０　１８０　 例１　B　 针对训练 １．C　 ２．∠CMD,∠CMA,∠CMB,∠DMA,∠DMB,∠AMB　 例２　解:(１)４２°２０′２４″;(２)５６．４２°．　 针对训练 ３．A　 例３　(１)１　(２)３　(３)６　(４) (n＋１)(n＋２) ２ 　 针对训练 ４．３　５．１２ 第５课时　４．３角(２) 课前预习 例１　(１)１３３°１８′　(２)１０１°　(３)１５１°１２′ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５１ (４)１２°２２′１３″　 针对训练 １．(１)１１６°１０′　(２)７３°３５′　(３)１６°３２′４０″　 例２　解:(１)２点１５分时分针指向数字３,而时针从数字 ２开始转动的角度为１５×０．５°＝７．５°, 所以钟表上２时１５分时,时针与分针所成的锐角 的度数为３０°－７．５°＝２２．５°; (２)分针转过的角度为２５×６°＝１５０°．　 针对训练 ２．解:(１)１５７．５°　(２)设分针转的度数为x,则时针转的 度数为x １２ ,得①９０°＋x－x１２＝１００° , 解得x＝１２０°１１ ,１２０° １１ ÷６°＝ ２０ １１ (分); ②９０°＋x１２－ (x－１８０°)＝１００°, 解得x＝２０４０°１１ ,２０４０° １１ ÷６°＝ ３４０ １１ (分); ∴９点过２０１１ 或３４０ １１ 分钟时,时针与分针成１００°的角．　 例３　C　 针对训练 ３．解:如图所示,C地在AC,BC两条射线的交点上． 解答图 　 第６课时　４．４角的比较 课前预习 １．叠合法　 ２．相等的角　 例１　A　 针对训练 １．∠１＞ ∠２　 例２　C　 针对训练 ２．８０°或２０°　 ３．５１．５°　 例３　解:设 ∠AOB＝３x, ∠BOC＝５x, 则 ∠DOB＝１２ ∠AOB＝ ３ ２x , ∠BOE＝１２ ∠BOC＝ ５ ２x , ∵ ∠DOE＝６０°,∴３２x＋ ５ ２x＝６０° ,解得x＝１５°, ∴ ∠AOB＝４５°,∠BOC＝７５°．　 针对训练 ４．１５５°　 ５．解:设∠AOC＝x,则∠BOC＝４x, ∴ ∠AOB＝５x, ∵OD 平分 ∠AOB, ∴ ∠AOD＝５x２ , ∴ ∠COD＝５x２ －x＝ ３x ２ ＝３６° , ∴x＝２４°,∴ ∠AOB＝５x＝５×２４°＝１２０°． 第７课时　专题五　角的计算 例１　解:设 ∠AOD＝３x,则 ∠BOD＝５x, ∴ ∠AOB＝ ∠AOD＋ ∠BOD＝３x＋５x＝８x, ∵OC平分 ∠AOB, ∴ ∠AOC＝１２ ∠AOB＝ １ ２ ×８x＝４x , ∴ ∠COD＝ ∠AOC－ ∠AOD＝４x－３x＝x, ∵ ∠COD＝１５°,∴x＝１５°, ∴ ∠AOB＝８x＝８×１５°＝１２０°． 例２　解:分两种情况讨论: ①如解答图１,当OC落在 ∠AOB的内部时, ∵OM 平分 ∠AOB,ON 平分 ∠BOC, ∴ ∠AOM＝１２ ∠AOB＝４０° , ∠BON＝１２ ∠BOC＝２５° , ∴ ∠MON＝ ∠AOB－ ∠AOM－ ∠BON＝８０°－４０° －２５°＝１５°; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６１