22.1.4 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（人教版）

第22章二次函数 第5课时22.1.4二次函数y=a.x2+bx+c的图象和性质(1) 裸前预习 【思路点拨】(1)把二次函数的表达式整理成顶 点式的形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可： 1.函数y=a.x2+bx+c(a≠0)的图象是 (2)找出函数图象在x轴下方部分的x的取值范围 2.抛物线y=a.x2+bx十c的对称轴是 即可：(3)根据二次函数的性质，结合图象即可求解， 顶点坐标是 解：(1)y=-x2+2.x+3=-(x-1)2+4, (1)若a>0,抛物线开口向 .顶点坐标为(1,4) 2a 函数的大致图象如解答图； 时，y随x增大而 x> 品时y随 (2)由图可知，当x<-1或 x>3时，y<0: x增大而 时，y有最 -201234 (3)当x<1时，y随x的增 值，是 解答图 大而增大 (2)若a<0,抛物线开口向 b ,x< 2a 针对训练 时，y随x增大而 ；x> 品时y随 1.已知二次函数y=2x2+4.x-6. (1)将其化成y=a(x-h)2+k的形式： x增大而 ；= 时，y有最 (2)写出图象的开口方向、对称轴及顶点 值，是 坐标： 3.抛物线的性质与顶点有关，顶点坐标的计算 (3)求图象与两坐标轴的交点坐标： 可以用配方法，也可以直接用顶点坐标公式 (4)画出函数图象： 计算. (5)说明其图象与抛物线y-2.x的关系； (6)该函数有最值吗？若没有，说明理由： 课堂导入 若有，当x取何值时取得，其最值是多少？ 形如y=a(.x一h)2十k的二次函数，可以直 (7)求函数图象与两坐标轴的交点所组成 接从表达式中看出它的开口方向、对称轴、 的三角形的面积. 顶点坐标、增减性等等，那么如何从二次函 数的一般表达式y=a.x2+bx+c(a≠0)中快 速的找出它的这些性质呢？ 裸堂探究 探究一二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的 图象和性质 例1已知二次函数y=-x2+2x+3.回答 下列问题： (1)求顶点坐标并画出该函数的图象： (2)x取何值时，y<0? (3)x取何值时，y随x的增大而增大？ ·29·第４课时　２２．１．３二次函数y＝a(x－h)２ ＋k的 图象和性质(２) 课前预习 １．抛物线 ２．x＝h　(h,０) (１)上　减小　增大　h　小　０ (２)下　增大　减小　h　大　０ ３．x＝h　(h,k) (１)上　减小　增大　h　小　k (２)下　增大　减小　h　大　k 针对训练 １．D　２．＜　３．y＝(x－１)２　４．C　５．B ６．(１)解:原式可化为y＝(x－１)２, 顶点为(１,０),对称轴为x＝１; (２)解:原式可化为y＝ －(x－３)２ ＋９, 顶点为(３,９),对称轴为x＝３． ７．解:(１)由抛物线y＝ －(x－１)２ ＋４知顶点坐标为A (１,４),对称轴为x＝１, ∵点B,C关于抛物线的对称轴对称,且C(３,０), ∴B(－１,０), 设直线OA 的表达式为y＝kx, 代入点A 的坐标,得k＝４, 则直线OA 的表达式为y＝４x; (２)存在符合条件的P 点的坐标为(２,３)或(４,－５) 或(－４,－２１)． 第５课时　２２．１．４二次函数y＝ax２ ＋bx＋c的 图象和性质(１) 课前预习 １．抛物线 ２．x＝ －b２a　 ( － b ２a ,４ac－b ２ ４a ) (１)上　减小　增大　 －b２a　 小　４ac－b ２ ４a (２)下　增大　减小　 －b２a　 大　４ac－b ２ ４a 针对训练 １．解:(１)y＝２x２ ＋４x－６＝２(x２ ＋２x)－６ ＝２(x２ ＋２x＋１－１)－６＝２(x＋１)２ －８; (２)∵a＝２＞０,∴图象开口向上, ∵顶点式为y＝２(x＋１)２ －８, ∴对称轴是x＝ －１,顶点坐标是(－１,－８); (３)当x＝０时,y＝ －６, 当y＝０时,２x２＋４x－６＝０,解得x＝－３或x＝１, 则与坐标轴交于点(１,０),(－３,０),(０,－６); (４)画出函数图象如解答图; 解答图 (５)将y＝２x２ 向左平移１个单位长度,再向下平移８ 个单位长度,即可得y＝２x２ ＋４x－６的图象; (６)当x＝ －１时,有最小值 y＝ －８; (７)∵该函数图象与坐标轴交于点(１,０),(－３,０),(０, －６), ∴函数图象与两坐标轴的交点所组成的三角形的 面积为１ ２ × (１＋３)×６＝１２． ２．解:(１)当x＝０时,y＝１,则点A的坐标为(０,１), ∵抛物线对称轴为x＝５m２m＝ ５ ２ , ∴B 点坐标为(５,１); (２)设直线OB 的表达式为y＝kx, 把B(５,１)代入,可得５k＝１,解得k＝１５ , ∴直线OB 的表达式为y＝１５x , 由轴对称的性质可知当点 M 运动到直线OB 与二 次函数对称轴的交点时,△MAO 的周长最小, 当x＝５２ 时,y＝１２ , ∴M 点的坐标为 ( ５２, １ ２ ) ． ３．解:(１)根据题意,得A 是抛物线的顶点, ∴此时y的最小值 －３,对称轴是直线x＝ －３, 解答图 ∴m＝ －６． (２)将(－２,０),(－３,－３)代入y ＝ax２ ＋bx中,得 ４a－２b＝０, ９a－３b＝ －３,{ 解得 a＝ －１, b＝ －２,{ ∴抛物线表达式为y＝ －x２ －２x＝ －(x＋１)２＋１, ∴抛物线顶点为B(－１,１),如解答图, ∴S四边形OAPB ＝S△OPB ＋S△OPA ＝ １２ ×２×１＋ １ ２ ×２× ３＝４, ∴四边形OAPB 的面积是４． 第６课时　２２．１．４二次函数y＝ax２ ＋bx＋c的 图象和性质(２) 课前预习 １．(１)y＝ax２ ＋bx＋c(a≠０) (２)y＝a(x－h)２ ＋k (３)y＝a(x－x１)(x－x２) 针对训练 １．D　２．D ３．(１)解:∵抛物线y＝ax２ ＋bx＋２经过点(－２,６), (２,２), ∴ ４a－２b＋２＝６, ４a＋２b＋２＝２,{ 解得 a＝１２ , b＝ －１,{ ∴此抛物线的表达式为y＝１２x ２ －x＋２; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 (２)解:∵抛物线的顶点坐标为(３,－５), ∴设这个抛物线的表达式为y＝a(x－３)２ －５, 又∵抛物线经过点(０,１), ∴a(０－３)２ －５＝１,解得a＝２３ , ∴这个抛物线的表达式为y＝２３ (x－３)２ －５． ４．y＝ －(x－２)２ ＋３　５．１８ ６．解:(１)设二次函数的表达式为y＝a(x－４)２ －４, 又∵二次函数的图象经过原点(０,０), ∴０＝a(０－４)２ －４, 解得a＝１４ , ∴二次函数的表达式为y＝１４ (x－４)２ －４; (２)设直线OA 的表达式为y＝kx,将A(６,－３)代 入,得 －３＝６k,解得k＝ －１２ , ∴直线OA 的表达式为y＝ －１２x , 把x＝４代入y＝ －１２x ,得y＝ －２, ∴点M 的坐标是(４,－２), 又∵点M,N 关于点P 对称, ∴点N 的坐标是(４,－６),∴MN＝４, ∴S△ANO ＝S△MNO ＋S△MNA ＝１２MN 􀅰xM ＋１２MN 􀅰 (xA －xM)＝１２MN 􀅰xA ＝１２ ×４×６＝１２． 第７课时　２２．２二次函数与一元二次方程(１) 课前预习 １．(１)两个　 b ２ －４ac a (２)一个 (３)没有 针对训练 １．C　２．C　３．５２ ４．解:(１)根据题意,得 ２２ －４×(－１)×m＞０, 解得m＞ －１; (２)将点A(３,０)代入y＝ －x２ ＋２x＋m,得 －９＋６＋m＝０, 解得m＝３, ∴抛物线的表达式为y＝ －x２ ＋２x＋３, 则抛物线的对称轴为直线x＝１, 当x＝０时,y＝３,即点B 的坐标为(０,３), 令直线AB 的表达式为y＝kx＋b,将点A(３,０),B (０,３)代入,得 ３k＋b＝０, b＝３,{ 解得 k＝ －１, b＝３,{ ∴直线AB 的表达式为y＝ －x＋３, 当x＝１时,y＝ －x＋３＝２． ∴P 点的坐标为(１,２)． ５．B ６．x１ ＝０,x２ ＝４ ７．解:(１)函数y＝ax２－(３a＋１)x＋２a＋１(a为常数), 若a＝０,则y＝ －x＋１,函数与坐标轴有两个交点 (０,１),(１,０); 若a≠０且图象过原点时,２a＋１＝０,a＝ －１２ ,函数 与坐标轴有两个交点(０,０),(１,０); 若a≠０且图象与x轴只有一个交点时, 令y＝０,有Δ ＝(３a＋１)２ －４a(２a＋１)＝０, 解得a＝ －１, 函数与坐标轴有两个交点(０,－１),(１,０)． 综上,a的值为０或 －１２ 或 －１时,函数图象与坐标 轴有两个交点． (２)∵函数与x轴相交于A(x１,０),B(x２,０)两点, ∴x１,x２ 为ax２ －(３a＋１)x＋２a＋１＝０的两个根, ∴x１ ＋x２ ＝３a ＋１ a ,x１x２ ＝２a ＋１ a , ∵x２ －x１ ＝２, ∴４＝ (x２ －x１)２ ＝ (x１ ＋x２)２ －４x１x２ ＝ (３a＋１a ) ２ －４􀅰２a＋１a , 解得a＝－１３ (函数开口向上,a＞０,舍去)或a＝１, ∴y＝x２ －４x＋３． 第８课时　２２．２二次函数与一元二次方程(２) 针对训练 １．C　２．D　３．－１ ４．解:画出函数y＝x２ ＋２x－２的图象如解答图所示,它 与x轴的交点坐标分别约是(－２．７,０),(０．７,０), 所以方程x２ ＋２x－２＝０的实数根为x１ ≈ －２．７, x２ ≈０．７． 解答图 ５．A　６．１＜x＜３ ７．解:(１)∵直线y＝ －５x＋５与x 轴,y 轴分别交于 A,C两点, ∴当x＝０时,y＝５, ∴C点坐标为(０,５), 当y＝０时,x＝１, ∴A 点坐标为(１,０), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰