22.1.3 二次函数 y=a(x-h)²+k 的图象和性质-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（人教版）

第22章二次函数 第3课时 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质(1) 解：列表如下： 裸前预习 -2-10 1.函数y=a.x2+c(a≠0)的图象是 y=-x2+2 2 -2 2.抛物线y=a.x2+c的对称轴是 ,顶 y=x°-2 2 -1-2-12 点坐标是 描，点、连线，可得图象如图所示 (1)若a>0,抛物线开口向 ,x<0时， y随x增大而 :x>0时，y随x增大 而 ；T= 时，y有最 值， 是 -3-24101E (2)若a<0,抛物线开口向 ,x<0时， y随x增大而 x>0时，y随x增大 而 时，y有最 值， 由图象可得，抛物线y=一x十2的顶点坐标为 是 (0,2),对称轴为y轴，开口向下：抛物线y=x2-2的 3.函数y=ax2+c的图象可由y=a.x2的图象 顶点坐标为(0，一2)，对称轴为y轴，开口向上： 平移得到.当c>0时，y=a.x2向上平移c个 抛物线y=一x+2与抛物线y=x”-2的形状 相同，对称物都是y轴，两个函数的图象关于x轴 单位长度即得到y=a.x2+c的图象：当c<0 对称。 时，y=a.x2向下平移|c|个单位长度即得到 y=a,x2十c的图象. 针对训练 1.下列各图象中有可能是函数y=a.x2+a(a 课堂导入 ≠0)的图象的是 1.画出y=3x和y=3.x+2的图象，这两个图 象有什么相同点和不同点？函数y=3x+2 的图象可以看成由y=3x的图象经过怎样 头木 D 变换得到？ 2.在同一平面直角坐标系内画出函数y 2.在同一坐标轴中画出y=3.x2和y=3x2+2 2x”与y=2x2+1的图象. 的图象，这两个图象又有什么区别和联 系呢？ 课堂探究 探究一 画y=ax”十c的图象 例1在同一直角坐标系中，画出函数y 一x2+2与y=x2一2的图象，请分别说出图象 的顶点坐标、对称轴及开口方向，并分析两个 图象之间的联系。 【思路点拨】先通过列表，描点、连线画出两个 函数的图象，再根据图象解决问题 ·25. 第22章二次函数 第4课时 22.1.3二次函数y=a(x一h)+k的图象和性质(2) 解：y=(x-1)经过点(1,0)，(0,1).(2,1)，(3， 课青预习 4),(一1,4)，用平滑的曲线顺次连接各点，如解答图. 1.函数y=a(x-h)2(a≠0)与y=a(x-h)2+ k(a≠0)的图象都是 2.抛物线y=a(.x一h)的对称轴是 顶点坐标是 21T1234x (1)若a>0,抛物线开口向 ,x<h时， 解答图 例2已知二次函数y=-(.x十2)2，指出这 y随x增大而 :x>h时，y随x增大 个二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐 而 ；x= 时，y有最 值， 标、增减性和最值. 是 (2)若a<0,抛物线开口向 【思路点拔】根据二次函数的图象与性质作答 ,x<h时， 即可， y随x增大而 ;x>h时，y随x增大 解：二次函数y=-(:x+2)的开口向下，对称轴 而 ir= 时，y有最 值， 为直线x=一2，顶点坐标为（一2,0）：在对称轴左侧，y 是 随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而 3.抛物线y=a(xr-h)+k的对称轴是 减小：当x=一2时，y有最大值0. 顶点坐标是 (1)若a>0,抛物线开口向 ,x<h时， 针对训练 y随x增大而 :x>h时，y随x增大 1.如图，二次函数y=(x十a)与一次函数y 而 时，y有最 值， =a.x一a的图象可能是 是 (2)若a<0,抛物线开口向 ,x<h时， y随x增大而 ;x>h时，y随x增大 而 ；= 时，y有最 值， 是 4.函数y=a(x一h)”十k的图象是由y=a.x的 图象平移得到的.其平移口诀：h负正左右 移，k值正负上下移. 2.已知函数y=2(x+1)2图象上有A(0.5, 裸堂导入 y),B(a,y)两点，其中a>1,则y与y L.已知y=3.x2的图象，你能快速画出y= 的大小关系是y y2.(选填“<”“>” -3x2,y=3.x2+2的图象吗？ 或“=”) 2.二次函数y=3(x-2)2的图象与y=3.x2的 3.如图，△ABC为直角三角 图象之间又有怎样的关系呢？ 形，∠ACB=90°，AC=BC, 点A,C在x轴上，点B的 课堂探究 坐标为(3，m)(m>0),线段 探究一 函数y=a(x一h)'的图象和性质 AB与y轴相交于点D,以 例1画出二次函数y=(x一1)2的图象 P(1,0)为顶点的抛物线过点B,D.则该抛 【思路点拔】列表、描点、连线，即可作出图象 物线的表达式为 ·27✉ 尺」优课堂转动A+·九年级数学（上）】 探究二函数y=a(x一h)P十k的图象和性质 5.将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度， 例3在同一坐标系内，画出函数y-2.x2和 再向上平移1个单位长度得到的抛物线的 y-2(x-1)2+1的图象，并说出它们的相同点 表达式为 和不同点 A.y=2(x-4)2-1B.y=2(x+4)2+1 【思路点拔】画出图象，可以发现函数y= C.y=2(x-4)2+1D.y=2(x+4)2-1 2(x一1)2+1的图象可由函数y-2x的图象向上 6.将下列二次函数化为y=a(x-h)2+k的 平移1个单位长度，再向右平移」个单位长度得 形式，并指出其顶点坐标和对称轴。 到，开口方向和开口大小相同，位置不同， (1)y=x2-2x+1: 解：如解答图， r=2(-1)+1 y=2x (2)y=-x2+6x. 解答图 相同点：开口方向和开口大小相同： 7.如图，抛物线y=一(x一1)2+4的顶点为 不同，点：函数y-2(x-1)产+1的图象可由函数y A,与x轴相交于B,C两点，直线y=一2x =2x的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1 +6经过A,C两点，且点C的坐标为(3， 个单位长度得到，也就是说位置不同. 0),连接OA. 例④已知二次函数y=2x2-4x+5. (1)求出点B的坐标和直线OA的表 (1)将二次函数的表达式化为y=a(x 达式： h)”+k的形式： (2)设直线y=m与y轴交于点Q,则在抛 (2)将二次函数的图象先向右平移2个单 物线上是否存在一点P,使以点Q,P,C,B 位长度，再向下平移1个单位长度后，所得二 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 次函数图象的顶点为A,直接写出点A的 请直接写出点P的坐标，若不存在，请说 坐标 明理由. 【思路点拔拨】(1)用配方法可将抛物线的一敦式 转化为顶点式：(2)根据(1)中的顶点式确定顶点坐 标，再根据平移规律求平移后的顶点坐标 解：(1)y=2(x2-2x)+5 =2(.x2-2.x+1-1)+5=2(.x-1)2+3: (2)原抛物线的顶点为(1,3)，平移后得到的顶，点 A为(3,2). 针对训练 4.函数y=-(x+2)2-1的图象上有A(x1, y1),B(x2y2)两点，若x1<x2<-2,则 A.y=ya B.y>y C.y<y2 D.”,y的大小不确定 ·28✉∴该商店对剩余纪念品进行清仓处理后的利润为 (１０－６)×２００＋(－５０x２ ＋８００)＋(１００x－４００)＝ (－５０x２ ＋１００x＋１２００)元． (２)根据题意,得 －５０x２ ＋１００x＋１２００＝１２５０, 整理,得x２ －２x＋１＝０, 解得x１ ＝x２ ＝１, ∴１０－x＝９． 答:第二周每个旅游纪念品的销售价格为９元． 第２２章　二次函数 第１课时　２２．１．１二次函数 课前预习 １．y＝ax２ ＋bx＋c 针对训练 １．A ２．解:由y＝(m ＋２)x m ＋２是y 关于x 的二次函 数,得|m|＝２且m＋２≠０, 解得m＝２． ３．C ４．(１)S＝ －x２ ＋５０x(０＜x＜２０) (２)１ 第２课时　２２．１．２二次函数y＝ax２ 的图象和性质 课前预习 １．抛物线 ２．y轴　(０,０) (１)上　减小　增大　０　小　０ (２)下　增大　减小　０　大　０ ３．越小　越大 针对训练 １．解:列表: x 􀆺 －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ 􀆺 y 􀆺 ４．５ ２ ０．５ ０ ０．５ ２ ４．５ 􀆺 描点、连线可得图象如图所示． ２．A　３．C　４．C ５．１＜a＜４３　６．８　７．２ ８．解:(１)∵直线y＝kx＋b过点F(０,－１), ∴b＝ －１; (２)∵b＝ －１, ∴直线的表达式为y＝kx－１, 由 y＝kx－１, y＝ －１４x ２,{ 得 －１４x ２ －kx＋１＝０, ∴x１􀅰x２ ＝ １ －１４ ＝ －４; (３)由(２),得x１ ＋x２ ＝ － －k －１４ ＝ －４k, ∴xC ＝x１ ＋x２ ２ ＝－２k ,yC ＝－２k􀅰k－１＝－２k２－１, ∵CN⊥AB, ∴kCN ＝ －１k , ∴yCN ＝ －１k (x＋２k)－２k２ －１, 当x＝０时,n＝ －２－２k２ －１＝ －２k２ －３, ∵k≠０,k２ ＞０, ∴n＜ －３． 第３课时　２２．１．３二次函数y＝a(x－h)２ ＋k的 图象和性质(１) 课前预习 １．抛物线 ２．y轴　(０,c) (１)上　减小　增大　０　小　c (２)下　增大　减小　０　大　c 针对训练 １．B ２．解:列表: x 􀆺 －２ －１ ０ １ ２ 􀆺 y＝２x２ 􀆺 ８ ２ ０ ２ ８ 􀆺 y＝２x２ ＋１ 􀆺 ９ ３ １ ３ ９ 􀆺 描点、连线可得图象如图所示． ３．D　４．B　５．C　６．４３　７．３ ８．解:由题意知,△ABC必为等腰直角三角形,设平移 后的抛物线为y＝ －１３x ２ ＋k, 则C(０,k),A(－k,０),B(k,０), 把(k,０)代入抛物线的表达式,得０＝ －１３k ２ ＋k, 解得k＝０(舍去)或k＝３． 所以原抛物线应向上平移３个单位长度． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 第４课时　２２．１．３二次函数y＝a(x－h)２ ＋k的 图象和性质(２) 课前预习 １．抛物线 ２．x＝h　(h,０) (１)上　减小　增大　h　小　０ (２)下　增大　减小　h　大　０ ３．x＝h　(h,k) (１)上　减小　增大　h　小　k (２)下　增大　减小　h　大　k 针对训练 １．D　２．＜　３．y＝(x－１)２　４．C　５．B ６．(１)解:原式可化为y＝(x－１)２, 顶点为(１,０),对称轴为x＝１; (２)解:原式可化为y＝ －(x－３)２ ＋９, 顶点为(３,９),对称轴为x＝３． ７．解:(１)由抛物线y＝ －(x－１)２ ＋４知顶点坐标为A (１,４),对称轴为x＝１, ∵点B,C关于抛物线的对称轴对称,且C(３,０), ∴B(－１,０), 设直线OA 的表达式为y＝kx, 代入点A 的坐标,得k＝４, 则直线OA 的表达式为y＝４x; (２)存在符合条件的P 点的坐标为(２,３)或(４,－５) 或(－４,－２１)． 第５课时　２２．１．４二次函数y＝ax２ ＋bx＋c的 图象和性质(１) 课前预习 １．抛物线 ２．x＝ －b２a　 ( － b ２a ,４ac－b ２ ４a ) (１)上　减小　增大　 －b２a　 小　４ac－b ２ ４a (２)下　增大　减小　 －b２a　 大　４ac－b ２ ４a 针对训练 １．解:(１)y＝２x２ ＋４x－６＝２(x２ ＋２x)－６ ＝２(x２ ＋２x＋１－１)－６＝２(x＋１)２ －８; (２)∵a＝２＞０,∴图象开口向上, ∵顶点式为y＝２(x＋１)２ －８, ∴对称轴是x＝ －１,顶点坐标是(－１,－８); (３)当x＝０时,y＝ －６, 当y＝０时,２x２＋４x－６＝０,解得x＝－３或x＝１, 则与坐标轴交于点(１,０),(－３,０),(０,－６); (４)画出函数图象如解答图; 解答图 (５)将y＝２x２ 向左平移１个单位长度,再向下平移８ 个单位长度,即可得y＝２x２ ＋４x－６的图象; (６)当x＝ －１时,有最小值 y＝ －８; (７)∵该函数图象与坐标轴交于点(１,０),(－３,０),(０, －６), ∴函数图象与两坐标轴的交点所组成的三角形的 面积为１ ２ × (１＋３)×６＝１２． ２．解:(１)当x＝０时,y＝１,则点A的坐标为(０,１), ∵抛物线对称轴为x＝５m２m＝ ５ ２ , ∴B 点坐标为(５,１); (２)设直线OB 的表达式为y＝kx, 把B(５,１)代入,可得５k＝１,解得k＝１５ , ∴直线OB 的表达式为y＝１５x , 由轴对称的性质可知当点 M 运动到直线OB 与二 次函数对称轴的交点时,△MAO 的周长最小, 当x＝５２ 时,y＝１２ , ∴M 点的坐标为 ( ５２, １ ２ ) ． ３．解:(１)根据题意,得A 是抛物线的顶点, ∴此时y的最小值 －３,对称轴是直线x＝ －３, 解答图 ∴m＝ －６． (２)将(－２,０),(－３,－３)代入y ＝ax２ ＋bx中,得 ４a－２b＝０, ９a－３b＝ －３,{ 解得 a＝ －１, b＝ －２,{ ∴抛物线表达式为y＝ －x２ －２x＝ －(x＋１)２＋１, ∴抛物线顶点为B(－１,１),如解答图, ∴S四边形OAPB ＝S△OPB ＋S△OPA ＝ １２ ×２×１＋ １ ２ ×２× ３＝４, ∴四边形OAPB 的面积是４． 第６课时　２２．１．４二次函数y＝ax２ ＋bx＋c的 图象和性质(２) 课前预习 １．(１)y＝ax２ ＋bx＋c(a≠０) (２)y＝a(x－h)２ ＋k (３)y＝a(x－x１)(x－x２) 针对训练 １．D　２．D ３．(１)解:∵抛物线y＝ax２ ＋bx＋２经过点(－２,６), (２,２), ∴ ４a－２b＋２＝６, ４a＋２b＋２＝２,{ 解得 a＝１２ , b＝ －１,{ ∴此抛物线的表达式为y＝１２x ２ －x＋２; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰