1.3.1 空间直角坐标系（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.1空间直角坐标系 人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何 1 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.了解空间直角坐标系 2，理解空间直角坐标系的知识形成过程和原理，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间向量的坐标表示 3.体会类比和归纳的数学思想 学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算．所以，基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础. 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与工轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底,建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算. 平面向量 类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢? 空间向量 情景导入 如图，在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系. 平面直角坐标系 类似地，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k }.以点О为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:z轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz 空间直角坐标系 在空间直角坐标系中O叫做原点， i，j，k都叫做坐标向量， 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. 画空间直角坐标系Ozyz时，一般使∠xOy =135°(或45°)，∠yOz=90°. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. 1.空间直角坐标系 新知探究 一、空间中点的坐标表示 2.空间中点和向量的坐标表示 新知探究 7 二、空间中向量的坐标表示 8 9 10 空间直角坐标系中一些特殊的点 1.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点的位置 Oxy平面 Oyz平面 Ozx平面 坐标形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 概念归纳 11 空间直角坐标系中一些特殊的点 2.空间直角坐标系中对称点的坐标（关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反） (1)点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c); (2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c); (3)点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c); (4)点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c); (5)点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,-c); (6)点(a,b,c)关于Oyz平面的对称点为(-a,b,c); (7)点(a,b,c)关于Ozx平面的对称点为(a,-b,c). 概念归纳 12 典例剖析 13 概念归纳 例2.如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，以{,,}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O. (1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标; (2)写出向量，，,的坐标. 解析：(1)点D'在z轴上,且OD'=2,所以=0＋0＋2.所以点D'的坐标是（0,0,2). 同理，点C的坐标是（0,4,0). 点A'在轴、轴、轴上的射影分别为A,O,D',它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2，所以点A'的坐标是(3,0,2). 点B'在轴、轴、轴上的射影分别为A,C,D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,所以点B'的坐标是(3,4,2). (2)==0+4+0=(0,4,0)； =-=0+0-2 =(0,0,-2); =+ -3＋4＋0=(-3,4,0)；=++ =-3＋4＋2=(-3,4,2). 用坐标表示空间向量的步骤如下: 观图形 建坐标系 用运算 定结果 充分观察图形特征 根据图形特征建立空间直角坐标系 综合利用向量的加减及数乘运算 将所求向量用已知的基向量表示出来，确定坐标 概念归纳 　如图，点A(0,0，a)，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求点D，C，E，F的坐标． 素养点睛：考查直观想象、数学建模的 核心素养． 题型1　空间中点的坐标表示 典例剖析 求某点P的坐标的方法 先找到点P在Oxy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到相应的点P的坐标． 提醒：求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标． 概念归纳 （变式）1．如图，在底面是菱形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面的边长为a，且∠A1B1C1＝120°，侧棱长为2a，在空间直角坐标系中确定点A1，D，C的坐标． 练一练 2．(拓展)如图，在矩形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得平面BCD⊥平面ABD．现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，此时点A恰好在Dxy坐标平面内．试求A，C两点的坐标． 练一练 解：如图，由于平面BCD⊥平面ABD， 从面BCD引棱DB的垂线CF， 即为平面ABD的垂线． 同理可作AE，即为平面BCD的垂线． 因为矩形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，所以BD＝5. 在直角三角形DAB与直角三角形DCB中， 由射影定理知DA2＝DE×BD， 典例剖析 素养点睛：考查直观想象、数学建模的核心素养． 【答案】C 【解析】因为点A和点B的纵坐标相同，横坐标和竖坐标都互为相反数，所以点A和点B关于y轴对称． 探究2　求关于坐标轴平面对称的点 　点(2,3,2)关于平面xOy的对称点的坐标为 (　　) A．(2,3，－2) B．(－2，－3，－2) C．(－2，－3,2) D．(2，－3，－2) 　 素养点睛：考查直观想象、数学建模的核心素养． 【答案】A 【解析】因为关于平面Oxy的对称点的横坐标、纵坐标不变，而竖坐标互为相反数，所以点(2,3,2)关于平面Oxy的对称点的坐标为(2,3，－2)． 典例剖析 素养点睛：考查直观想象、数学建模的核心素养． 【答案】A 【解析】由线段中点坐标公式，则A(3，－2，4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是(0×2－3,1×2＋2，－3×2－4)＝(－3,4，－10)． 典例剖析 在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下： 关于Oxy 平面对称 关于Oyz 平面对称 关于Ozx 平面对称 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于z 轴对称 (x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z) (－x，－y， －z) (x，－y， －z) (－x，y， －z) (－x，－y， z) 概念归纳 其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于Oxy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． 概念归纳 1．已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________． 【答案】(2，－3,1) 【解析】点P(2,3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)． 练一练 2．如图，正方体AOCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴对称的点的坐标为________． 【答案】(－1，－2，－1) 【解析】因为D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2,1)，所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)． 练一练 素养点睛：考查直观想象、数学建模的核心素养． 典例剖析 求向量的坐标时，首先要建立空间直角坐标系、确定单位正交基底，然后根据向量的运算将向量用单位正交基底表示，进而可得所求向量的坐标，这是将向量问题数量化的基础． 概念归纳 解：∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴以DA，AB，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示． 练一练 C 随堂练 解析　当三个坐标均相反时，两点关于原点对称. 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 O A B C x y z 图1.3-6 课本例题 O A B C x y z 图1.3-6 O A B C x y z 图1.3-6 O A B C x y z 图1.3-6 课本练习 O A B C x y z P O A B C x y z P 　四棱锥V－ABCD中，底面是边长为4且∠ABC＝60°的菱形，顶点V在底面的射影是底面对角线的交点O，VO＝3，建立正确的坐标系求各点的坐标时，下列建系方式正确的是 (　　) A．(2)(3) B．(2)(4) C．(1)(4) D．(1)(2)(4) 易错警示　求空间中点的坐标的建系问题 错因分析 错解：选D．在空间直角坐标系中，三个坐标轴的位置关系是两两垂直．由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO，AO，BO和VO，BO，CO两两互相垂直；(3)中的x轴和y轴不垂直，(1)(3)(4)中三个坐标轴两两互相垂直． 错解分析：错误的根本原因是忽略了坐标轴应两两互相垂直而错选． 正解：选B．在空间直角坐标系中，三个坐标轴的位置关系是两两垂直．由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO，AO，BO和VO，BO，CO两两互相垂直；(1)中的x轴和y轴不垂直，(3)中三个坐标轴都不垂直，(2)(4)中三个坐标轴两两互相垂直． 错因分析 防范措施： 1．准确把握建系原则 空间直角坐标系是右手直角坐标系，故三个坐标轴应两两互相垂直，如本题(1)(3)中x轴和y轴不垂直，故不能构成空间直角坐标系． 2．正确使用几何图形的性质 建立合理的空间直角坐标系要寻找互相垂直的坐标轴，垂直关系往往用到平面和立体图形的性质，寻找垂直关系的关键是正确使用几何图形的性质．如本题(2)(4)利用了菱形的对角线互相垂直这一性质，从而确定出x轴与y轴互相垂直. 错因分析 针对训练 1.在空间直角坐标系中标出下列各点:A(0,2,4)，B(1,0,5)， C(0,2,0)， D(1,3,4). 解析：1.解析建立如图所示的空间直角坐标系,表示各点如图. A(0,2,4) B(1,0,5) D(1,3,4) C (0,2,0) 分层练习-基础 2.在空间直角坐标系Oxyz中, (1)哪个坐标平面与x轴垂直？哪个坐标平面与y轴垂直？哪个坐标平面 与z轴垂直？ (2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标 (3)写出点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标 解析： (1)在空间直角坐标系Oxyz中,Oyz平面与x轴垂直，Oxz平面与y轴垂直，Oxy平面与z轴垂直. (2)点P( 2,3,4)在Oyz平面内的射影坐标为P1(0,3,4),在Oxz平面内的射影坐标为P2( 2,0,4),在Oxy平面内的射影坐标为P3(2,3,0). (3)点P( 1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标为P'(1,3,5). 分层练习-基础 3.在长方体OABC-D'A'B'C中，OA=3，OC=4，OD'=3，A'C'与B'D'相交于 点P，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. (1)写出点C， B'，P的坐标; (2)写出向量，的坐标. 解析：(1)C ( 0,4,0 )，B(3,4,3 )，P(,2,3) ( 2) = =(0,0,3 )，'=+=( -3,4,0). 分层练习-基础 4.已知点B是点A(3， 4，5)在坐标平面Oxy 内的射影，求||. 解析:因为点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的投影,所以B( 3,4,0)， 所以=(3,4,0) 所以= =5. 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 66 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 4.空间中两点的中点坐标公式：已知点 ，则AB的中点C的坐标为 ； 1.构建空间直角坐标系； 2.求空间直角坐标系中的点和向量的坐标； 3.特殊位置的点和向量的坐标的特点； 5.空间直角坐标系中两点对称的规律. 课堂小结 75 例1 在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4， D为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求的坐标．， 解：由已知AO⊥OB，O1O⊥OA，O1O⊥OB，从而建立以方向上的单位向量i，j，k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，，， 如图，则＝4k， ＝2j，＝4i， ) ＋＝－(＝－ ＝－ ＝－＝－2i－j－4k， －－ 故的坐标为(－2，－1，－4)． ＝－4i＋2j－4k， －－)＝＋－(＝－＝ 故的坐标为(－4,2，－4)． 即＝(－4,2，－4)．＝(－2，－1，－4)， 例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标． 解：如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz．所以D(0,0,0)． 因为长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4， 可得A(3，0,0)，C(0,5,0)，D1(0,0,4)，B (3,5,0)，A1(3,0,4)， C1(0,5,4)，B(3,5,0)，D1(0,0,4)，B1 (3,5,4)． 建系确定点的坐标的原则 (1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另两个轴上的射影，确定点的坐标． 解：如题图坐标系所示，因为∠ADB＝30°， 所以eq \f(AB,BD)＝tan 30°.所以BD＝eq \r(3)a.所以D(0，eq \r(3)a,0)． 又因为BC＝CD且∠BCD＝90°，所以△BCD是等腰直角三角形，则C在y轴投影点为BD中点，所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(\r(3),2)a，0)). 又因为E是AC中点，且A(0,0，a)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(\r(3),2)a，0))，由中点坐标公式可知Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a，\f(\r(3),4)a，\f(a,2))). 又因为F是AD中点，且A(0,0，a)，D(0，eq \r(3)a,0)，由中点坐标公式可知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a，\f(a,2))). 解：因为点A1在Oxy坐标平面内， 所以点A1的竖坐标为0.又由平面几何知识得x轴是A1D1的垂直平分线， 所以A1H＝eq \f(a,2)，OH＝eq \f(\r(3),2)a，所以A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，－\f(a,2)，0)). 同理可得Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，2a))，C(0，a,2a)． 即9＝DE×5，得DE＝eq \f(9,5)，BC2＝BF×BD， 即9＝BF×5，得BF＝eq \f(9,5). 由勾股定理可解得CF＝AE＝eq \f(12,5)， EF＝5－DE－BF＝5－eq \f(9,5)－eq \f(9,5)＝eq \f(7,5)， 所以DF＝DE＋EF＝eq \f(9,5)＋eq \f(7,5)＝eq \f(16,5). 故在空间坐标系中，A，C两点的坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(9,5)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(16,5)，\f(12,5))). 题型2　空间中点的对称问题 探究1　求关于坐标轴对称的点 在空间直角坐标系中，点A(2，－2,4)与点B(－2，－2，－4)关于 (　　) A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．z轴对称 探究3　求关于点对称的点 　点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是 (　　) A．(－3,4，－10) B．(－3,2，－4) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，\f(1,2))) D．(6，－5,11) 　题型3　空间向量的坐标运算 　已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的三等分点，且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，建立适当的空间直角坐标系，求eq \o(MN,\s\up16(→))的坐标． 解：由题意得PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB， 所以PA⊥AD，PA⊥AB． 所以PA，AD，AB两两垂直． 又PA＝AB＝AD＝1，所以可设eq \o(AD,\s\up16(→))＝i，eq \o(AB,\s\up16(→))＝j， eq \o(AP,\s\up16(→))＝k. 分别以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系． 因为eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \o(PN,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CN,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(CP,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)i＋eq \f(1,3)k， 所以eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0，\f(1,3))). 因此eq \o(MN,\s\up16(→))的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0，\f(1,3))). 1.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，求eq \o(MN,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))的坐标． 设eq \o(DA,\s\up16(→))＝e1，eq \o(AB,\s\up16(→))＝e2，eq \o(AP,\s\up16(→))＝e3. ∵eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \o(PN,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,2)e2＋e3＋eq \f(1,2)(－e3－e1＋e2)＝－eq \f(1,2)e1＋eq \f(1,2)e3， ∴eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＝e2＝(0,1,0)． 4．判断正误 (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式． (　　) (2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式． (　　) (3)空间直角坐标系中，点(1，eq \r(3)，2)关于yOz平面的对称点为(－1，eq \r(3)，2)． (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 5．已知A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点是A′(λ，7， －6)，则λ，μ，v的值为 (　　) A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5　 B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5 C．λ＝－2，μ＝10，v＝8 D．λ＝2，μ＝10，v＝7 答案：D　 答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7) 6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________． 解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底， 所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)． 1.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出eq \o(AA1,\s\up10(→))，eq \o(AB1,\s\up10(→))，eq \o(AC1,\s\up10(→))的坐标． 解析： 分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，eq \o(DC,\s\up10(→))，eq \o(DA,\s\up10(→))，eq \o(DD1,\s\up10(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，eq \f(\r(3),2)，0)，A1(0，eq \f(\r(3),2)，2)，B1(－eq \f(1,2)，0,2)，C1(eq \f(1,2)，0,2)， 所以eq \o(AA1,\s\up10(→))＝(0,0,2)，eq \o(AB1,\s\up10(→))＝(－eq \f(1,2)，－eq \f(\r(3),2)，2)，eq \o(AC1,\s\up10(→))＝(eq \f(1,2)，－eq \f(\r(3),2)，2). 【易错警示】 易错原因 纠错心得 建系时，误认为eq \o(AB,\s\up10(→))与eq \o(AC,\s\up10(→))垂直，从而以A为原点，eq \o(AB,\s\up10(→))，eq \o(AC,\s\up10(→))，eq \o(AA1,\s\up10(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系导致错误 在建系时应注意，若图中没有直接建系的条件，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的建系条件. 1.在空间直角坐标系 中，点关于原点对称的点的坐标是（       ） A． B． C． D． D 解析：若 关于原点对称的点的坐标为， ∴ 的中点为 ，由中点坐标公式可得： ， ∴ . 2.在空间直角坐标系中，已知点 ，则线般的中点坐标是（       ） A． B． C． D． A 解析：设线般 的中点坐标为 ， 由 可得 ， 所以 可得 ，所以线般 的中点坐标是 . 3.已知点 ，，C为线段AB上一点，且 ， 则点C的坐标为______． 解析：设，因为 ， ， ， 所以 ，解得 ， ， ， 所以点C的坐标为 ． 4.已知点 ，，求向量 的坐标． 解： . 5.已知三棱锥 中，平面ABC， ，若 ， ， ，建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标； (2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标； (3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标. 解：(1)在三棱锥 中，平面ABC， ， 则射线 两两垂直，以点A为原点，射线 分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 所以 ， ， ， . (2)由（1）知，点Q是PC中点，则 . (3)由（1）知，点M在线段PC上移动，则点M的横坐标为0，设其纵坐标为t ， 其竖坐标z，当M与A不重合时， ，当M与A重合时，z=3满足上式，因此 ，所以点 . 6.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝4，A1C1与B1D1相交于点P，建立适当的空间直角坐标系，求出点C，B1，P的坐标(写出符合题意的一种情况即可)． 以下是两名同学的解法． 甲同学：如图①，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． ∵|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝4， ∴B(5,0,0)，D(0,4,0)， A1(0，0,4)， 从而C(5,4,0)，B1(5,0,4)， 又D1(0,4,4)，P为B1D1的中点， ∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，2，4)). 乙同学：如图②，以A为坐标原点，AD，AB，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． ∵|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝4， ∴B(0,5,0)，D(4,0,0)， A1(0,0,4)， 从而C(4,5,0)，B1(0,5,4)， 又D1(4,0,4)，P为B1D1的中点， ∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)，4)). 试分析两位同学在求解过程中谁错？错在何处？ 提示：上述甲同学解法错误，乙同学解法正确．甲同学解法错误的原因是坐标系的建立不符合右手法则，因此解答是错误的．事实上，在建立空间直角坐标系时，要求x轴、y轴、z轴的正方向排列次序要遵循右手法则． 1．如图所示，一只蚂蚁在水泥构件O点处，在A，B，C，D，E处放有食物，请你根据本节所学知识，建立适当的空间直角坐标系，告诉小蚂蚁食物的准确位置． 解：以点O为坐标原点，以正南方向为x轴正方向，以OA所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设1个方格的边长为1个单位长度，则依据各点的位置可得各点的坐标如下：A(0,0,8)，B(－2,5,3)，C(0,14,1)，D(－6，13,3)，E(－6,17，－3)． 注：答案不唯一，建立的空间直角坐标系符合要求即可． $$