1.2 配方法（二次项系数为1）（第2课时）（教学课件） -2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第一章 一元二次方程 第二课时 配方法（二次项系数为1） 1.2 一元二次方程的解法 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解配方的基本过程，会运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. （重点） 2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想. 情景导入 上节课我们学习解一元二次方程的第一种方法直接开平方法回顾一下： 1.什么形式的一元二次方程可以使用直接开平方法求解？ 如果一个一元二次方程形如 、（x＋h）2＝k（h、k是常数，k≥0） 的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 直接开平方法 转 化 一元二次方程： 形如 （h，k为常数，k≥0） 两个一元一次方程 降次 首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数，然后化完全平方式的系数为1，最后根据平方根的定义求解． 2.运用直接开平方法求解时的步骤是什么？ (1) 9x2=16； (2) (3x－2)2=7. 1.请用直接开平方法解下列方程. 2.你还记得完全平方公式吗？试着填一填： (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a−b 解： 解： 复习回顾 这个方程能用直接开平方法来解吗? (1) x2+6x+4 =0； 我们可以将它转化成(x+3)2=5这样的形式，然后再利用直接开平方法求解 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 新知探究 转化为 把常数项移到方程的右边，得 即 在方程的两边都加上一次项系数6的 一半的平方，得 整理，得 移项 配方 开平方 以上解法中,为什么在方程 两边加9?加其他数行吗? 把一个一元二次方程变形为（x＋h）2 ＝k (h、k为常数)的形式， 当k ≥0时，运用直接开平方法求出方程的解， 这种解一元二次方程的方法叫配方法. 概念归纳 当二次项系数为 1 时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍。 概念归纳 数学语言表示为： x2+px+( )2=(x+ )2 (1)x²+10x+ =(x+ )² (2)x²-12x+ =(x- )² (3)x²+5x+ =(x+ )² (4)x²- x+ =(x- )² (5)4x²+4x+ =(2x+ )² 6² 5 5² 6 1² 1 a2+2ab+b2=( )2； a2-2ab+b2=( )2. a+b a−b 你能根据这个公式填空让下列式子相等吗？ 配方总的来说就是要配成完全平方. 根据完全平方式的结构特征，当二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方． 例1 解下列方程： 分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法. (2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程. (3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方. 典例剖析 解：移项，得 配方，得 由此可得 即 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2 − 3x= −1， 即 移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢? 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为1，得 为什么方程两边都加12？ 即 15 1.解下列方程： （1）x2+4x−9=2x−11；（2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2−6x−3=0； （4） 3x2+6x−9=0. 解：x2+2x+2=0， (x+1)2= −1. 此方程无解； 解：x2−4x−12=0， (x −2)2=16. x1=6，x2= −2； 解：x2+2x－3=0， (x+1)2=4. x1= −3，x2=1. 练一练 —般地，如果一个系数为1 的一元二次方程通过配方转化成 (x＋n)2＝p 的形式，那么就有： (1)当p>0时，方程有两个不等的实数根 (2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－n； (3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0， 所以方程无实数根． x1＝－n－，x2＝－n＋； 概念归纳 用配方法解系数为1的一元二次方程的步骤: 1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解. 移项时需注意改变符号. 概念归纳 数： 形： 正方形的面积 矩形面积 正方形 面积 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观地表示. 完全平方公式的特征. 补成正方形面积的需要. 配方的过程，可以看成将一个长是（x+2）、宽是x、面积是24的矩 形通过割、拼、补成为一个正方形的过程 割补成为一个正方形 配 方 B A 随堂练 A 随堂练 36 6 (x＋3)2－7 2 1 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 C A 分层练习-基础 C A 4 2 分层练习-基础 C A 分层练习-基础 A D 分层练习-基础 B D 分层练习-基础 B x1＝2，x2＝－2 ±3 分层练习-基础 D D 分层练习-基础 C 分层练习-基础 3 －3或1 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 ⑤ x1＝2，x2＝－4 分层练习-巩固 分层练习-巩固 一半的平方 减去 完全平方式 3 4 课堂反馈 D 课堂反馈 配方法 定义 通过配成完全平方的形式解一元二次方程的方法. 步骤 一.移常数项； 二.配方[配上 ]； 三.写成（x+n)2=p (p ≥0); 四.直接开平方法解方程. 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 课堂小结 1.(嘉兴中考)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是( ) A.(x＋2)2＝2　　　　 B.(x＋1)2＝2 C.(x＋2)2＝3 D.(x＋1)2＝3 2.将方程x2－2x＝2配方成(x＋a)2＝k的形式，则方程两边需要加上( ) A.1　　　 B.－1　　　 C.2　　　 D.－2 3.(聊城中考)用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是( ) A.(x－eq \f(3,4))2＝eq \f(17,16) B.(x－eq \f(3,4))2＝eq \f(1,2) C.(x－eq \f(3,2))2＝eq \f(13,4) D.(x－eq \f(3,2))2＝eq \f(11,4) (x－eq \f(3,4))2＝eq \f(25,16) 4.在下列各空白处，填上适当的数使等式成立. (1)x2＋12x＋ ＝(x＋ )2； (2)x2－3x＋　 　＝(x－　 　)2. 5.将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为 . 6.解方程：2x2－3x－2＝0.为了便于配方，我们将常数项移到右边，得2x2－3x＝ ；再把二次项系数化为1，得x2－　 　x＝ ；然后配方， 得　 　. eq \f(9,4) eq \f(3,2) eq \f(3,2) 7.用配方法解下列方程： (1)x2＋6x＝1; (2)2x2＋6＝7x. 解：(1)x1＝－3＋eq \r(10)，x2＝－3－eq \r(10)； (2)x1＝2，x2＝eq \f(3,2). 8.用配方法解方程2x2－eq \r(2)x－30＝0，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正. 解：方程两边都除以2并移项，得x2－eq \f(\r(2),2)x＝15，配方，得x2－eq \f(\r(2),2)x＋(eq \f(1,2))2＝15＋eq \f(1,4)，即(x－eq \f(1,2))2＝eq \f(61,4)，解得x－eq \f(1,2)＝±eq \f(\r(61),2)，即x1＝eq \f(1＋\r(61),2)，x2＝eq \f(1－\r(61),2). 解：求解的过程不对，错在配方一步，改正如下： 配方，得x2－eq \f(\r(2),2)x＋(－eq \f(\r(2),4))2＝15＋eq \f(1,8)， 即(x－eq \f(\r(2),4))2＝eq \f(121,8)，解得x－eq \f(\r(2),4)＝±eq \f(11\r(2),4)， 即x1＝3eq \r(2)，x2＝－eq \f(5\r(2),2). 1．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为(　　) A．(x＋4)2＝17　　　　 B．(x＋4)2＝15 C．(x－4)2＝17 D．(x－4)2＝15 2．用配方法解方程x2＋x＝2，应把方程的两边同时(　　) A．加eq \f(1,4)　 B．加eq \f(1,2)　 C．减eq \f(1,4)　 D．减eq \f(1,2) 3．方程(x＋1)2＝9的解是(　　) A．x＝2 B．x＝－4 C．x1＝2，x2＝－4 D．x1＝－2，x2＝－4 4．若(x2＋y2－5)2＝64，则x2＋y2等于(　　) A．13 B．13或－3 C．－3 D．以上都对 5．用适当的数填空，使等式成立： (1)x2－4x＋ ＝(x－ )2； (2)x2＋5x＋　 　＝(x＋　 　)2. eq \f(25,4) eq \f(5,2) 3．方程(x＋1)2＝9的解是(　　) A．x＝2 B．x＝－4 C．x1＝2，x2＝－4 D．x1＝－2，x2＝－4 4．若(x2＋y2－5)2＝64，则x2＋y2等于(　　) A．13 B．13或－3 C．－3 D．以上都对 8．方程(x－2)2＝9的解是(　　) A．x1＝5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1 C．x1＝11，x2＝－7 D．x1＝－11，x2＝7 9．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 10．已知关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有实数根，则m的取值范围是(　　) A．m≥－eq \f(3,4) B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2 11．若方程x2＋kx＋64＝0的左边是完全平方式，则k的值是(　　) A．16 B．－16 C．±8 D．±16 12．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有a★b＝a2－3a＋b，如4★5＝42－3×4＋5，x★2＝6，则实数x的值是(　　) A．－4或－1 B．4或－1 C．4或2 D．－4或2 13．一元二次方程eq \f(1,4)x2－1＝0的解是 . 14．若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是 . 9.(山西中考)一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为( ) A.(x＋2)2＝3　　　　　 B.(x＋2)2＝5 C.(x－2)2＝3 D.(x－2)2＝5 10.用配方法解下列方程，其中应在等号左边加上并减去4的是( ) A.x2－2x＝5 B.2x2－4x＝5 C.x2＋2x＝5 D.x2－4x＝5 11.用配方法解下列方程时，配方有误的是( ) A.x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100 B.2t2－7t－4＝0化为(t－eq \f(7,4))2＝eq \f(81,16) C.x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25 D.3x2－4x－2＝0化为(x－eq \f(2,3))2＝eq \f(10,9) 12.若a的值使得x2＋4x＋a＝(x＋2)2－1成立，则a的值为 . 13.关于x的一元二次方程2x2－3x－a2＋1＝0的一个根为2，则a的值为 　 　. 14.当k＝ 时，方程x2－2(k＋1)x＋4＝0的左边是一个关于x的完全平方式. ±eq \r(3) (3)2x2－5x－6＝0； 解：x2－eq \f(5,2)x＝3，(x－eq \f(5,4))2＝eq \f(73,16)，x－eq \f(5,4)＝±eq \f(\r(73),4)， x1＝eq \f(5＋\r(73),4)，x2＝eq \f(5－\r(73),4)． 6．解方程： (1)x2＋4x＋3＝0； 解：x1＝－1，x2＝－3； (2)x2－10x＝11； 解：x1＝11，x2＝－1； 7．试证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋2＝0，无论m取何值，该方程总是一个一元二次方程． 证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵无论m为何值(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1≥1，即无论m取何值，方程总是一元二次方程． (3)3x2－6＝5x． 解：3x2－5x＝6，x2－eq \f(5,3)x＝2， x2－eq \f(5,3)x＋(eq \f(5,6))2＝2＋eq \f(25,36)，(x－eq \f(5,6))2＝eq \f(97,36)， x－eq \f(5,6)＝±eq \f(\r(97),6)，x1＝eq \f(5＋\r(97),6)，x2＝eq \f(5－\r(97),6)． 15．解方程： (1)2x2－2x＝x2－5； 解：x2－2x＝－5，x2－2x＋1＝－4，(x－1)2＝－4，此方程无解； (2)2x2－2x＝2x＋4； 解：2x2－4x＝4，x2－2x＝2，x2－2x＋1＝2＋1，(x－1)2＝3，x－1＝±eq \r(3)，x1＝1＋eq \r(3)，x2＝1－eq \r(3)； 16．用配方法将下列各式化为a(x＋c)2＋k的形式． (1)－3x2－6x＋1； (2)eq \f(2,3)y2＋eq \f(1,3)y＋2． 解：(1)原式＝－3(x2－2x)＋1＝－3(x＋1)2＋4； (2)原式＝eq \f(2,3)(y2＋eq \f(1,2)y)＋2＝eq \f(2,3)(y＋eq \f(1,4))2＋eq \f(47,24)． 17．用配方法说明：代数式－3x2＋6x－4的值恒小于0，再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？ 解：－3x2＋6x－4＝－3(x2－2x)－4＝－3(x2－2x＋1－1)－4＝－3(x－1)2－1，∵无论x为何值－3(x－1)2≤0，∴－3(x－1)2－1≤－1，即代数式－3x2＋6x－4的值恒小于0，当x＝1时，代数式的值最大为－1． (3)x(x－2)－2＝0. 解：x1＝1＋eq \r(3)，x2＝1－eq \r(3). 15．解一元二次方程： (1)4x2－3＝0； 解：x1＝eq \f(\r(3),2)，x2＝－eq \f(\r(3),2)； (2)x2＋8x－16＝0； 解：x1＝－4＋4eq \r(2)，x2＝－4－4eq \r(2)； 16．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长． 解：设BC边的长为x米，根据题意得x·eq \f(32－x,2)＝120，解得：x1＝12，x2＝20.∵20＞16，∴x2＝20不合题意，舍去． 答：该矩形草坪BC边的长为12米． 17．将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　b,c　d)).定义eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))＝ad－bc，上述记号就叫做二阶行列式．若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋1　1－x,x－1　x＋1))＝6，求x的值． 解：根据定义eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))＝ad－bc，由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋1　1－x,x－1　x＋1))＝6，得(x＋1)2－(1－x)(x－1)＝6.化简，得x2＝2，∴x＝±eq \r(2). (3)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：x1＝2，x2＝4. 15．用配方法证明：无论x为何实数，代数式－x2＋4x－8的值恒小于零． 解：∵－x2＋4x－8＝－(x－2)2－4＜0，∴无论x为何实数，代数式－x2＋4x－8的值恒小于零． 14．用配方法解下列方程： (1)2x2－7x＋6＝0； 解：(x－eq \f(7,4))2＝eq \f(1,16)，x－eq \f(7,4)＝±eq \f(1,4)，∴x1＝2，x2＝eq \f(3,2)； (2)eq \f(1,2)x2－x－1＝0； 解：x1＝1＋eq \r(3)，x2＝1－eq \r(3)； (3)2x2－x－1＝0. 解：x1＝1，x2＝－eq \f(1,2). 15.用配方法解下列方程： (1)(x－1)2＝(2x＋3)2； 解：x1＝－4，x2＝－eq \f(2,3)； (2)x2－2x－2＝0； 解：x1＝eq \r(3)＋1，x2＝－eq \r(3)＋1； 16.阅读理解：判断下列解法是否正确，若不正确，请更正. 求代数式2x2－x＋3的最小值. 解：2x2－x＋3＝x2－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)＝x2－eq \f(1,2)x＋(eq \f(1,4))2－(eq \f(1,4))2＋eq \f(3,2)＝(x－eq \f(1,4))2＋eq \f(23,16).∵(x－eq \f(1,4))2≥0， ∴(x－eq \f(1,4))2＋eq \f(23,16)≥eq \f(23,16)，即代数式2x2－x＋3的最小值为eq \f(23,16). 解：不正确.正确解法如下： 2x2－x＋3＝2(x2－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2))＝2(x－eq \f(1,4))2＋eq \f(23,8)，∵2(x－eq \f(1,4))2≥0，∴2(x－eq \f(1,4))2＋eq \f(23,8)≥eq \f(23,8)，故代数式2x2－x＋3的最小值为eq \f(23,8). 17.有n个方程，x2＋2x－8＝0；x2＋2×2x－8×22＝0；…；x2＋2nx－8n2＝0. 小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤为：“①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2.” (1)小静的解法是从步骤 开始出现错误的， 正确的结果为 ； (2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0(用含有n的式子表示方程的根). 解：x2＋2nx－8n2＝0配方得(x＋n)2＝9n2，∴x＋n＝±3n.故方程的解为x1＝2n，x2＝－4n. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 若二次项系数为1，在方程的左边加上一次项系数的 ，再 这个数，使得含未知数的项在一个 里，这种做法叫做配方. 1. 一元二次方程x2－6x＋5＝0配方可变形为(x－　 　)2＝　 　. 易错点 方程左边加上了一次项系数一半的平方，右边没有. 3. 用配方法解一元二次方程x2－4x＝5的过程中，配方正确的是( ) A.(x＋2)2＝1　　　　　　　B.(x－2)2＝1　　　　　　　 C.(x＋2)2＝9　　　　　　　D.(x－2)2＝9 $$