1.1 菱形的判定（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

九年级北师大版数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 第二课时 菱形的判定 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 　1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判 定定理．（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 情景导入 根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法： AB=AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 新知探究 6 A B C O D 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. AC⊥BD 几何语言描述： ∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理： 概念归纳 【例1】课本例5 已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD 是菱形. 证明：在△AOB 中， ∵AB = ，OA=2，OB=1， ∴AB2 = AO2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD 是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）. 典例剖析 例2 如图,□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F,求证：四边形AFCE是菱形． A B C D E F O 1 2 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AE∥FC，∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC， ∴AO = OC . 又∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴EO =FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形. 典例剖析 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD B 练一练 小刚：分别以A，C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A，B，C，D四点. 已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 2.四条边相等的四边形是菱形 新知探究 证明：∵AB=BC=CD=AD， ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. A B C D 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证一证 四条边都相等的四边形是菱形. AB=BC=CD=AD 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 菱形的判定定理： 四边形ABCD A B C D 概念归纳 证明：∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF, ∴四边形ABCD是菱形. 2 例3 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E，F分别在 AB， AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形. A C B E D F 1 典例剖析 例4 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形． 证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四边形ACFD是菱形． 归纳总结：四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便． 典例剖析 1.判断下列说法是否正确 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为 24cm和26cm，那么平行四边形的面积是 . 312cm2 练一练 1.画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为 4 cm 和 6 cm. （1）作AC=6cm，取AC的中点O, （2）作BD⊥AC，OB=OD=2cm， （3）依次连接点A，B，C，D. 课本练习 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F.求证：四边形AFCE是菱形. 1. 证明：在□ABCD中, ∵AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO （两直线平行，内错角相等）. ∵EF是AC的垂直平分线, ∴AO=CO. 习题1.2 知识技能 在△AOE和△COF中, ∴△AOE≌△COF（ASA）. ∴AE=CF.∵AE∥CF, ∴四边形AFCE是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形）. ∵EF⊥AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形EFGH是菱形. 2. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB, OC,OD的中点， 知识技能 ∴OE= OA,OG= OC,OF= OB,OH= OD, ∴OE=OG,OF=OH. ∴四边形EFGH是平行四边形 （对角线互相平分的四边形是 平行四边形）. ∵AC⊥BD,即EG⊥HF, ∴四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E.你能确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论. 3. 解：四边形CDC′E是菱形. 证明如下：由题意得△C′DE≌△CDE. ∴∠C′DE=∠CDE,C′D=CD,C′E=CE. 数学理解 又∵AD∥BC, ∴∠C′DE=∠CED. ∴∠CDE=∠CED. ∴CD=CE（等角对等边）. ∴CD=CE=C′E=C′D. ∴四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）. B 分层练习-基础 相等 垂直 C 分层练习-基础 B AD＝DC(不唯一) 分层练习-基础 B 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 不唯一，AB＝AD等 AB＝CD 分层练习-巩固 ③ 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 36 分层练习-拓展 课堂反馈 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 课堂小结 知识点一：用菱形的定义判定四边形是菱形． 1．下列说法正确的是( ) A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相互垂直的四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是菱形 知识点二：菱形的判定定理 菱形判定定理1：四条边 的四边形是菱形． 菱形判定定理2：对角线互相 的平行四边形是菱形． 2．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( ) A．矩形　　　　　　　 B．等腰梯形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 3．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是( ) A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60° 4．已知▱ABCD，对角线AC、BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是 (写出一个即可)． 5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的四边形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( ) A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 6．如图，在▱ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( ) A．AE＝AF　　　　　 B．EF⊥AC C．∠B＝60° D．AC是∠EAF的平分线 7．在△ABC中，AB≠AC，D是边BC上的一点，DE∥CA交AB于点E，DF∥BA交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加条件( ) A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．BD＝DC D．AD＝BC 8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是 (写出一个即可)． 9．如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形． 10．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 (只填写序号)． 11．已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G、H，交BD于点O. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝CD,∠BAE＝∠DCF,AE＝CF))， ∴△ABE≌△CDF(SAS)； (2)解：四边形BEDF是菱形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB＝OD， ∵DG＝BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形． 12．如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E. (1)求证：四边形BCED′是菱形； (2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值． (1)证明：∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落在AB边上的点D′处， ∴∠DAE＝∠D′AE， ∠DEA＝∠D′EA， ∠D＝∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′， ∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA， ∴∠DAD′＝∠DED′， ∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE＝AD′， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴CE＝D′B，CE∥D′B， ∴四边形BCED′是平行四边形； ∵AD＝AD′，∴▱BCED′是菱形， (2)解：∵四边形DAD′E是菱形， ∴D与D′关于AE对称， 连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′＋PB的最小值，过D作DG⊥BA于G， ∵CD∥AB，∴∠DAG＝∠CDA＝60°， ∵AD＝1，∴AG＝eq \f(1,2)，DG＝eq \f(\r(3),2)，∴BG＝eq \f(5,2)， ∴BD＝eq \r(DG2＋BG2)＝eq \r(7)， ∴PD′＋PB的最小值为eq \r(7). 会判断一个四边形是否是菱形． 【例1】如图所示，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.求证：四边形AFCE是菱形． 【思路分析】要判断四边形AFCE是否为菱形，由条件易知四边形AFCE的对角线互相垂直，因此只要说明四边形AFCE是平行四边形即可． 【规范解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠CAE＝∠ACB，又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴▱AFCE是菱形． 【方法归纳】判断一个四边形是不是菱形的关键是判定它是不是平行四边形． $$