6.2 反比例函数的图像与性质（2）课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

6.2 反比例函数的图像与性质（2） 北师大版 九年级数学上册 名师导学 基础巩固 00 01 CONTANTS 目 录 能力提升 02 数学 ◆ 名师导学 ◆ 返回目录 知识点一　反比例函数的图象与性质 关于反比例函数的图象与性质列表归纳如下: 数学 返回目录 拓展:反比例函数与正比例函数y=kx(k≠0)的异同点. 数学 返回目录 ▶▶ 典型例题 【例1】点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)在反比例函数y=-的图象上,且x1<0<x2<x3,则有 (　　) A.y1<y2<y3　　　　　 B.y2<y3<y1 C.y1<y3<y2 D.y3<y2<y1 数学 返回目录 ▶▶ 典型例题 思路点拨:先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限,再 根据在每一象限内的增减性进行解答即可. 解析:反比例函数y=-的大致图象如图所示, ∵x1<0<x2<x3, ∴由图象可知,y2<y3<y1.故选B. 答案:B 数学 返回目录 ▶▶ 对应练习 1.若反比例函数y=的图象在其所在的每一象限内,y随x的增大而增大,则k的取值范围是 (　 　) A.k<-2　 B.k>-2　 C.k<2　 D.k>2 2.已知点A(-1,y1),B(1,y2),C(2,y3)是函数y=图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是 (　 　) A.y1<y2<y3　　　　 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.无法确定 A B 数学 返回目录 知识点二　反比例函数y=(k为常数,k≠0)中比例系数k的几何意义 如右图所示,过双曲线上任一点P(x,y)作x轴,y轴的垂线PM,PN, 所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|. 因为y=,所以xy=k,所以S=　 　,即过双曲线上任意 一点作x轴,y轴的垂线,所得的矩形的面积为　 　.  如右图所示,过双曲线上任一点E作EF垂直于y轴, 连接EO,所得的三角形OEF的面积  　.  |k| |k| 数学 返回目录 ▶▶ 典型例题 【例2】反比例函数y=的图象如图所示,点M是该函数图象上的一点,MN垂直于x轴,垂足是点N,如果S△MON=4,则k=　　 　.  思路点拨:根据直角三角形的面积与k的关系可直接计算得出结果. 解析:根据题意得S△MON=|k|,则|k|=4, 而从图象可知k<0,所以k=-8. 答案:-8 数学 返回目录 ▶▶ 对应练习 3.已知反比例函数y=的图象如图所示,若矩形OABC的面积为3,则k的值 是 (　 　) A.3 B.-3 C.6 D.-6 解析:∵矩形OABC的面积为3, ∴|k|=3, 根据图象,可知k<0,∴k=-3. 故选B. B 数学 ◆ 基础巩固◆ 返回目录 一、选择题 1.反比例函数图象的一支如图,△POM的面积为2,则该函数的解析式是 (　 　) A.y= B.y= C.y=- D.y=- D 数学 返回目录 2.如果反比例函数y=的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小,那么m的取值范围是 (　 　) A.m>　　　　 　B.m< C.m≤ D.m≥ 3.点A(-3, y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　 　) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3 B C 数学 返回目录 二、填空题 1.反比例函数y=-(x<0),如图所示,则矩形OAPB的面积是　 　.   2.对于函数y=,若x>2,则y　 　(选填“>”或“<”)3.  4 < 数学 返回目录 3.如果点(-3,a),(-2,b)在反比例函数y=(k<0)的图象上,那么a,b的大小关 系是　 　.  解析:∵反比例函数y=(k<0)中k<0, ∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限, 且在每一象限内y随x的增大而增大, ∵-3<0,-2<0,∴点(-3,a),(-2,b)位于第二象限,∴a>0,b>0, ∵-3<-2<0,∴a<b. a<b 数学 返回目录 三、解答题 1.已知反比例函数y=,它的图象在每一个象限内,y随x的增大而减小. (1)求k的取值范围; (2)当反比例函数过点A(2,4),求k的值. 解:(1)由题意,得k-4>0,解得k>4; (2)把点A(2,4)代入y=, 得4=, 解得k=12. 数学 返回目录 2.如图,一次函数的图象与反比例函数y=的图象交于点A(m,6)和点B(4,-3). (1)求反比例函数的表达式和点A的坐标; (2)根据图象回答,x在什么范围时,一次函数的值大于反比例函数的值. 数学 返回目录 (1)解:由反比例函数解析式,可知 k=xy=6m=4×(-3), 解得k=-12,m=-2, ∴反比例函数解析式为y=-,A(-2,6). (2)解:一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为x<-2或0<x<4. 数学 ◆ 能力提升◆ 返回目录 1.已知函数y=-的图象经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果x2<0<x1,那么 (　 　) A.0<y2<y1 B.y1>0>y2 C.y2<y1<0 D.y1<0<y2 解析:∵-k2-1<0,∴函数y=-的图象在二、四象限, ∵x2<0<x1,∴点P2(x2,y2)在第二象限,点P1(x1,y1)在第四象限, ∵y2>0,y1<0.故选D. D 数学 返回目录 2.如图,在平面直角坐标系中,过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线,分别交函数y=(x>0),y=-(x>0)的图象于点A,点B.若C是y轴上任意一点,则△ABC的面积为 (　 　) A.9　 　 B.6　 　 C.　 　 D.3 C 数学 返回目录 解析:连接OA,OB,∵C是y轴上任意一点, ∴S△AOB=S△ABC,∵S△AOP=×3=, S△BOP=×|-6|=3,∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=+3=, ∴S△ABC=,故选C. 数学 返回目录 3.如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例 函数y=(x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数解析式为　 .  y=- 数学 返回目录 解析:过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D, ∵∠BOA=90°,∴∠BOC+∠AOD=90°,∵∠AOD+∠OAD=90°, ∴∠BOC=∠OAD,又∵∠BCO=∠ADO=90°,∴△BCO∽△ODA, ∴S△AOD∶S△OBC=,在Rt△AOB中, ∵∠OAB=30°,∴AO=OB,∴S△AOD∶S△OBC=3, ∵S△OBC=-k,∴3=-k×3,解得k=-2, ∴过点B的反比例函数是y=-. 数学 返回目录 4.若某反比例函数y=与正比例函数y=mx的图象相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,那么2x1y2-3x2y1=　 　.  5.一次函数y1=-x+b与反比例函数y2=(x>0)的图象如图所示,当y1<y2时,自变量x的取值范围是　 　.  -3 0<x<2或x>4 数学 返回目录 6.定义:若一个矩形中,一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数y=的图象上,则称这个矩形为“奇特矩形”.如图,在直角坐标系中,矩形ABCD是第一象限内的一个“奇特矩形”,且点A(4,2),D(7,2),则AB的长为  　.  或 数学 返回目录 解析:点A(4,2),D(7,2),在矩形ABCD中,BC=AD=3,设AB=m,则CD=m, ∴B(4,2-m),C(7,2-m),因为反比例函数图象的一支在第一象限,故k>0, 当反比例函数图象经过AB和CD的三等分点时, ∴反比例函数经过,,∴4=7, 解得m=,当反比例函数图象经过AD和BC的三等分点时, 反比例函数经过(5,2)和(6,2-m),可得6(2-m)=5×2,解得m=,故AB的长为或. 数学 返回目录 7.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-x+5的图象与反比例函数y=(k>0)的图象相交于A,B两点,与x轴相交于点C,连接OB,且△BOC的面积为. (1)求反比例函数的表达式; (2)将直线AB向下平移,若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点,试说明直线AB向下平移了几个单位长度? 数学 返回目录 解:(1)一次函数y=-x+5中,令y=0,解得x=5,∴C(5,0), ∴OC=5,作BD⊥OC于点D,∵△BOC的面积为, ∴OC·BD=,即×5BD=,∴BD=1, ∴点B的纵坐标为1,代入y=-x+5中,求得x=4,∴B(4,1), ∵反比例函数y=(k>0)的图象经过B点, ∴k=4×1=4, ∴反比例函数的解析式为y=. 数学 返回目录 (2)将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度得直线解析式为y=-x+5-m, ∵直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点, ∴=-x+5-m, 整理,得x2+(m-5)x+4=0, Δ=(m-5)2-4×1×4=0,解得m=9或m=1, 即m的值为1或9. 数学 返回目录 8.如图,平面直角坐标系中,点C在x轴上,点A的横坐标是1,以OA,OC为邻边作▱ABCO,点D是BC的中点,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A,点D. (1)求点B的坐标(用含k的代数式表示); (2)连接AD,若AB=AD,求k的值. 数学 返回目录 解:(1)作AE⊥x轴,垂足为点E,作DF⊥x轴, 垂足为点F,直线DF与AB交于点G, ∴∠AEO=∠DFC=90°, 当x=1时,y=k, ∴A(1,k), ∴AE=k,OE=1, ∵四边形OABC是平行四边形, ∴AO=BC,AO∥BC,AB∥OC, ∴∠AOE=∠DCF, ∴△DCF∽△AOE,∴==. ∵点D是BC的中点,∴CD=BD=BC, ∴=. ∴DF=,CF=,当y=时,x=2, ∴.D(2,k),∴OF=2, ∵AB∥OC, ∴∠B=∠BCF,∠BGD=∠CFD=90°, ∴△DCF≌△DBG,∴BG=CF=, ∴点B. 数学 返回目录 (2)∵OC=OF-CF=,∴AB=AD=, ∴AG=AB-BG=1,在Rt△ADG中, DG===, ∵△DCF≌△DBG,∴DF=DG=, ∴AE=FG=2DG=, ∴A(1,),代入y=,得k=. 谢谢观看 This is the last of the postings. Thank you for watching. 返回目录 北师大版 九年级数学上册 $$