第14讲 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题【五大题型+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第14讲 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题 【题型一 利用补形法或分割法求图形的面积】 例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积． 【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．    (1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____； (2)利用图形求的面积． 【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，    (1)在平面直角坐标系中画出． (2)求的面积． 【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示 (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)求的面积； (3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出． 【题型二 与图形面积相关的点的存在性问题】 例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． (1)求点A、C的坐标； (2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________； (3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，， (1)求的面积． (2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标． 【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式    (1)请求出、、三点的坐标： (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接． (1)求点的坐标及四边形的面积； (2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由； (3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值． 【题型三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】 例3.（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”． (1)点的“短距”为______； (2)若点的“短距”为3，求m的值； (3)若，两点为“等距点”，求k的值． 【变式3-1】（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点是“完美点”， 求a 的值； (3)若点的长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为，试说明： 点 D 是“完美点”． 【变式3-2】对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点P的一对“和谐点”． 例如，点的一对“和谐点”是点与点 (1)点的一对“和谐点”坐标是 与 ； (2)若点的一对“和谐点”重合，则y的值为 ． (3)若点C的一个“和谐点”坐标为，求点C的坐标． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，－2），则点P．Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，－1），B（－2，－1）． (1)直接写出点A，B的“－”系和点坐标为_________； (2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标： (3)点D为A，B的“k”系和点． ①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）； ②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为_________（直接写出结果）． 【题型四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】 例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是 ． 【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点 …，则点的坐标是 ． 【题型五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】 例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是 ． 一、单选题 1．（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 3．（2024七年级下·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，…那么点的坐标为 5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示） 6．（23-24七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）点的“长距”为 ； （2）若点是“完美点”，则的值为 ； 三、解答题 7．（23-24七年级下·重庆潼南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴交于点F．    (1)求点A、B的坐标； (2)求点F的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使的面积和的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由． 8．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”． 9．（2024七年级下·天津·专题练习）如图1，四边形各个顶点的坐标分别为，，，． (1)______，点到轴的距离为______． (2)求四边形的面积． (3)如图2，已知点为轴正半轴上的一个动点，点是否存在一个位置使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 11．（23-24八年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的【】伴随图形，例如：点的【x轴，y轴】伴随图形是点． (1)点的【x轴，y轴】伴随图形点的坐标为_________； (2)已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的【轴，】伴随图形点的坐标为_________； ②当直线经过原点时，若的【轴，】伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，求的取值范围． 12．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，其中、、满足等式．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为，当四边形为正方形时，解答下列问题． (1)__________，__________，__________；当点在线段上时，的长度为___________．（用含的代数式表示） (2)当时，求三角形的面积． (3)当时，三角形的面积为__________． (4)当时，直接写出的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题 【题型一 利用补形法或分割法求图形的面积】 例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积． 【答案】15 【分析】 本题主要考查了利用直角坐标系求多边形的面积，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F，即可知，代入求解即可． 【详解】解：如下图，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F． ∵点，，， ∴，， ∴，，，， ． 所以四边形的面积是15． 【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．    (1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____； (2)利用图形求的面积． 【答案】(1)，， (2)的面积为9． 【分析】本题考查网格中求三角形的面积，坐标与图形． （1）根据点，点，点在坐标系中的位置，直接写出其坐标即可； （2）利用正方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：点，点，点； 故答案为：，，； （2）解：的面积． 【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，    (1)在平面直角坐标系中画出． (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】（1）根据点的坐标画出图形即可； （2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）如图，即为所求；    （2） 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题． 【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示 (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)求的面积； (3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出． 【答案】(1)，， (2)11.5 (3)见解析 【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可； （2）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可； （3）根据点经平移后对应点为判断出平移方式，然后画出三个顶点的对应点即可． 【详解】（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，； （2）的面积 ； （3）∵点经平移后对应点为， ∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得． 如图， 【点睛】此题考查了平移的性质，以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键． 【题型二 与图形面积相关的点的存在性问题】 例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． (1)求点A、C的坐标； (2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________； (3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)2秒或8秒 (3)当或时 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平方和二次根式的非负性，一元一次方程的应用， （1）由平方和二次根式的非负性即可求出a，b的值，即可求出点A、C的坐标． （2）由点A，点C的坐标即可求出点B的坐标，然后根据当点P到的距离为2个单位长度时，分两种情况，即可求出t的值． （3）先根据已知条件，求出，然后根据P在上，P在上，P在上，P在上时，根据已知条件，建立关于t的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， （2）由（1）可知，， ∴， 当点P到的距离为2个单位长度时， 运动路程或者， ∴秒或秒 ∴秒或秒， 故答案为：2秒或8秒． （3）存在，理由如下： ∵，∴，， ∵，，轴，轴，∴， ∴，，∴， ∴， ①当P在上时，，即时，， ∴ ∴，解得，舍去 ②当P在上时，，即时，， ∴ ∴，解得 ③当P在上时，，即时， ∴， ∴，解得，舍去 ④当P在上时，，即时， ∴ ∴，解得 综上，当或时 【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，， (1)求的面积． (2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标． 【答案】(1)16 (2)或 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，理解坐标系的特点是解本题的关键； （1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）设点D的坐标为，再利用面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）设点D的坐标为， ． 解得． ∴满足条件的点D的坐标为或； 【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式    (1)请求出、、三点的坐标： (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为； (2)； (3)存在这样的点M，点M的坐标为或． 【分析】本题考查非负数的性质，直角坐标系中的面积问题，三角形的面积公式等知识． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）求出，，再用计算即可； （3）根据设为，则，，再结合题意列出绝对值方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，； ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为； （2）解：过点作于，则，    ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：存在，点M的坐标为或， 理由如下： 假设存在这样的点M，设为，则， ∵， ∴ ∵， 由题意得 解得：或， ∴存在这样的点M，点M的坐标为或． 【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接． (1)求点的坐标及四边形的面积； (2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由； (3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3)①正确， 【详解】（1）， ． 点，点． 根据平移规律可得， ． （2）坐标轴上存在点满足． 当点在轴上时，， ． ． 点的坐标为或； 当点在轴上时，， ． ． 点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或． （3）如图，点在线段上（不与点，重合），作交于点， ． ． ． ． ． ①正确． 【题型三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】 例3.（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”． (1)点的“短距”为______； (2)若点的“短距”为3，求m的值； (3)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)7 (2)4或 (3)或 【分析】本题主要考查新定义下点到坐标轴的距离， （1）根据新定义，求得点B到坐标轴的距离即可； （2）根据新定义得到，求解即可； （3）根据新定义分别找到点C和点D到坐标轴的距离，再分类讨论与2的大小，列出对应的等式即可求得答案； 【详解】（1）解：点到x轴、y轴距离分别为和7， 根据定义得点的“短距”为7； （2）∵点的“短距”为3，且， ∴，解得或． （3）点C到x轴的距离为，到y轴距离为2，点D到x轴的距离为，到y轴距离为4， 当时，， 则或，解得或（舍）． 当时，， 则或，解得或（舍）． 综上，k的值为或． 【变式3-1】（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点是“完美点”， 求a 的值； (3)若点的长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为，试说明： 点 D 是“完美点”． 【答案】(1)3 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为3，到轴的距离为1， ∴点A的“长距”为3． 故答案为：3； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4，且点C 在第二象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点 D 是“完美点”． 【变式3-2】对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点P的一对“和谐点”． 例如，点的一对“和谐点”是点与点 (1)点的一对“和谐点”坐标是 与 ； (2)若点的一对“和谐点”重合，则y的值为 ． (3)若点C的一个“和谐点”坐标为，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】（1）根据“和谐点”的含义即可完成； （2）根据“和谐点”的含义及两点重合即可完成； （3）设点C的坐标为，根据“和谐点”的含义分两种情况即可完成． 【详解】（1）解：由题意得：，， 所以点的一对“和谐点”坐标是与； 故答案为：； （2）解：由题意得：，， 所以点的一对“和谐点”坐标是与； 又点的一对“和谐点”重合， ， ， 故答案为：6； （3）解：设， 若点C的一个“和谐点”坐标为， 则，， ； ； 若点C的另一个“和谐点”坐标为， 则，， ； ； 综上，点C的坐标为或． 【点睛】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，－2），则点P．Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，－1），B（－2，－1）． (1)直接写出点A，B的“－”系和点坐标为_________； (2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标： (3)点D为A，B的“k”系和点． ①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）； ②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为_________（直接写出结果）． 【答案】(1)（-1，1） (2)（，） (3)①，②或 【分析】（1）直接根据系和点的定义分别求出点的横坐标与纵坐标即可； （2）设出点C的坐标，根据系和点的定义列出方程，解方程即可得到答案； （3）①根据系和点的定义将k代入计算即可；②求出AB的长度，同时表示出AB边上的高，列出方程解出k的值即可． 【详解】（1）解：∵点A（4，－1），B（－2，－1）， ∴点A，B的“－”系和点的横坐标为， 纵坐标为， ∴点A，B的“－”系和点坐标为（-1，1）． （2）解：∵点A为B，C的“－3”系和点， 设点C坐标为（m，n）， ∴，， 解得，． ∴点C的坐标为（，）． （3）解：①∵点D为A，B的“k”系和点，设点D坐标为（a，b） 则，， ∴点D的坐标为； ②∵点A（4，－1），B（－2，－1）， ∴． ∵点D到AB的距离为，三角形ABD的面积为6， ∴， 解得或， ∴符合条件的k的值为或． 【点睛】本题考查新定义问题，图形与坐标，解题的关键是正确理解新定义的含义列出代数式表示出点的横纵坐标． 【题型四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】 例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的运动规律，能根据点的运动发现第次为正整数）运动后，动点的坐标是是解题的关键．依次求出前几次运动后点的坐标，再根据坐标的变化规律即可解决问题． 【详解】 解：由题知， 第1次运动后，动点的坐标是； 第2次运动后，动点的坐标是； 第3次运动后，动点的坐标是； 第4次运动后，动点的坐标是； 第5次运动后，动点的坐标是； 第6次运动后，动点的坐标是； 第7次运动后，动点的坐标是； 由此可见，第次为正整数）运动后，动点的坐标是． 又， 即第2024次运动后，动点的坐标是，即． 故选：D 【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是 【答案】 【分析】 本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键． 根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可． 【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次运动到点， 第5次接着运动到点， …， ∴点P的横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮， ∵， 则经过第47次运动后，动点P的横坐标为47，纵坐标为2，即经过第47次运动后，动点P的坐标是∶， 故答案为∶ ． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题，能通过计算发现点坐标变化的规律是解题的关键． 【详解】解：根据点的运动方式可知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 由此可见，点的横坐标为，纵坐标为， 当时， ， ， 所以点的坐标为， 所以点的坐标为， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点 …，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，解答本题的关键是找到循环规律．先根据即可得到，再根据，则，可得．即可作答． 【详解】解：由图可得，，， ∵ ∴， 即， ∴，， 故答案为： 【题型五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】 例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交y轴于点D，根据条件可以求出，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于，因此点向右平移1348（即）到点，即可求出点的坐标． 【详解】连接交y轴于点D，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 画出第5次､第6次､第7次翻转后的图形，由图可知:每翻转6次，图形向右平移4， ∵， ∴点向右平移1348（即）到点， ， ∵的坐标为， ∴的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查点坐标规律探索，菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键． 【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了通过图形观察规律，根据题意分别求出、、、横坐标，再总结出规律即可得出，解题的关键是善于观察，总结规律． 【详解】根据规律 、、、、 、、、、 ，； 每个一个循环， ， 依次规律在次循环后与纵坐标一致， 横坐标分别为：为、为、为、为； 为、为、为、为； 依次规律与横坐标为减， ∴横坐标为， 则坐标是， 故选：． 【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为 ． 【答案】 【分析】首先求出的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标． 【详解】解：正方形边长为， ， 正方形是正方形的对角线为边， ， 点坐标为， 同理可知， 点坐标为， 同理可知，点坐标为， 点坐标为，点坐标为， ，，，， 由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，即， ， 的横纵坐标符号与点相同，横纵坐标相同，且都在第一象限， 的坐标为， ， 故答案为：． 【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形等致死点，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键． 先根据矩形的性质作出旋转后的图形，然后找到C点的坐标规律，并按照规律解答即可． 【详解】解：如图：将矩形绕点A顺时针旋转， 可知：，， 则：每旋转4次则回到原位置， ∵， ∴第2023次旋转结束时，完成了505次循环，又旋转了3次， ∴当第2023次旋转结束时，点C对应的坐标是． 故答案为：． 一、单选题 1．（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征．熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键． 由点A关于幸福直线的对称点的坐标，可知A、B的纵坐标相同，横坐标和的一半等于，即，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，对称点到对称轴的距离相等，且对称点之间的连线与对称轴垂直， ∴点A与点B的纵坐标都相同 ，即， 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 3．（2024七年级下·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，由四边形的周长找出细线另一端点所在的位置是解题的关键．由点，，，的坐标可得出四边形为矩形及，的长，由矩形的周长公式可求出矩形的周长，结合可得出细线的另一端在线段上且距点1个单位长度，结合点的坐标即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，，四边形为矩形， ． ， 细线的另一端在线段上，且距点1个单位长度， 细线的另一端所在位置的点的坐标是，即． 故选：C 二、填空题 4．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，…那么点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可． 【详解】解：根据题意可知，，，，，，，，，……，每4个点一循环， ∵， 点在，，的位置上，纵坐标为0，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，根据，，，，得出，，，，利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】解：延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G， ∵，，，， ∴轴，轴， ∴，， ∴，， ， ， ∴四边形的面积为： ． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）点的“长距”为 ； （2）若点是“完美点”，则的值为 ； 【答案】 或 【分析】本题考查点到坐标轴的距离： （1）根据长距的定义，进行判断即可； （2）根据完美点的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的“长距”为； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴或； ∴或； 故答案为：或． 三、解答题 7．（23-24七年级下·重庆潼南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴交于点F．    (1)求点A、B的坐标； (2)求点F的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使的面积和的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查非负数的性质、用待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积． （1）根据非负数的性质求出a，b的值的即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，再令，即可求解； （3）先求出的面积，设，则，由列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ∴， 解得：， ∴． （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴． （3）解：y轴上是存在一点P，使的面积和的面积相等． ∵， ∴， ∴， 设，如图，    则， ∴， 若的面积和的面积相等， 则， 解得：或． ∴或． 8．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”． 【答案】(1)5 (2)1或3 (3)见详解 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为5，到轴的距离为3， ∴点的“长距”为5． 故答案为：5； （2）∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“完美点”． 9．（2024七年级下·天津·专题练习）如图1，四边形各个顶点的坐标分别为，，，． (1)______，点到轴的距离为______． (2)求四边形的面积． (3)如图2，已知点为轴正半轴上的一个动点，点是否存在一个位置使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，一元一次方程的应用，割补法求几何图形的面积等，利用割补法求图形的面积是解题的关键． （1）根据点和点的坐标即可求解； （2）过点作轴于，过点作轴于，根据点和点的坐标求出和的值，根据三角形的面积和梯形的面积，结合，即可求解； （3）过点作直线平行于轴，过点作于，过点作于，设，分别表示出、、的值，根据三角形的面积和梯形的面积，求得，根据的面积是四边形面积的一半列出方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，点的坐标为，点的坐标为， 故，点到轴的距离为． 故答案为：，． （2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于． ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴四边形的面积为． （3）解：存在． 理由：过点作直线平行于轴，过点作于，过点作于． 设， ∴，， ∴，，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴存在点使得的面积是四边形面积的一半，． 10．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：4， ∴点的坐标为：． 又∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4． 故的坐标为：． 由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的【】伴随图形，例如：点的【x轴，y轴】伴随图形是点． (1)点的【x轴，y轴】伴随图形点的坐标为_________； (2)已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的【轴，】伴随图形点的坐标为_________； ②当直线经过原点时，若的【轴，】伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②且 【分析】（1）点关于x轴对称的点坐标为，再关于y轴对称的点坐标为，故可得点坐标，即可求解． （2）①当时，A点坐标为，直线m为，此时点A先关于x轴对称的点坐标为，再关于m轴对称的点坐标为，进而得到点的坐标； ②由题意得，直线m为， A、B、C三点的【轴，】随图形点坐标依次表示为：、、，结合图形，列出关于t的不等式，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：①由题意知，沿x轴翻折得点坐标为；沿y轴翻折得点坐标为， 故答案为：． （2）解：①当时，A点坐标为， 由题意得：直线m为， 沿x轴翻折得点坐标为， 沿直线翻折得点坐标为， 故答案为：； ②直线m经过原点，且经过点， 直线m为， A、B、C三点沿x轴翻折点坐标依次表示为：、、， A、B、C三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：、、， ∵的【轴，】伴随图形上只存在两个与x轴的距离为1的点， ∴且， 解得： 且．    【点睛】本题考查了直角坐标系中的点的对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点的坐标表示出来． 12．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，其中、、满足等式．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为，当四边形为正方形时，解答下列问题． (1)__________，__________，__________；当点在线段上时，的长度为___________．（用含的代数式表示） (2)当时，求三角形的面积． (3)当时，三角形的面积为__________． (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)4，2，2， (2)3 (3)2 (4) 【分析】（1）由，可得，可求，则，，由四边形为正方形，可知，，当点在线段上时，的长度为； （2）当时，，，根据，计算求解即可； （3）当时，的路程为，点在上，根据，计算求解即可； （4）由，可知点在线段上，的路程为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴当点在线段上时，的长度为， 故答案为：4，2，2，； （2）解：当时，，， ∴， ∴三角形的面积为3． （3）解：当时，的路程为， ∴点在上， ∴， 故答案为：2； （4）解：∵， ∴点在线段上，的路程为， 依题意得，， 解得，， ∴的值为． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，列代数式，一元一次方程的应用，坐标与图形等知识．熟练掌握绝对值的非负性，算术平方根的非负性，列代数式，一元一次方程的应用，坐标与图形是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$