第13讲 坐标与轴对称【四大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第13讲 坐标与轴对称 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．探索图形坐标变化的过程； 2．了解掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系； 知识点一．坐标系中的平移： （1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或． （2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或． 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减． 知识点二．坐标系中的对称： （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 考点一：求点沿x轴，y轴平移后的坐标 例1．（2023上·河南南阳·八年级校考开学考试）已知点，将点A先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度到达点，则点的坐标为 ． 【变式1-1】（2023上·湖南长沙·八年级统考开学考试）将点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为 ． 【变式1-2】（2023下·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点先向向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是 ． 【变式1-3】点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到点，则点A坐标为 ． 考点二：关于x轴、y轴对称的点的坐标 例2. （2023·全国·八年级专题练习）点关于轴对称点的坐标是 ，关于轴对称点的坐标是 ． 【变式2-1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·湖南湘西·模拟预测）点的坐标是，则点关于轴对称的点的坐标是 ，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【变式2-3】（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）若点与点关于x轴对称，则 ． 考点三：利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 例3. （22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，点，，点P是在x轴上，且使最小，写出点P的坐标 ． 【变式3-1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知，，，作关于x轴的对称图形，则点的坐标 ；P为x轴上一点，当的周长最小时的点P的坐标 ． 【变式3-2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点，点是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上存在一点，连接，，，，使四边形的周长最小，则点的坐标为 ． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点、在y轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是 ．    考点四：作图——轴对称变换 例4. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)直接写出点C关于x轴对称的点的坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出点B的对应点的坐标； (3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出点P． 【变式4-1】（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．    (1)在图中画出关于轴对称的图形； (2)在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时点关于这条直线的对称点的坐标为__________； (3)的面积为__________；写出计算过程． 【变式4-2】（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，点、点、点、点都在由边长为1的小正方形组成网格的格点上，的位置如图所示．    (1)在图中画出关于轴对称的； (2)的顶点关于轴对称的点的坐标为：________；的顶点关于轴对称的点的坐标为：________； (3)求的面积． (4)在轴上求作一点，使的值最小，保留画图痕迹，并写出最小值________． 【变式4-3】数形结合是一种非常重要的数学思想，借助于坐标系我们可以研究特殊的对称关系．已知，，、关于直线的对称点为、．    (1)写出的坐标___________，的坐标___________； (2)写出关于的对称点的坐标___________； (3)写出点关于直线的对称点的坐标___________． 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）点关于轴对称点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 4．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接．则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 5．（2024·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，轴，点C的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点C的对称点为M，且交y轴于点N，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D．（ 二、填空题 6．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 7．（2024·湖南邵阳·二模）若点与点关于x轴对称，则 8．（2024·江苏常州·二模）点关于直线对称的点的坐标是 ． 9．（23-24八年级下·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，已知，点与点关于轴对称，，则的面积为 ． 10．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点，点，点，点C在x轴上．若，则点C的坐标为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)请直接写出，，三点的坐标； (2)画出关于轴对称的； (3)在轴上找到一点，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值． 12．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，关于y轴对称图形为（其中：A与，B与，C与相对应）． (1)画出关于y轴对称的图形． (2)写出三个顶点的坐标． (3)求的面积． 13．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．    (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴上一点，若点P的坐标为，求的面积． 14．（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．             【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 坐标与轴对称 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．探索图形坐标变化的过程； 2．了解掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系； 知识点一．坐标系中的平移： （1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或． （2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或． 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减． 知识点二．坐标系中的对称： （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 考点一：求点沿x轴，y轴平移后的坐标 例1．（2023上·河南南阳·八年级校考开学考试）已知点，将点A先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度到达点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】让点A的横坐标加4，纵坐标加6即可得到的坐标． 【详解】解：由题中平移规律可知：的横坐标为；纵坐标为； ∴的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用坐标表示平移．注意左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加． 【变式1-1】（2023上·湖南长沙·八年级统考开学考试）将点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】点的横坐标减，纵坐标减即可得到平移后点的坐标． 【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点的平移规律，用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 【变式1-2】（2023下·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点先向向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据平移的特点即可求解． 【详解】解：点先向向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到坐标， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的平移，熟练掌握点平移坐标的变化情况是解题的关键． 【变式1-3】点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到点，则点A坐标为 ． 【答案】 【分析】将点B反向平移求出点A坐标； 【详解】点B（0，2）像上平移2个单位，向左平移三个单位后点坐标为（-3，4）， 故A（-3，4）． 【点睛】本题考查了点的平移规律，熟练掌握坐标中点的平移规律是解题的关键． 考点二：关于x轴、y轴对称的点的坐标 例2. （2023·全国·八年级专题练习）点关于轴对称点的坐标是 ，关于轴对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可解答． 【详解】解：点关于于轴对称点的坐标是，关于y轴对称点的坐标是． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【变式2-1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标是， 故选：C． 【变式2-2】（2023·湖南湘西·模拟预测）点的坐标是，则点关于轴对称的点的坐标是 ，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数， 点关于轴对称的点的坐标是， 关于轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变， 点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为，． 【点睛】本题考查了坐标与轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式2-3】（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）若点与点关于x轴对称，则 ． 【答案】2 【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 考点三：利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 例3. （22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，点，，点P是在x轴上，且使最小，写出点P的坐标 ． 【答案】 【分析】如图所示，作点A关于x轴对称的点，连接交轴于，取，连接，过点作于D， 根据轴对称的性质可得当三点共线时，最小，即最小，此时P与重合，利用三角形面积之间的关系求出点P的坐标即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴对称的点，连接交轴于，取 ，连接，过点作于D， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，此时P与重合， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，轴对称最短路径问题，确定当三点共线时，最小，即最小是解题的关键． 【变式3-1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知，，，作关于x轴的对称图形，则点的坐标 ；P为x轴上一点，当的周长最小时的点P的坐标 ． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出对应点坐标即可；连接交x轴于P，点P即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求； ∴ 如图所示，∵AB长度不变，的周长， ∴只要最小即可． ∴连接交x轴于点P， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴结合网格小正方形的特点可得： 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式3-2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点，点是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上存在一点，连接，，，，使四边形的周长最小，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对称性—最短路线，涉及坐标与图形的性质以及勾股定理，根据纵坐标得到，则有，作B关于y轴的对称点E，连接交y轴于D，此时可得四边形的周长最小，这个最小周长的值为，过E作交的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵点，点C的纵坐标为1， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 作B关于y轴的对称点E，连接交y轴于D，则此时，四边形的周长最小，这个最小周长的值为， 过E作交的延长线于F，如图， 则，点E和点F的横坐标为， ∴， ∴， ∴最小周长的值， 故答案为：． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点、在y轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是 ．    【答案】 【分析】如图所示，过点A作轴于D，作点B关于y轴的对称点C，连接交y轴于H，连接，则，利用轴对称的性质推出当A、C、P三点共线时，最小，即最小，此时点P与点H重合，根据求出，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D，作点B关于y轴的对称点C，连接交y轴于H，连接，则， ∴， ∴， ∴当A、C、P三点共线时，最小，即最小，此时点P与点H重合， ∵、，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线是解题的关键． 考点四：作图——轴对称变换 例4. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)直接写出点C关于x轴对称的点的坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出点B的对应点的坐标； (3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出点P． 【答案】(1) (2)见解析， (3)见解析 【分析】（1）关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案． （2）根据轴对称的性质作图，再根据图写出点坐标即可． （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，此时点到、两点的距离和最小． 【详解】（1）解：（1）与关于轴对称，， 点． （2）解：如图，即为所求，．    （3）解：如图，点即为所标．    【点睛】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【变式4-1】（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．    (1)在图中画出关于轴对称的图形； (2)在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时点关于这条直线的对称点的坐标为__________； (3)的面积为__________；写出计算过程． 【答案】(1)见解析 (2)y轴， (3) 【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C的对应点、、的坐标，然后描点连线即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点和点B的对称轴为y轴，进而可得点的坐标； （3）根据网格特点和割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作：    （2）解：如图，∵，， ∴点和点B的对称轴为y轴， ∵， ∴点关于这条直线的对称点的坐标为， 故答案为：y轴，； （3）解：的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 【变式4-2】（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，点、点、点、点都在由边长为1的小正方形组成网格的格点上，的位置如图所示．    (1)在图中画出关于轴对称的； (2)的顶点关于轴对称的点的坐标为：________；的顶点关于轴对称的点的坐标为：________； (3)求的面积． (4)在轴上求作一点，使的值最小，保留画图痕迹，并写出最小值________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)12 (4)见解析， 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形； （2）根据轴对称的性质可得答案； （3）利用所在的长方形的面积减去周围三个三角形面积即可； （4）连接，与y轴交于点P，则，可得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）由（1）知，，关于轴对称点， 故答案为：，； （3）； （4）如图，点P即为所求； 最小值为：． 【点睛】本题主要考查了作图轴对称变换，勾股定理，最短路径问题，关于坐标轴对称的点的坐标的特征，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式4-3】数形结合是一种非常重要的数学思想，借助于坐标系我们可以研究特殊的对称关系．已知，，、关于直线的对称点为、．    (1)写出的坐标___________，的坐标___________； (2)写出关于的对称点的坐标___________； (3)写出点关于直线的对称点的坐标___________． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质求解； （2）利用轴对称变换的性质求解； （3）利用轴对称变换的性质求解． 【详解】（1）如图，∵点与点关于直线对称， ∴， ∴点与点纵坐标相同，横坐标之和等于， ∴点， 同理：，    （2）∵关于直线对称， ∴对应点纵坐标相同，横坐标之和等于， ∴点， （3）∵关于直线对称， ∴对应点纵坐标相同，横坐标之和等于， ∴点， 【点睛】此题考查坐标与图形变化一对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）点关于轴对称点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是关于轴对称点的坐标特点、判断点所在的象限，解题关键是掌握关于轴对称点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点关于轴的对称点坐标，然后再根据横纵坐标的符号判断所在象限． 【详解】解：关于轴对称点是， 所在的象限是第三象限， 点关于轴对称点所在的象限是第三象限． 故选：． 2．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，据此即可求得点关于轴对称的点的坐标． 【详解】解：根据轴对称得，点关于轴对称的点的坐标是． 故选：D 3．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，解之即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故选：D． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接．则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标与图形，对称的性质，平移的性质，平移使点落在点处，连接，则点的对应点为，即，进而得出，再作点关于轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案． 【详解】解：如图，平移使点落在点处，连接， 则点的对应点为，即， ，， 点， 作点关于轴的对称点，当点在同一条线上时，最小， ， ， 连接，则的最小值为， 故选：B． 5．（2024·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，轴，点C的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点C的对称点为M，且交y轴于点N，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D．（ 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点C的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系点的对称性质，掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数成为解题的关键． 根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为． 7．（2024·湖南邵阳·二模）若点与点关于x轴对称，则 【答案】1 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，以及已知字母的值求代数式的值，根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反求出m，n的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：1． 8．（2024·江苏常州·二模）点关于直线对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点关于直线对称的点为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设点关于直线对称的点为， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，已知，点与点关于轴对称，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：∵，点与点关于轴对称， ∴， ∴， 又∵， ∴到的距离为， ∴的面积为， 故答案为：． 10．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点，点，点，点C在x轴上．若，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据对称，性质即可，本题考查了对称计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】∵点，点， ∴点B关于直线的对称点为， 连接，则， ∵点，点， ∴点A、D关于y轴对称， ∴点B、点E关于y轴的对称点为或， ∴点C为或时，． 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)请直接写出，，三点的坐标； (2)画出关于轴对称的； (3)在轴上找到一点，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)图见解析；周长最小为 【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理求两点之间的距离，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标； （2）根据题意作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接即可； （3）连接，利用对称的性质可得，进而根据勾股定理求出和的长，即可求出周长的最小值． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系中点的位置可知，、、三点的坐标分别为：，，； （2）解：如图，作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接得到，即为所求作三角形； （3）解：连接，则， ，， ， 即的周长最小值为． 12．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，关于y轴对称图形为（其中：A与，B与，C与相对应）． (1)画出关于y轴对称的图形． (2)写出三个顶点的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了轴对称作图，三角形面积计算，作出对应点的位置，是解题的关键． （1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，然后再顺次连接即可； （2）根据图形求出点，，的坐标即可； （3）利用割补法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形． （2）解：根据图可知，，，． （3）解：． 13．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．    (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴上一点，若点P的坐标为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2． 【分析】本题考查作图—复杂作图、关于轴、轴对称的点的坐标、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据点，，的坐标描点再连线即可． （2）关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案． （3）直接利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．   ； （2）解：∵点D与点C关于y轴对称， ∴点D的坐标为． 故答案为：； （3）解：由题意得，， 的面积为． 14．（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．             【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值． （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）如图，作点B关于x轴对称的点C，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、P、C三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）∵把看成点到两点和的距离之和， ∴两点和的距离便是的最小值， ∴最小值为：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$