第11讲 解题技巧专题：实数易错与二次根式化简求值【九大题型+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第11讲 解题技巧专题：实数易错与二次根式化简求值 【题型一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】 例1．（2023春·广西梧州·七年级统考期末）在，，，，，3.14，，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5）中，无理数的个数是（    ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式1-1】（2023春·河南信阳·七年级统考期末）下列各数：，，，，，（每两个之间依次增加个），其中无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·江西赣州·七年级校考期中）把下列各数分别填入相应的集合中． ，，π，，，0，，． （1）有理数集合：{                              }； （2）无理数集合：{                               }； （3）正实数集合：{                               }． 【变式1-3】（2023春·云南昭通·七年级校联考期中）把下列各数填在相应的集合里： ． 有理数集合：{          ，…}； 无理数集合：{          ，…}； 正实数集合：{          ，…}； 负实数集合：{          ，…}． 【题型二 易混淆a与的平方根】 例2.（2023春·甘肃武威·七年级统考期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·广东东莞·七年级校考期中）下列说法中正确的是（ ） A．的算术平方根是 B．是的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是 【变式2-2】（2023春·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【变式2-3】（2023春·四川泸州·七年级泸县五中校考期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【题型三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】 例3. （2023·河南洛阳·统考模拟预测）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式3-1】（2023·北京·九年级专题练习）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式3-2】（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）二次根式中字母的取值范围是 ． 【变式3-3】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【题型四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】 例4. 化简二次根式的结果为（       ） A． B． C． D． 【变式4-1】化简二次根式的结果是（       ） A． B． C．－ D． 【变式4-2】若成立，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式4-3】实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【题型五 利用乘法公式进行计算】 例5. （2023春·宁夏吴忠·八年级统考期末）计算：． 【变式5-1】（2023春·青海果洛·八年级统考期末）计算：． 【变式5-2】（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）计算：． 【变式5-3】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）计算： 【题型六 与二次根式有关的整体代入求值】 例6. （2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知，求 ． 【变式6-1】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如果，，那么 ． 【变式6-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，那么的值等于 ． 【变式6-3】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知，求代数式的值． 【题型七 与二次根式有关的新定义型运算】 例7. （2023春·江苏泰州·八年级统考期末）对于任意的正数m，n，定义一种新的运算“*”：，则计算的结果为 ． 【变式7-1】（2023春·广西南宁·七年级校联考期中）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么 ． 【变式7-2】（2023秋·河北保定·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11．   若， （1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ； （2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ． 【变式7-3】（2023秋·山西长治·九年级统考期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 【题型八 二次根式的分母有理化】 例8. （2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化， 解：原式．运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化； (2)观察上面的解题过程，请直接写出结果： ______． (3)计算的值． 【变式8-1】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)比较与的大小，并说明理由． 【变式8-2】（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． (1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________． (2)应用：化简． (3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数） 【变式8-3】（2023春·江西赣州·八年级统考期末）在数学兴趣小组活动中，小诚和他的同学遇到一道题： 已知，求的值他是这样解答的： ， ． ，． ． ． 请你根据小诚的解题过程，解决如下问题： (1)______ ； (2)化简； (3)若，求的值． 【题型九 复合二次根式的化简】 例9. （2023春·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【变式9-1】（2023春·河南信阳·八年级统考阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 【变式9-2】（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：； 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)请你尝试化简： ①______； ②______． (2)若，且，，为正整数，求的值． 【变式9-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 一、单选题 1．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）在、、、、、、、、、中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）二次根式中的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（       ） A．4 B．2a C．2b D． 5．（23-24八年级下·河南许昌·阶段练习）对于任意的正数x、y定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023春·广东惠州·七年级校考期中）的算术平方根是 ；的算术平方根是 ． 7．（23-24七年级下·重庆·期中）在实数0，，，，1.020020002，，中，无理数有 个． 8．（2024·江苏宿迁·三模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 9．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知，化简： ． 10．（23-24七年级上·湖北·期中）在正实数范围内定义一种运算“”：当时，；当时，．则方程的解是 ． 三、解答题 11．（22-23七年级上·全国·单元测试）把下列各数按有理数、无理数、正实数、负实数分别填入相应的集合内： 0，，，4，，，，，，，，． 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 12．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）已知：，求的值． 13．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，求下列式子的值： (1)； (2) 14．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 15．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． (1)填空：a=_______，b=_______，c=______； (2)先化简，再求值：． 16．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 17．（2023春·河北邢台·八年级校考期中）【阅读材料】在二次根式中，如：，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：，． 【解决问题】 (1)化简的结果为______； (2)已知，． ①化简______，______； ②求的值； (3)计算：． 18．（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求： ①________； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________； (3)计算：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 解题技巧专题：实数易错与二次根式化简求值 【题型一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】 例1．（2023春·广西梧州·七年级统考期末）在，，，，，3.14，，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5）中，无理数的个数是（    ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】根据无理数的定义进行判定即可． 【详解】解：在，，，，，3.14，，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5）中，无理数有，，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5）中，共3个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，正确理解定义是解题的关键． 【变式1-1】（2023春·河南信阳·七年级统考期末）下列各数：，，，，，（每两个之间依次增加个），其中无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数对每个数字逐一分析判断即可． 【详解】解：，，，，，（每两个之间依次增加个）， 其中无理数有：，，（每两个之间依次增加个）共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键． 【变式1-2】（2023春·江西赣州·七年级校考期中）把下列各数分别填入相应的集合中． ，，π，，，0，，． （1）有理数集合：{                              }； （2）无理数集合：{                               }； （3）正实数集合：{                               }． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据有理数的定义即可得； （2）根据无理数的定义即可得； （3）根据正实数的定义即可得． 【详解】解：，， （1）有理数集合： （2）无理数集合： （3）正实数集合： 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【点睛】本题考查了有理数、无理数、正实数的定义，掌握实数的概念与分类是解题关键． 【变式1-3】（2023春·云南昭通·七年级校联考期中）把下列各数填在相应的集合里： ． 有理数集合：{          ，…}； 无理数集合：{          ，…}； 正实数集合：{          ，…}； 负实数集合：{          ，…}． 【答案】：；；； 【分析】直接利用有理数、无理数，正实数，负实数的定义得出答案． 【详解】有理数集合：； 无理数集合：； 正实数集合：； 负实数集合：． 【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握有理数、无理数，正实数，负实数的定义是解决本题的关键． 【题型二 易混淆a与的平方根】 例2.（2023春·甘肃武威·七年级统考期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A，81的平方根为， ，因此该选项正确； B，16的算术平方根为4，，因此该选项错误； C，，因此该选项错误； D，被开方数应大于等于0，因此该选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根，注意两者的区别是解题的关键． 【变式2-1】（2023春·广东东莞·七年级校考期中）下列说法中正确的是（ ） A．的算术平方根是 B．是的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是 【答案】B 【分析】根据算术平方根和平方根的定义分别分析得出答案． 【详解】A、，4的算术平方根是2，故该选项错误． B、12是144的平方根，故该选项正确． C、，5的平方根是，故该选项错误． D、的算术平方根是，故该选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键． 【变式2-2】（2023春·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义以及算术平方根的定义进行计算即可求解． 【详解】解：，的平方根是，的算术平方根是 故答案为：，． 【点睛】本题考查了求一个数的平方根、算术平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． 【变式2-3】（2023春·四川泸州·七年级泸县五中校考期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 3 【分析】先求出，再求9的算术平方根即可；求出，再求4的平方根即可． 【详解】解：，9的算术平方根为：， ，4的平方根为：， 故答案为：3，． 【点睛】本题考查算术平方根，平方根，掌握算术平方根和平方根的求法是解题的关键． 【题型三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】 例3. （2023·河南洛阳·统考模拟预测）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据被开方数是非负数，有意义的条件是，列出不等式求解即可． 【详解】∵函数有意义， ∴且， 解得且， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，零指数幂有意义的条件，熟练掌握有意义的条件时解题的关键． 【变式3-1】（2023·北京·九年级专题练习）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解即可得到答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， 由题意得：， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【变式3-2】（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）二次根式中字母的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可知即可． 【详解】解：∵要使二次根式有意义， 则 ∴， 故答案为:． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 【变式3-3】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 即的取值范围是， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【题型四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】 例4. 化简二次根式的结果为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件可得，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】 解：， ， 则， 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【变式4-1】化简二次根式的结果是（       ） A． B． C．－ D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】 解：∵，， ∴b<0， ∴=－， 故选：C． 【点睛】 此题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式有意义的条件及化简方法是解题的关键． 【变式4-2】若成立，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质可进行求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】 本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式4-3】实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据数轴上的点的位置判断出的正负，然后把原式利用二次根式及立方根性质化简，最后去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】 ∵由数轴上点的位置得： ∴ ∴原式 ． 故选：D 【点睛】 本题考查了实数的运算，熟练掌握实数与数轴，以及绝对值的概念及其各自的性质是解本题的关键． 【题型五 利用乘法公式进行计算】 例5. （2023春·宁夏吴忠·八年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】先计算平方差和完全平方差，再计算减法，化简即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解题关键是牢记公式． 【变式5-1】（2023春·青海果洛·八年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的加减运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 【变式5-2】（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）计算：． 【答案】2 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，正确计算是解题的关键． 【变式5-3】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）计算： 【答案】 【分析】原式根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键． 【题型六 与二次根式有关的整体代入求值】 例6. （2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知，求 ． 【答案】 【分析】将进行平方，再将整体代入求值即可． 【详解】解： 将代入得： ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是整体代入法求值． 【变式6-1】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如果，，那么 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式6-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】通过完全平方公式求出，把待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示． 【变式6-3】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可． 【详解】解：， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式． 【题型七 与二次根式有关的新定义型运算】 例7. （2023春·江苏泰州·八年级统考期末）对于任意的正数m，n，定义一种新的运算“*”：，则计算的结果为 ． 【答案】/ 【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式运算，再进行二次根式的运算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的计算，理解新定义，将式子转化为二次根式的计算，并正确进行二次根式计算是解题关键． 【变式7-1】（2023春·广西南宁·七年级校联考期中）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么 ． 【答案】3 【分析】根据定义的新运输，将，代入化简即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键． 【变式7-2】（2023秋·河北保定·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11．   若， （1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ； （2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ． 【答案】 1 【分析】（1）若，根据题意进行计算即可得； （2）由（1）得，若，第一次“F运算”的结果为；第二次“F运算”的结果为，再算出第三次运算结果，第四次运算结果，第五次运算结果，第六次运算结果，根据所得规律进行计算即可得． 【详解】解：（1）若，第一次“F运算”的结果为：， 第二次“F运算”的结果为：， 故答案为：，； （2）由（1）得，若，第一次“F运算”的结果为；第二次“F运算”的结果为， 第三次运算结果为：， 第四次运算结果为：， 第五次运算结果为：， 第六次运算结果为：， ∵ ∴第2022次“F运算”的结果为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了数字类变化规律，解题的关键是理解题意，发现结果的变化规律． 【变式7-3】（2023秋·山西长治·九年级统考期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 【答案】 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴根据题中的新定义得： ， 即： ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【题型八 二次根式的分母有理化】 例8. （2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化， 解：原式．运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化； (2)观察上面的解题过程，请直接写出结果： ______． (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3)2022 【分析】（1）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案； （2）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案； （3）先分母有理化，最后合并即可． 【详解】（1）解： = =； （2）解： ； 故答案为：； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，解此题的关键是能正确进行分母有理化． 【变式8-1】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）利用有理化因式，化去分母中的根号即可； （2）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行加减运算即可； （3）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵ ∴， 【点睛】本题考查分母有理化，掌握二次根式的运算是解题的关键． 【变式8-2】（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． (1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________． (2)应用：化简． (3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数） 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①分子分母都乘以可得答案；② 分子分母都乘以可得答案； （2）把分母中的二次根号去掉，再合并同类二次根式即可； （3）把分母中的二次根号去掉，再结合分配律，合并同类二次根式即可； 【详解】（1）解：①； ②； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的运算中的规律探究，熟练的分母有理化是解本题的关键． 【变式8-3】（2023春·江西赣州·八年级统考期末）在数学兴趣小组活动中，小诚和他的同学遇到一道题： 已知，求的值他是这样解答的： ， ． ，． ． ． 请你根据小诚的解题过程，解决如下问题： (1)______ ； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据小诚的解答过程计算即可． （2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可的结果． （3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案． 【详解】（1）； （2）原式 ； （3）， ， ，即． ． ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，分母有理化，平方差公式，解题的关键是根据已知进行解答． 【题型九 复合二次根式的化简】 例9. （2023春·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键． 【变式9-1】（2023春·河南信阳·八年级统考阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． 【变式9-2】（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：； 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)请你尝试化简： ①______； ②______． (2)若，且，，为正整数，求的值． 【答案】(1)①；② (2)46或14 【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简． （2）变形已知等式，建立，，的方程组求解． 【详解】（1）解：①； ； ② ； 故答案为：①；②； （2）解： ， ， ，，均为正整数． 或， 或． 或14． 【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键． 【变式9-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)a的值为或 【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ，， 又为正整数， ，或者， 当时，； 当，， 综上所述，a的值为或． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 一、单选题 1．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）在、、、、、、、、、中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】先将能化简的数化简，再根据无理数的定义逐个进行判断即． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴无理数有：，，，、，共5个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数． 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质，根据逐项计算再进行判断即可 【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意； B. ，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，故选项D符合题意； 故选：D 3．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）二次根式中的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零即可． 【详解】解：若有意义， 则且， 即：且， 解得， 故选：D． 4．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（       ） A．4 B．2a C．2b D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由在数轴上的位置可得：再根据化简计算即可． 【详解】 解： 故选A 【点睛】 本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键． 5．（23-24八年级下·河南许昌·阶段练习）对于任意的正数x、y定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是定义新运算，根据定义新运算公式进行计算是解决此题的关键． 先根据定义新运算的公式分别计算，，然后再代入计算即可． 【详解】， ， 故选A． 二、填空题 6．（2023春·广东惠州·七年级校考期中）的算术平方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 / 3 【分析】根据算术平方根概念即可解决问题． 【详解】解：， 的算术平方根是； ，9的算术平方根是3， 的算术平方根是3． 答案：；3 【点睛】本题主要考查了算术平方根概念的运用．此类问题要先计算再求算术平方根． 7．（23-24七年级下·重庆·期中）在实数0，，，，1.020020002，，中，无理数有 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．解题的关键是明确初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 【详解】解：，，，是无限不循环小数，它们是无理数，共4个； 0是整数，是分数，1.02002002是有限小数，它们不是无理数； 故答案为：4． 8．（2024·江苏宿迁·三模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握以上知识． 根据分母不为零，被开方数大于等于零，列式，解答即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简、不等式的性质，关键在于认真观察题意得出，的符号．根据题意可知，，然后对二次根式进行化简，根据，去绝对值号． 【详解】解：二次根式， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·湖北·期中）在正实数范围内定义一种运算“”：当时，；当时，．则方程的解是 ． 【答案】81或1/1或81 【分析】此题主要考查了新定义运算，实数的运算，正确分情况讨论是解题关键．直接利用当时，当时，分别得出等式，进而得出答案． 【详解】解：， 当时， ， 故， 解得：， 当时， ， ， 故， 解得：， 综上所述：或． 故答案为：81或1． 三、解答题 11．（22-23七年级上·全国·单元测试）把下列各数按有理数、无理数、正实数、负实数分别填入相应的集合内： 0，，，4，，，，，，，，． 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 【答案】0，，4，，，，，， ， ， ，4，，，，， ，，， 【分析】根据有理数与无理数的定义以及正实数与负实数的定义进行分类即可， 【详解】解：有理数集合：0，，4，，，，，，； 无理数集合：， ，； 正实数集合：，4，，，，，； 负实数集合：，，，． 【点睛】本题主要考查的是有理数与无理数的定义以及正实数与负实数的定义等知识内容，注意0既不是正实数也不是负实数． 12．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）已知：，求的值． 【答案】 【分析】根据进行计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，正确根据完全平方公式得到是解题的关键． 13．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，求下列式子的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件式得出，然后根据完全平方公式变形求值即可求解； （2）将，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键． 14．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 15．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． (1)填空：a=_______，b=_______，c=______； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)-2，-3， (2)， 【解析】 【分析】 (1)根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答； (2)根据题意可得c> 0， a-b> 0，a-c< 0，然后先化简各式，再进行计算即可解答． (1) 由题意得：，，， 故答案是：-2，-3，； (2) 由数轴可得：c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0， 原式=． 当，时 原式． 【点睛】 本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 17．（2023春·河北邢台·八年级校考期中）【阅读材料】在二次根式中，如：，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：，． 【解决问题】 (1)化简的结果为______； (2)已知，． ①化简______，______； ②求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）结合题意，利用分母有理化、平方差公式计算即可； （2）①利用分母有理化化简即可 ②利用提公因式法把原式变形，代入计算即可； （3）根据（1）的结论计算即可． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）① ； ②． （3）原式． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键． 18．（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求： ①________； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________； (3)计算：． 【答案】(1)①2；② (2)，10，2 (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）利用原题的过程，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴； 故答案为：2 ② 由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，满足题意， 即方程的解是； （2）解：由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是，x的最大值是10，x的最小值是2； 故答案为：，10，2 （3） 【点睛】此题考查了二次根式的性质和混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$