第09讲 二次根式的乘除【六大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第09讲 二次根式的乘除 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 2．掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。 知识点一： 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 知识点二：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广：. 知识点三：最简二次根式 1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 考点一：二次根式的乘法 例1．（2024·山西忻州·三模）计算： ． 【变式1-1】（2024·山西太原·二模）计算的结果为 ． 【变式1-2】（2024·山西晋城·二模）计算的结果为 ． 【变式1-3】（23-24八年级下·湖南湘西·期中）计算的结果为 ． 考点二：二次根式的除法 例2.（23-24八年级下·福建福州·期中）计算： ． 【变式2-1】（2024·山西阳泉·三模）计算：的结果为 ． 【变式2-2】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）计算 ． 【变式2-3】（23-24八年级下·天津和平·期中）计算： ； ； ． 考点三：二次根式的乘除混合运算 例3.（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 【变式3-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 【变式3-2】（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 【变式3-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点四：最简二次根式的判断 例4. （23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）下列二次根式不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）下列各式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）在根式①；②；③；④，最简二次根式是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 考点五：化为最简二次根式 例5.（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 【变式5-1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 【变式5-2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）化简： ． 【变式5-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）化简： ． 考点六：已知最简二次根式求参数 例6. （23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【变式6-1】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【变式6-2】（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【变式6-3】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）化简的结果正确的是（   ） A． B．3 C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）下列各式中，最简二次根式为（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（2021八年级上·全国·专题练习）计算等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）将化成最简二次根式为 ． 7．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）计算： ． 8．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 9．（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是 ． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）下列二次根式中：①；②；③；④，是最简二次根式的是 （填序号）． 三、解答题 11．（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 13．（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）计算： (1)； (2) 14．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 二次根式的乘除 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 2．掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。 知识点一： 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 知识点二：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广：. 知识点三：最简二次根式 1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 考点一：二次根式的乘法 例1．（2024·山西忻州·三模）计算： ． 【答案】5 【分析】根据二次根式的乘法运算解答即可． 本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】． 故答案为：5． 【变式1-1】（2024·山西太原·二模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-2】（2024·山西晋城·二模）计算的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的乘法；根据二次根式的乘法法则，把被开方数相乘再化简即可． 【详解】解：； 故答案为：3． 【变式1-3】（23-24八年级下·湖南湘西·期中）计算的结果为 ． 【答案】10 【分析】根据二次根式的乘法公式计算即可． 本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】， 故答案为：10． 考点二：二次根式的除法 例2.（23-24八年级下·福建福州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式2-1】（2024·山西阳泉·三模）计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级下·天津和平·期中）计算： ； ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式除法运算法则，根据二次根式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；；． 考点三：二次根式的乘除混合运算 例3.（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 【变式3-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答． 【详解】解： ． 【变式3-2】（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的乘除混合运算法则，即可求解． 【详解】解：原式= =． 【变式3-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 考点四：最简二次根式的判断 例4. （23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）下列二次根式不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：，而其它二次根式是最简二次根式， 故选：A． 【变式4-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）下列各式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或分式，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中如果含有开方开的尽的因数或因式，也不是最简二次根式． 根据最简二次根式的定义即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式4-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，被开方数中不含有分母；属于基础题型，熟知最简二次根式的定义是正确判断的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，本选项错误； B、被开方数中含有，能开得尽方，不是最简二次根式，本选项错误； C、被开方数中含有8，而，不是最简二次根式，本选项错误； D、是最简二次根式，本选项正确． 故选D． 【变式4-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）在根式①；②；③；④，最简二次根式是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：①是最简二次根式； ②，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③是最简二次根式； ④，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． ①③是最简二次根式． 故选C． 考点五：化为最简二次根式 例5.（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键． 最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依据概念化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是化为最简二次根式，把被开方数的分子分母都乘以5，再化简即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【变式5-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 考点六：已知最简二次根式求参数 例6. （23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式6-1】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴不能开方，不含分母， ∴的值可以为2，此时； 故答案为：10（答案不唯一）． 【变式6-2】（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 【变式6-3】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 【答案】2 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：当时，，不是最简二次根式， 当时，，是最简二次根式， ∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数a为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 一、单选题 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）化简的结果正确的是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式的乘法．根据二次根式的乘法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）下列各式中，最简二次根式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．即被开方数中不含开方开的尽的数或因式是最简二次根式．先化简各二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得结果． 【详解】A、，是最简二次根式，故本选项正确； B、，不是最简二次根式，故本选项错误； C、中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误； D、，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选：A． 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘除运算，掌握运算法则是解本题的关键，分别根据二次根式的乘法运算，二次根式的化简，二次根式的除法运算进行计算判断即可． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 5．（2021八年级上·全国·专题练习）计算等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： = 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 二、填空题 6．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】． 故答案为： 7．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质化简，掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质先化简，再根据二次根式的乘法运算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 8．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘除，掌握运算法则是解题的关键． 9．（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）下列二次根式中：①；②；③；④，是最简二次根式的是 （填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了最简二次根式及分母有理化，根据最简二次根式的定义及分母有理化逐一判断即可求解，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②是最简二次根式； ③是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 故答案为：②③． 三、解答题 11．（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简． （1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案； （3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 13．（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）利用二次根式的乘法法则计算即可； （2）先计算二次根式的除法，再计算乘法即可. 【详解】（1） ； （2） 14．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可； （2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2） 15．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． （2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$