第08讲 二次根式【八大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第08讲 二次根式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解二次根式的概念； 2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围； 3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。 知识点一：二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 知识点二：二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 知识点三：二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 考点一：判断二次根式 例1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析判断即可， 【详解】A． 是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意； B． ，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C． 是二次根式，故该选项符合题意； D． 是三次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：A. 中被开方数小于，不是二次根式； B. 5是整数，不是二次根式； C. 是二次根式； D. 是三次根式，不是二次根式； 故选C． 【变式1-2】（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义进行判断即可． 【详解】一般的，形如（）的式子叫做二次根式，因此不是二次根式． 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握知识点是解题关键． 【变式1-3】（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义进行解答即可． 【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式． 考点二：根据二次根式的定义求字母的值 例2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 【变式2-1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 【变式2-2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【变式2-3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是5． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 考点三：求二次根式的值 例3. （23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 【变式3-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 【变式3-2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故选：B． 【变式3-3】当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】将代入计算即可得． 【详解】解：当时，， 故选：A 【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键． 考点四：根据二次根式有意义条件求范围 例4. （23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数非负；根据被开方数非负得，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为：B． 【变式4-1】（2024·广西·三模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴ ∴． 故选：C． 【变式4-2】（23-24八年级下·陕西安康·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键． 利用二次根式有意义的性质得到，运算后判断即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：，C符合 故选：C． 【变式4-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故选C． 考点五：根据二次根式有意义求值 例5. （23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分． 【详解】解：由题意可得：， 则， 则， ， ， 则的小整数部分是2，小数部分是， 故答案为：． 【变式5-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用二次根式有意义的条件进行求解即可； 【详解】解：由题意知：， 解得：， ， ， 故答案为：25； 考点六：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 例6. （23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即中，， ∴中，， ∴， 故答案为： ． 【变式6-1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键. 根据，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果. 【详解】解：∵ ∴. 故答案为：5 【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到，再由进行化解求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式6-3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键． 根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，， ∴ ， 故答案为： ． 考点七：含隐含条件的参数范围化简二次根式 例7.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简． 【详解】∵，， ∴原式， ， 故选：． 【变式7-1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果． 【详解】 解：，与异号， ，， ， 则． 故选：C． 【变式7-2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】根据题意有：，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 考点八：复杂的复合二次根式化简 例8. （23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； （2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 【变式8-1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【变式8-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 【变式8-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 一、单选题 1．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）如果二次根式有意义，那么a的值不能是（    ） A． B．0 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；二次根式有意义，则被开方数非负，由此即可判断． 【详解】解：由于二次根式有意义，则， 即负数使二次根式无意义； 故选：A． 2．（22-23八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式； B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式； C、，含有三次根号，不是二次根式； D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式． 【点睛】本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键． 3．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 5．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质化简，根据数轴判断式子的正负，根据数轴可知，然后根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：根据数轴可知， ， 原式 故选：B． 二、填空题 6．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若二次根式有意义，则a的取值范围是 ，当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的值，由被开方数为非负数可得，再解不等式可得a的范围，再把代入计算即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：； 当时，； 故答案为：， 7．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）已知，，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中．利用二次根式的性质化简()即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）若，化简二次根式 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键．先将化成，再根据二次根式的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 10．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知是有理数，且，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入结合二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 将代入得， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（22-23八年级上·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 【答案】(1)④， (2) 【分析】（1）由于，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可； （2）仿照题意进行化简即可． 【详解】（1）解： ① ② ③ ④ ， ∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为， 故答案为：④，； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键． 12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)（或） (3)；2030 【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行判断即可； （2）根据二次根式的性质进行回答即可； （3）由m的值可知，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的； 故答案为：小亮 （2）小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或）， 故答案为：（或） （3）原式， ， ， 原式            ． 13．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简． 例如：化简： ∵ ∴ 仿照上例化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据，确定后化简计算． (2)根据，确定后化简计算． 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键． 14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简： 解：隐含条件，解得： ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长． 化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的意义： （1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围； （2）根据（1）所求结合二次根式的性质化简可得答案； （3）由三角形三边间的关系得出、、，再利用二次根式的性质化简可得答案． 【详解】解：（1）∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0， ∴隐含条件， 解得：， （2）∵， ， ∴ ； （2）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，， ∴，，， ∴ ． 15．（22-23八年级上·广东深圳·期中）阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：． 例：化简． 解：首先把化为，这里，由于 即． ． 请你仿照阅读材料的方法解决下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)化简：写出计算过程 (3)化简：为正整数 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（）利用题干中的方法解答即可； （）利用题干中的方法解答即可； （）利用题干中的方法将每个二次根式转化成两个二次根式的差后，利用加法的运算律解答即可． 【详解】（1）这里， ， 即：， 这里， ， 即：， 故答案为：； （2） 这里， ， 即：， （3） ．．．．．．， 原式．．． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简与性质，数字变化的规律，本题是阅读型题目，理解题干中的解题方法并熟练应用是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次根式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解二次根式的概念； 2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围； 3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。 知识点一：二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 知识点二：二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 知识点三：二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 考点一：判断二次根式 例1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（    ） A． B．5 C． D． 【变式1-2】（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 考点二：根据二次根式的定义求字母的值 例2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【变式2-1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【变式2-2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 考点三：求二次根式的值 例3. （23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式3-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式3-3】当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 考点四：根据二次根式有意义条件求范围 例4. （23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·广西·三模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级下·陕西安康·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【变式4-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 考点五：根据二次根式有意义求值 例5. （23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 【变式5-1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 【变式5-2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 【变式5-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 考点六：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 例6. （23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ． 【变式6-1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是 ． 【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为 ． 【变式6-3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 考点七：含隐含条件的参数范围化简二次根式 例7.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 考点八：复杂的复合二次根式化简 例8. （23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【变式8-1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【变式8-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【变式8-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 一、单选题 1．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）如果二次根式有意义，那么a的值不能是（    ） A． B．0 C． D．9 2．（22-23八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 5．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若二次根式有意义，则a的取值范围是 ，当时，二次根式的值是 ． 7．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）已知，，则化简的结果是 ． 8．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）若，化简二次根式 ． 9．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 10．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知是有理数，且，则化简的结果为 ． 三、解答题 11．（22-23八年级上·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 13．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简． 例如：化简： ∵ ∴ 仿照上例化简下列各式： (1) (2) 14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简： 解：隐含条件，解得： ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长． 化简：． 15．（22-23八年级上·广东深圳·期中）阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：． 例：化简． 解：首先把化为，这里，由于 即． ． 请你仿照阅读材料的方法解决下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)化简：写出计算过程 (3)化简：为正整数 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$