第12讲 用因式分解法求解一元二次方程【六大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第12讲 用因式分解法求解一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 2．因式分解法解一元二次方方程的应用； 知识点一.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点二.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 考点一：用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 例1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 【变式1-1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【答案】， 【分析】采用因式分解法即可求解． 【详解】 移项得，， 提取公因式得，． 故或， 解得，． 【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键． 【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【变式1-3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 即或， 解得，． （2）解：， 移项得， 因式分解得， 即或， 解得，． 考点二：用十字相乘法求解一元二次方程 例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【变式2-1】（2024·广东广州·二模）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 【变式2-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 【变式2-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 考点三：用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 例3. （22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)过程见解析 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）先移项，然后用因式分解法求解． 【详解】（1）解：∵可能为0， ∴不能除以， ∴第②步出现了错误 故答案为②． （2）解：方程两边因式分解，得， 移项，得， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 【变式3-1】（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 【答案】(1)两位同学均错 (2)， 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）两位同学的解题过程都不正确． （2）， ， 或， 所以，． 【变式3-2】（23-24八年级下·浙江·期中）甲、乙两位同学解方程的过程如下框： 甲： 两边同除以得： 则 （    ） 乙： 移项得 提公因式 则或 （    ） 你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】×；×，见解析 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 根据因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：根据题意得： 甲： 两边同除以得： 则 （×） 乙： 移项得 提公因式 则或 （×） 解： 或． 【变式3-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【答案】(1)1，2 (2)正确的解法见解析，，．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：小涵的解法中，因为可能为0， 所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步； 故答案为：1；2； （2）解：正确的解法是：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得， 注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解． 考点四：用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题 例4. （2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可． 【详解】解方程得或， 当时，，不能构成三角形； 当时，这个三角形的周长是， 故选D． 【变式4-1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得，再根据勾股定理求得，从而计算出的周长即可． 【详解】解：是一元二次方程的根， ， 即， 解得，或（不合题意，舍去）． ∴，， 在中，， ， 的周长． 故选：A． 【变式4-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理，先解方程，勾股定理的逆定理得出第三边为，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 由 ∴， 解得：或 依题意，这个直角三角形的三边分别为， ∴这个直角三角形的周长为， 故选：C． 【变式4-3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，，则方程的一个根是线段（    ）的长度 A．或或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，勾股定理的应用，先求解，再解方程，从而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，， 线段，，的长是方程的一个根； 故选A 考点五：新定义型用因式分解法解一元二次方程问题 例5.（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】∵ ，， ∴， 整理，得， 解得或， 故选C． 【变式5-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（    ） A．都为 B．都为 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意． 现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：根据定义运算可得， 即为， 即， ，， 则方程的根为或． 故选：． 【变式5-2】（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 故选：B． 【变式5-3】（2024·甘肃天水·一模）在正数范围内定义一种运算：，如，若，则的值为（    ） A．1 B． C．5或 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义，得到 ，解出即可求解． 【详解】解：由题意得：，即 解得：或， 故选：C． 考点六：换元法解一元二次方程 例6. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 【变式6-1】（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【详解】（1）解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或． 【变式6-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程，选择相对合适的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项变形，再提取公因式即可求解． 【详解】解：， ， ，即， ∴最合适的方法是因式分解法， 故选：D． 2．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 解得． 故选C． 3．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（    ） A． B．4 C．25 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质．先求出方程的解，即可得出，，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：解方程得：，． 即，， 四边形是菱形， ，，， 由勾股定理得：， 故选：A． 4．（23-24九年级上·河南南阳·期末）关于方程的描述，下列说法错误的是（        ） A．它是一元二次方程 B．解方程时，方程两边先同时除以 C．它有两个不相等的实数根 D．用因式分解法解此方程最适宜 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：、方程整理得为， 故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意； 、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解， 故该说法错误，符合题意； 、由得： ， 故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意； 、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意； 故选：． 5．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则的值是（    ） A．或 B．或7 C．或7 D．或 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算解方程，理解新运算，根据新定义的运算，分两种情况：①；②，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：分两种情况： ①， ，即， ， 解得：， 当时，，即，符合题意； 当时，，即，不符合题意； ； ②， ，即， ， 解得：， 当时，，即，不符合题意； 当时，，即，符合题意； ； 综上，的值是或7， 故选：B． 二、填空题 6．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【详解】解：移项，得， 提公因式得，， 或， ，． 故答案为：，． 7．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得， ①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去； ②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形， 所以该等腰三角形的周长为， 故答案为：16． 8．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出，进而解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个解为， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 故答案为：． 9．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知，则的值等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查解一元二次方程，首先把当作一个整体，设，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即的值．此题注意把看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍． 【详解】解：设， ∴， ∴，即， ∴或， ∵的值一定是非负数， ∴． 故答案为：4 10．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则 【答案】 是 或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义： （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解方程得到，再根据“倍根方程”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∴方程 是 “倍根方程”． 故答案为：是； （2）解方程得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ； （2）解： 或 ． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴或， ∴； （2）， 整理得：， ∴， 或， ． 13．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法． （1）整理成一般式，再利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得； （2）利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得． 【详解】（1）解：， ， 则，即， ； （2）解：∵． ∴， ∴或 ∴． 14．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程： 解：方程两边除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为1，得第三步 任务： (1)小明的解法从第__________步开始出现错误； (2)此题的正确结果是__________； (3)用因式分解法解方程：． 【答案】(1)一 (2)， (3)， 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）利用因式分解法求解方程即可得出答案； （3）根据因式分解法求解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知小明的解法从第一步开始出现错误； 故答案为一； （2）解： 或 ∴； 故答案为； （3）解： 解得：． 15．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)、 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解； （2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：令，原方程化为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，解得． 原方程的解为：，， （2）令，原方程化为， 解得， 当时，（无意义舍去） 当时，，解得、． 原方程的解为、． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 用因式分解法求解一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 2．因式分解法解一元二次方方程的应用； 知识点一.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点二.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 考点一：用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 例1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【变式1-1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【变式1-3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程： (1)； (2)． 考点二：用十字相乘法求解一元二次方程 例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】（2024·广东广州·二模）解方程：． 【变式2-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式2-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 考点三：用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 例3. （22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【变式3-1】（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 【变式3-2】（23-24八年级下·浙江·期中）甲、乙两位同学解方程的过程如下框： 甲： 两边同除以得： 则 （    ） 乙： 移项得 提公因式 则或 （    ） 你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程． 【变式3-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 考点四：用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题 例4. （2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 【变式4-1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（    ） A． B． C．10 D． 【变式4-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（　　） A．或 B． C． D．或 【变式4-3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，，则方程的一个根是线段（    ）的长度 A．或或 B．或 C． D． 考点五：新定义型用因式分解法解一元二次方程问题 例5.（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（    ） A．都为 B．都为 C．或 D．或 【变式5-2】（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-3】（2024·甘肃天水·一模）在正数范围内定义一种运算：，如，若，则的值为（    ） A．1 B． C．5或 D．5 考点六：换元法解一元二次方程 例6. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【变式6-1】（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【变式6-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程，选择相对合适的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 2．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（    ） A． B．4 C．25 D．5 4．（23-24九年级上·河南南阳·期末）关于方程的描述，下列说法错误的是（        ） A．它是一元二次方程 B．解方程时，方程两边先同时除以 C．它有两个不相等的实数根 D．用因式分解法解此方程最适宜 5．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则的值是（    ） A．或 B．或7 C．或7 D．或 二、填空题 6．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程的根是 ． 7．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 ． 8．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 9．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知，则的值等于 ． 10．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则 三、解答题 11．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 14．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程： 解：方程两边除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为1，得第三步 任务： (1)小明的解法从第__________步开始出现错误； (2)此题的正确结果是__________； (3)用因式分解法解方程：． 15．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$