4 用因式分解法求解一元二次方程-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

第●章一元二次方程 用因式分解法求解一元二次方程 优基础培优题 挖燕批材，高于教材 3用因式分解法解方程，下列过程正确的是 一题两用（理解知识·激活思维） A.(2x-3)(3.x一4)=0化为2.x一3=0或 1阅读下列解方程的过程，并解决问题 3x-4=0 解方程：3.x(x一5)=10一2x. B.(x+3)(x一1)=1化为x+3=1或x-1=1 解：方程右边分解因式， C.(x-2)(x-3)=2X3化为x-2=2或x 得3.x(x一5)=2(5一x),…(第一步) 3=3 方程变形.得3.x(.x一5)=一2(x一5)， D.x(x十2)=0化为x+2=0 (第二步) 4用因式分解法解方程： 方程两边都除以x一5，得3.x=一2. (1)2x2-5.x=0: e4t*0te44884444484eg (第三步) (2)(枚材P47随堂练习T1(2)变式)3y(y十 1)=y+1: 解得x=一 0+t0++00t0000t*0tt00t 3 (第四步) (3)(教材P47习题2.7T门(4)变式)2(x一3)2+ 基础设问 x2-9=0. (1)上述解方程的过程从第 步开 始出错： (2)请根据因式分解法求该方程的解。 知识点三用适当的方法解一元二次方程 延展设问 5.解方程3(3.x一1)2=2(3x一1)的最适当的方 (3)结合上面的题目，应用因式分解法解 法是 方程：x-3.xr=-2.x+6. A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 6.用适当的方法解下列方程： (1)x2-8.x-1=0: (2)3.x(x-1)=2(.x-1): (3)(2.x+3)2=(3x+2)2. 知识点一。用因式分解法求解一元二次方程 2.(:材P47例题(2)变式)方程x2一2x=x 2的根是 A.x=2 B.x1=2.x2=1 C.x=1 D.x1=0,x2=2 31 智学酷提优精练数学九年级上册(BS)》 片能力提升题 综合应用，提升能力 这种因式分解方法的特征是“拆常数项，凑 一次项”，即a,b的乘积等于常数项，a,b的 7.若方程x2十p.x十g=0的两个根分别是2和 3,则p和g的值分别是 和为一次项系数.利用这种因式分解的方法 A.5,6 B.-5,6 解下列一元二次方程。 C.5.-6 (1)x2-3x-4=0: D.-5,-6 (2)x2+4x-5=0. 8.若(x十y十1)一4(x十y十1)=0，则x十y 的值为 A.3 B.-3 C.-1或3 D.一3或-1 9.若实数k,b分别是一元二次方程(x十3)· (x一1)=0的两个根，且k<b,则一次函数 y=kx十b的图象不经过 ( A第一象限 B第二象限 (优素养创新题 挑战创斯，素养发展 C.第三象限 D.第四象限 14.(阅读理解题)为解方程 10.(新定义题)在实数范围内定义一种运算 (.x2-1)2-5(x2-1)+4=0, “*”,其定义为a*b=a2一ab,根据这个定 我们可以将x2一1视为一个 义，(.x+3)*5=0的解为 整体，然后设x2一1=y,则原 1L,(易错题)已知一个直角三角形的两边长分 方程可化为y2一5y+4=0,解此方程，得 别是方程x2一9x=2(x一9)的两个根，则 y1=1,y2=4.当y=1时，x2-1=1,所以 这个直角三角形的斜边长为 x=士2：当y=4时，x2一1=4，所以x 12.已知一个三角形的两边长a和b满足 士5.所以原方程的解为.x1二2，x2=一√2， (a一6)2+√0一4=0，第三条边长c是方程 x35,x,=一5. x2一6x=0的根试判断这个三角形的形状. 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元 法达到了降次的目的运用上述方法解下列 方程： (1)(x2-x)(x2-x-4)=-4: (2)x4+x2-12=0. 13.(阅读理解题)阅读下列因式 分解的方法解方程， 一般地，因为(x十a)(.x十b)= x2+(a+b)x+ab: 所以x2+(a+b)x+ab=(.x+a)(x+b). 这就是说，对于二次三项式x2十p.x十g,若 能找到两个数a,6,使十b=p·则有x十 pr+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). ◆32所以1=12一21， 4用因式分解法求解一元二次方程 解得1=4， 1.(1)三 所以经过4s,△PCQ是等腰三角形. (2)解：x1=5,x2=一 (2)假设存在某一时刻1，△PCQ的面积是 矩形ABCD的面积的一半 (3)解：x1=3,x2=-2 由题意，得21(12-2）-立×12×6， 2.B3.A 5 整理，得12一61十36=0. 4.解：(1)x1=0x:= 因为4=36-4×1×36=-108<0， (2y1=-1y=3 1 所以方程无解， 所以不存在某一时刻，△PCQ的而积是矩 (3)x1=3,x:=1. 形ABCD的面积的一半」 5.D (3)假设存在某一时刻t,△APQ的面积是 6.解：(1)x1=4+√17，x:=4-√7. 6 cm. （2=1-景 由题意，得12×6-7×12×(6-) (3)x1=1,x4=-1. 7.B解析：因为方程x2十p.x十q=0的两个根 2412-2)-7×6×21=6 分别是2和3， 整理得1一6t十30=0. 所以x2+p.x+g=(x-2)(x-3). 因为4=36-4×1×30=-84<0. 即x2+px+q=x2-5r+6, 所以方程无解， 所以p=一5，q=6. 所以不存在某一时刻.△APQ的面积是6cm. 故选B (4)因为四边形ABCD是矩形， 8.C解析：把x十y十1看成一个整体，因式分 所以∠C=∠B=∠D=90°， 解，得(x+y+1)(x+y一3)=0， 所以AP:=122+(6-1).AQ=6+ 所以x+y+1=0成x+y一3=0， (21)2,PQ=12+(12-21)2. 所以x十y=一1或x十y=3. 因为△APQ是等腰三角形， 故选C 所以当AP=AQ时，12+(6-1)严=6+(2)尸， 9.C解析：因为实数k,b分别是一元二次方程 解得11=一2+213,12=一2-2√13（不 (x+3)(x一1)=0的两个根，且k<b. 所以k=一3，b=1,所以函数y=kx十b的图 合题意，舍去)： 象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。 当AP=PQ时，12+(6-t)”=2+(12 10.一3或2解析：由题意，得(x+3)5 21)2. (x+3)-5(x+3), 解得=生3区（不合题意，舍去： 所以(x+3)(x-2)=0, 2 所以x十3=0或x一2=0， 当AQ=PQ时.6+(2)=+(12-2). 所以x=一3或x=2. 解得11=24-613,1：=24+6√13（不合 11.√85或9解析：图为x2-9r=2(x一9) 题意，舍去)。 所以(x一9)(x一2)=0. 综上所述，经过（一2+2√13）s或(24一 所以x一9=0或x-2=0, 6√13)s,△APQ是等腰三角形 解得x1=9,x1=2. 27 若9,2均为直角边长度，则斜边长度为 专题培优一元二次方程的四种解法 √g+2=√85. 1.C 若9,2有一边是斜边长度，则斜边长度为9， 2.C解析：m(x十h)2十k=0(m,h,k均为常 故这个直角三角形的斜边长为√⑧5或9. 数，m≠0) 【易错】注意讨论一元二次方程的两个根都 是直角边长或有针边长两种情况 解x=一h土一m 12.解：因为(a一6)2+√-可=0， 图为关于x的方程m(x十h)产+k=0(m,h, 所以a一6=0，b-4=0, k均是常数，m≠0)的解是x1=一3，x2=2, 所以a=6,b=4. 因为x2-6r=0, 所以x(x-6)=0, 易知方程m(x一h一3)2十k=0的解是x 所以x=0或x一6=0， 解得x1=0(舍去)，x:=6, 所以三角形三边长分别为6,4,6， 所以x1=3+3=6,x1=3一2=1. 所以这个三角形为等腰三角形. 故选C 13.解：(1)因为x2-3x-4=(x一4)(x+1), 所以(x-4)(x+1)=0, 3.D解析：当(x-1)<x,即x>2时， 所以x一4=0或x十1=0： 可得(x一1)=1. 解得x1=4,x1=一1. 开平方，得x一1=1或x一1=一1， (2)因为x+4x-5=(.x+5)(x-1), 解得x=2或x=0(含去). 所以(x+5)(x一1)=0， 所以x十5=0或x一1=0， 当(x一1)>r,即x<乞时.可得x=1 解得x1=一5，x:=1. 开平方，得x=一1或x=1(含去). 14.解：(1)(x2-x)(x2-x-4)=-4, 综上所述，x为一1或2 设x一x=a,则原方程可化为a(a一4)= 4.1或一7解析：因为x2=9, -4.即a°-4a十4=0， 所以x=3或x=一3. 解此方程，得a1=a:=2. 【易错】本随易因丢梓负值而隔解. 当a=2时，x2-x=2,即x2一x一2=0. 因式分解，得(x-2)(x+1)=0. 当x=3时，y=一x+4=一3+4=1： 解得x1=2,x:=一1. 当x=-3时，y=x-4=一3-4=-7. 所以原方程的解是x1=2,x:=一1. 所以输出结果y的值是1或一7， (2).x+x2-12=0, 5.解：(1).x1=1-22,x:=1+22. 设x2=y,则原方程化为y2+y一12=0， (2)x1=6,x:=6. 【美健】钱出整体代换的式子是关健 6.17解析：方程x2-8x一5=0， 因式分解，得(y一3)(y十4)=0， 变形，得x2一8x=5. 解得y1=3,y:=一4. 配方，得x2-8x十16-21.脚(x-4)2-21. 当y=3时，x2=3.解得x=土√3： 所以a=一4，b=21, 当y=一4时，x2=一4，无实数根. 所以a十b=-4十21=17 所以原方程的解是x1=√3，x2=一√3， 7.解：(1)x1=-3,x:=5. ◆28#