第1课时 用公式法求解一元二次方程-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

第●章一元二次方程 3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程 基础培优题 挖强教材高于教材 知识点一。一元二次方程的求根公式 2.用公式法解方程4y2一12y一3=0，得到 一题两用（理解知识·激活思维） 1,下面是一元二次方程a.x十bx十c=0 Ay=-3±6 (a≠0)在b2一4ac>0时的求根公式的推 2 By=3±6 2 导过程 C.y= 3士23 2 D.y=-3±23 2 ax2+bx+c=0. x2+ b 3.x= -5±5+4×3×1 2×3 是下列哪个一元二 a a 次方程的根 ( ++（会）=- ① a A.3x2+5x+1=0 B.3.x2-5.x+1=0 (x+)- b2-Aac C.3x2-5x-1=0 D.3.x2+5x-1=0 2a 4a2 知识点二用公式法求解一元二次方程 因为b2-4ac>0. 4.下列方程中，最适合用公式法求解的是 所以x b ② A.(x-2)2=4 B.2.x2=6 r= ③ C.x2-x-1=0 D.2(x-1)2-10=0 基础设问 5.(教材P43习题2.5T2变式)用公式法解下列 (1)回答横线上序号所代表的内容。 方程： ①是 ,②是 ,③是 (1)x2+1=7x: ,此时方程有 个实 (2)2.x2-4x=5.x-8: 数根。 (3)(.x-4V2)x=8. (2)若b2一4ac=0,此时②是 ,③ 是 ,此时方程有 个实数 根，它们之间的关系是 (3)若b一4ac<0,此时方程 (填 “有”或“无”)实数根. 延展设问 (4)若一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠ 0)有两个不相等的实数根，则下列结论 知识点三。一元二次方程的根的判别式 中：①b2+4ac>0:②一元二次方程cx2+ 6.已知关于x的一元二次方程(k一1)x2十2x一 bx十a=0一定有两个不相等的实数根. 1=0有解，则k的取值范围是 其中一定正确的是 .(填序号) A.k>0 B.k≤2 C.k≤2.且k≠1 D.k≥0，且k≠1 27 智学酷提优精练数学九年级上册(BS) 7.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第二象限， 13.已知关于x的方程mx2一(m十 则关于x的方程a.x2+bx+c=0的根的情 2)x+2=0(m≠0). 况是 (1)求证：方程总有两个实 A.有两个相等的实数根 数根： B.没有实数根 (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整 C有两个不相等的实数根 数m的值. D.无法判断 优能力提升题 综合应用，提升能力 8.若一元二次方程x2一4.x十4m=0有两个相 等的实数根，则正比例函数y=(m十2)x的 图象所在的象限是 () A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、四象限 D.第三、四象限 优素养创新题 就战创新，素养发展 9.(新定义题)对于实数a,b定义运算“⑧”为 14.(新定义题)如图，在菱形ABCD a⑧6=b2-ah.例如3⑧2=22-3×2=-2， 中，m,n,1分别是菱形ABCD的 则关于x的方程(k一3)⑧x=k一1的根的 两条对角线的长和边长，这时我 情况，下列说法正确的是 A有两个不相等的实数根 们把关于x的形如2+2x十n=0的一元 B.有两个相等的实数根 二次方程称为“菱系一元二次方程” C无实数根 D.无法确定 10.(易错题)若|b-1|+|a一4|=0，且关于x 的一元二次方程kx2十a.x十b=0有实数 根，则k的取值范围是 请解决下列问题： 11,若x=1是一元二次方程a.x2十hr十c=0(a≠ (1)填空：①当m=4,n=8时，1 0)的根，则判别式△=b2一4ac和完全平方 ②用含m,n的代数式表示t2 式M=(2a+b)的关系是：△ M. (2)求证：关于x的“菱系一元二次方程” (填“>”“<”或“=”) 12.(开放题)已知关于x的一元二次方程a.x2+ mx2+2x+2n=0必有实数根. bx+1=0. (1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方 程根的情况： (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组 满足条件的a,b的值，并求此时方程的根. 28一个完金平方式，所以2a-3=(号）。 大值一1. (2)-1小一1解析：2x2+4x+1 整理，得a”-8a十12=0. 2(.x+1)2-1. 用配方法解得a1=2,a2=6. 所以当x=一1时，代数式2x2+4红+1有 10.证明：3x2-红+2=3(r-子x+） 最小值为一1 (3)解：设AD=xm, 含+2=3(x-》+号 则S=x(14+1+1一2r)=一2(.x一4)+32. 当AD=4m时，自行车场地的面积最大，最 因为对于任意实数，均有3(x一号)≥0， 大面积为32m 所以对于任意实数x,3(x-号)°+号>0恒 14,(1)10解析：因为a2一2a+1+b2=0, 所以(a一1)十b2=0, 成立，即对于任意实数x,均有3x一4x+2>0. 所以a一1=0.b=0, 11.解：若把多项式4x+1加上士4x,则它能成 所以a=1,b=0. 为完全平方式(2x士1)产：若把多项式4x2+ (2)解：因为x2+2y2-2.xy+4y+4=0, 1加上一1，则它能成为完全平方式(2x):若 所以x2+y2-2xy+y+4y+4=0, 把多项式4x2+1加上一4x,则它能成为完 即(x-y)2+(y+2)=0. 全平方式1：若把多项式4x2十1加上4x,则 所以x-y=0,y+2=0, 它能成为完全平方式(2x十1)，因此加上的单 解得x=y=一2， 项式可以是士4x,一1，一4x2,4x. 12.(1)土3解析：因为x￥(.x一2)=30， 所以P=(-2)= 所以x2+3(.x2-2)=30, (3)解：因为2a2+b2-4a-10b+27=0, 解得x=士3. 所以2a2-4a+2+b2-106+25=0, (2)解：因为(-3x2+6r-5)-(-x2+2x+3) 所以2(a-1)2+(b-5)2=0, =-2x+4x-8 所以a-1=0,b-5=0, =-2(x-1)2-6<0. 解得a=1.b=5. 所以-3x2+6x-5<-x2+2r+3. 因为5一1<c<5+1,且c是正整数， 所以（一3x2+6.x-5)(-x+2r+3) 所以c=5, =(-3.x2+6x-5)-3(-x2+2.x+3) 所以△ABC的三边长分别为1.5,5， =-3x2+6.x-5+3x2-6x-9 所以△ABC的周长为1+5+5=11. =-14, 3用公式法求解一元二次方程 所以化简后的结果与x的取值无关， 第1课时 用公式法求解一元二次方程 所以不论x取何值，结果都应该等于一14， 1.) ±6-4ac -b士-4ac 不可能等于40， 2a 2a 所以小华说小明计算错误。 13.(1)-1大一1解析：因为(x十1)≥0， 两 (2)0 2a 两相等 (3)无 所以一2(.x+1)2≤0， (4)② 所以一2(x+1)-1≤-1. 2.C3.D4.C 即一2(x+1)2一1有最大值一1， 7+35 7-35 只有当x=一1时，才能得到这个式子的最 5.解：(1)x1- 2 2 2 率23* (2)x1=9+7 ,9= 因为a>0,所以△>0， 4 所以方程有两个不相等的实数根 (3)x1=2瓦+4，x=22-4. (2)因为方程有两个相等的实数根， 6.D7.C 所以△=b2-4a=0,a≠0， 8.B解析：因为一元二次方程x2一4x+4m 所以a,b的值不唯一，对应方程的根也不唯 0有两个相等的实数根， 一，若b=2,a=1,则方程为x2+2x+1=0, 所以△=b2-4ac=16-16m=0, 解得x1=x:=一1. 所以m=1,所以m十2=3， 13.(1)证明：因为a=m,b=一(m+2).c=2 所以正比例盖数y=(m十2)x的图象所在的 所以△=b-4ac=[-(m十2)]-8m 象限是第一、三象限故远B m2十4m十4一8m=m2一4m十4=(m一 9.A解析：根据题意，知(k一3)⊙x=k一1，即 2)≥0. x2-(k-3)x=k-1, 所以方程总有两个实数根。 【关健】根据定义的速算构境出一元二次方程 (2)解：因为x= -b±√6-4ac 是美健 2a 所以x2一(k一3)x一k十1=0， m+2士√(m-2)乎 m+2士(m一2) 所以4=[一(k一3)于-4×1×（一k+1) 2m 2m (k-1)2+4>0, 所以x,=m+2m-2=1. 所以关于x的方程(k一3)©x=k一1有两个 2m 不相等的实数根 x:=m+2-m+2_2 2m 故选A 因为方程的两个实数根都是整数 10.k≤4，且k≠0解析：因为|b一1川十a一4|=0， 所以b=1,a=4, 所以2是整数，所以m=士1或m=士2， 所以原方程为kx十4x十1=0. 又因为m是正整数，所以m=1或m=2. 因为方程kx2十ar十b=0是关于x的一元 二次方程， 11①25@时m+ 所以k≠0 解析：①在菱形ABCD中，m,n,1分别是菱 【易错】客易忽略当方程是一元二次方程时， 形ABCD的两条对角线的长和边长， ≠0这一条件 当m=4,n=8时，设AO=4,OD=2, 因为该一元二次方程有实数根， 所以AD=√AO+OD=√④+2=2√5， 所以△=16一4k≥0，解得k≤4. 即t=25. 所以k的取值范国是k≤4，且k≠0. 1山.=解析：图为x=1是一元二次方程ax2十 ②由题意，知AD=√AO+OD x十e=0(a≠0)的根，所以a十b十c=0,即 m)+()m+ b=-a-c,所以△=b-4ac=(-a-c)2- 4ac=a2-2ac+c2=(a-c)2,M=(2a+ 所以=m+ b)=(2a-a-c)2=(a-c)2,所以△=M. 12.解：(1)由题意，得a≠0. (2)证明：mr2+21x+ 2=0, △=b2-4aX1=(a+2)*-4a=a2+4a+ 1 4-4a=a2+4. 因为a=m,b=21c一2， 24 所以△=(2)产-4m·2=42-2mn. 为(32-x)m由32-x>24,可得0x<8. 所以x(32-x)=198,解得x=16士√58，经 因为产-m+ 检验均不合题意，舍去， 综上所述，有两种围法 所以△=m2十n2一2mn=(m一n)≥0， (3)①如题图①：设矩形菜园的宽为xm,则 所以关于x的“菱系一元二次方程”mx2十 矩形的长为(40一2x)m,10≤x<20, 2+宁m=0必有实数根， 所以S=.x(40-2.x)=-2x2+40x, 第2课时用公式法求解一元二次方程 配方，得S=-2(x一10)+200， 在实际生活中的应用 故当x=10时，矩形菜地面积最大，最大值是 1解：(1)有两种围法理由如下： 200m2. ①如题图①：设矩形菜园的宽为xm,则矩形 ②如题图②：设矩形菜园的宽为xm,则矩形 的长为(40一2x)m.由40一2.x≤20，可得10≤ 的两个长的和为(40一2x十20)m,故矩形的 x<20. 长为(30-x)m. 当a=20.S=198时， 由30一x>20,可得0<x<10. 则-2x2+40x=198.即x2-20.x十99=0. 所以S=x(30-x)=-x2+30.x, 所以△=(-20)2一4×99=4>0. 配方，得S=-(x-15)2+225, 所以x=20±④ 因为x=15不在0<x<10范围内. 2 =10士1， 所以S取不到最大值。 解得x1=9(不符合题意，舍去)，x:一11. 综上所述，当x=10时，矩形菜地面积最大， ②如题图②：设矩形菜园的宽为xm,则矩形 最大值是200m2. 的两个长的和为(40一2x+20)m,故矩形的 2.D 长为(30-x)m. 3.解：(1)当矩形的长BC为12m时，矩形花园 由30-x>20,可得0<x<10. 的面积为300m2,. (2)不能围成面积为480m2的矩形花园.理由 所以x(30-x)=198.解得x=15土3v3, 如下： 经检验x=15十33不合题意，舍去 综上所述，有两种围法 设BC-ym,则AB=60=y+2 m. 2 (2)有两种围法.理由如下： ①如题图①：设矩形菜园的宽为xm,则矩形 依题意，得y· 60-y+2=480, 2 的长为(40一2.x)m. 整理得y2-62y+960=0. 由40-2.x≤24，可得8≤x<20. 因为△=(-62)-4×1×960=4>0， 当a=24.S=198时. -2x+40.x=198,即x2-20x+99=0. 所以y 62±4 2 所以4=20-4×99=4>0. 解得y1=30,y:=32. 所以x=20土 因为墙EF最长可利用25m, -=10士1， 所以y1=30,y:=32均不符合题意，舍去， 解得x1=11,x:=9均符合题意， 所以不能围成面积为480m的矩形花园. 所以有两种围法. 4.C ②如题图②：设矩形菜园的宽为xm,则矩形 5.解：设该品牌头盔的实际售价应定为x元/个 的两个长的和为(40一2x+24)m,故矩形的长 则每个头盔的销售利润为(x一30)元，月销售 ◆25