第10讲 用配方法求解一元二次方程【八大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第10讲 用配方法求解一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程； 2．会用配方法解一元二次方程进行配方及求解； 3．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程． 知识点一、直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点二、配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点三、配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 考点一：直接开平方法解一元二次方程 例1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) ； (2)． 【变式1-1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）解方程：． 【变式1-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：． 【变式1-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 考点二：直接开平方法解一元二次方程的条件 例2.（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【变式2-1】（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 考点三：直接开平方法解一元二次方程的复合型 例3. （23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【变式3-1】（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程： 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程： 考点四：用配方法配二次项系数为1的一元二次方程 例4.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 考点五：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例5. （2024·广东东莞·模拟预测）解方程： 【变式5-1】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：（用配方法） 【变式5-2】（2024·甘肃陇南·一模）解方程：． 【变式5-3】（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 考点六：用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程 例6.（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用配方法解方程时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程，应把它先变形为（    ） A． B． C． D． 考点七：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例7. （23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【变式7-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1)． (2) 【变式7-2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式7-3】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 考点八：配方法的应用 例8. （23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【变式8-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【变式8-2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【变式8-3】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 一、单选题 1．（23-24九年级上·贵州黔南·期末）方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）下列解方程的过程，正确的是（    ） A．．解方程，得 B．，解方程，得 C．，解方程，得 D．，解方程，得 4．（2023·山东临沂·一模）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 5．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）对于方程，下列判断正确的是(   ) A．方程的根与的值有关 B．方程有一个正根，一个负根 C．方程有两个负根 D．方程有两个正根 二、填空题 6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）用配方法解方程时，配方后方程变形为 ． 7．（23-24九年级上·吉林松原·期中）方程有实数根，则k的值可以是 （写出一个即可）． 8．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）用配方法解一元二次方程：．第一步化二次项系数为1，得 ，方程两边同时加 ，配方得 ． 9．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）定义新运算：对于任意实数m，n．都有，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题：若，则x的值是 ． 10．（23-24九年级上·江苏·期中）对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 12．（23-24九年级上·广东河源·期中）解方程： (1)； (2)． 13．（23-24九年级上·新疆克拉玛依·期末）解下列方程 (1)； (2)． 14．（23-24九年级上·河南商丘·期末）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 15．（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得 第一步 二次项系数化为1，得 第二步 配方，得 第三步 由此可得 第四步 所以， 第五步 ①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误； ②请写出你认为正确的解答过程． 16．（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． (1)求的最小值为_____，的最小值为_____； (2)若多项式，试求M的最小值； (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 用配方法求解一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程； 2．会用配方法解一元二次方程进行配方及求解； 3．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程． 知识点一、直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点二、配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点三、配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 考点一：直接开平方法解一元二次方程 例1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开平方法求解； （2）先移项，再利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∴， ∴，． 【变式1-1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或 ∴，． 【变式1-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义， 方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解； 【详解】解： 或， 解得或． 【变式1-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 考点二：直接开平方法解一元二次方程的条件 例2.（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 【变式2-1】（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，根据偶次方的非负性解答即可．熟记偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式2-2】（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可． 【详解】解：选项A，B，C方程左边均不能化为完全平方式，故选项A，B，C不能用直接开平方法求解； 由得，故选项D能用直接开平方法求解． 故选：D． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】将常数项移到等号的右边，利用平方的非负性即可进行判断． 【详解】解：将原方程可变形为：， ∵， ∴原方程没有实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况．利用平方的非负性进行判断是解决此题的简便方法． 考点三：直接开平方法解一元二次方程的复合型 例3. （23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出的值，然后求出x的值即可． 【详解】解：， ∴， 则或， 解得． 【变式3-1】（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程： 【答案】，. 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： 开方得，或 解得，． 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴或， 解得，． 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当解法是解题的关键．直接用开平方法求解即可． 【详解】解：原式直接开方得，， 或， ∴原方程的解为：，． 考点四：用配方法配二次项系数为1的一元二次方程 例4.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 【变式4-1】（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 【变式4-2】（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可． 【详解】解： 移项得： 配方得： 即 故选：B 【变式4-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：A． 考点五：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例5. （2024·广东东莞·模拟预测）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解： ， ， ， ，． 【变式5-1】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：（用配方法） 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把方程变形为，开平方得到，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 开平方得， 解得 【变式5-2】（2024·甘肃陇南·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用配方法解方程即可． 【详解】解：， ， 解得． 【变式5-3】（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 考点六：用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程 例6.（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用配方法解方程时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解； ， 故选：A． 【变式6-1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案． 【详解】解：， ， 配方得，即， 故选：A． 【变式6-2】（23-24八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式6-3】（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程，应把它先变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，涉及完全平方差公式、等式性质等知识，由配方法，利用完全平方差公式恒等变形即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 二次项系数化为1得， 移常数项得， 配方得， ，即， 故选：A． 考点七：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例7. （23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 【变式7-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法解答即可； （2）根据配方法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式7-2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 【变式7-3】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)配方；三 (2)， 【分析】（1）根据配方法解答即可． （2）根据配方法的基本步骤规范解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误， 故答案为：配方法，第三步． （2）原方程可变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 考点八：配方法的应用 例8. （23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【答案】 小 1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为，根据得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值1， ∴有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1． 【变式8-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2019 【分析】 此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】 解：与是“同族二次方程”， ， ， 解得， ， 则代数式能取的最小值是2019． 故答案为：2019 【变式8-2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 【变式8-3】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 一、单选题 1．（23-24九年级上·贵州黔南·期末）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用直接开平方法解方程，把方程化为，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：，， 故选C 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的步骤进行配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：C 3．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）下列解方程的过程，正确的是（    ） A．．解方程，得 B．，解方程，得 C．，解方程，得 D．，解方程，得 【答案】D 【分析】分别解出各选项一元二次方程，即可求解． 【详解】解：A、，无解，故本选项错误，不符合题意； B、，解方程，得，故本选项错误，不符合题意； C、，解方程，得，故本选项错误，不符合题意； D、，解方程，得，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4．（2023·山东临沂·一模）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键． 根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴大于0， 故选：C． 5．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）对于方程，下列判断正确的是(   ) A．方程的根与的值有关 B．方程有一个正根，一个负根 C．方程有两个负根 D．方程有两个正根 【答案】B 【分析】方程两边都除以，解一元二次方程，可得根与的值无关． 【详解】解：∵， ∴方程两边都除以，得， 两边开平方，得， 解得，， ∴该方程有一个正根，一个负根，方程的根与的值无关． 故选B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据将方程两边的消去． 二、填空题 6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）用配方法解方程时，配方后方程变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可． 【详解】解： 移项得：， ∴， 配方得：，即． 故答案为． 7．（23-24九年级上·吉林松原·期中）方程有实数根，则k的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一）． 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：2（答案不唯一）． 8．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）用配方法解一元二次方程：．第一步化二次项系数为1，得 ，方程两边同时加 ，配方得 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟记相关步骤即可求解． 【详解】解：化二次项系数为1得：； 配方，方程两边同时加1得：； ∴， 故答案为：①；②1；③ 9．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）定义新运算：对于任意实数m，n．都有，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题：若，则x的值是 ． 【答案】， 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义问题，根据已知公式得出，解之可得答案． 【详解】解：， ， 即， 解得：，． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·江苏·期中）对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数新运算及解一元二次方程一直接开平方法，分两种情况：和时分别进行计算即可解答，应用分类思想分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】分两种情况： 当时， ∵， ∴， ∴， ∴(不合，舍去)，； 当时， ∵， ∴， 解得(不合，舍去)； 综上所述：的值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，然后直接开平方即可； （2）利用配方法解此方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）， ， ， ， ， ． 12．（23-24九年级上·广东河源·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再方程两边同时除以4，最后利用开方解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 13．（23-24九年级上·新疆克拉玛依·期末）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开平方法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1） ∴ 解得，； （2） ，． 14．（23-24九年级上·河南商丘·期末）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）方程整理得，再利用直接开平方法解答即可求解； （）移项，利用配方法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：去括号得，， 移项、合并同类项得，， ∴， ∴， ∴，； （2）解： 移项得，， 配方得，， 即， ∴ ∴，． 15．（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得 第一步 二次项系数化为1，得 第二步 配方，得 第三步 由此可得 第四步 所以， 第五步 ①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①第三步；②详见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程变为，然后配方为，再开平方即可． 【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误； ②， 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 由此可得， 所以，． 16．（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． (1)求的最小值为_____，的最小值为_____； (2)若多项式，试求M的最小值； (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)6； (2) (3)围成的菜地的最大面积是 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知时，有最小值6；由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）根据，求解作答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值6； ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：6，； （2）解：∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； （3）解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， 依题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值是， ∴围成的菜地的最大面积是． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$