第05讲 数轴【七大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第05讲 数轴 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数； 2．通过数轴与有理数是相互对应的，初步培养学生数学结合思想； 知识点 数轴 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 3.应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 考点一：数轴的三要素及其画法 例1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的画法，根据数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A，没有原点，故该选项不正确，不符合题意； B，单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； C，正确，故该选项符合题意； D，单位标记不正确，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（23-24七年级上·天津·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的知识，熟练掌握数轴的基本要素是解题关键．规定了原点、正方向和规定长度的直线叫数轴，数轴的三要素缺一不可，据此分析判断即可． 【详解】解：A.没有原点，故此选项错误，不符合题意； B.单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意； C.没有正方向，故此选项错误，不符合题意； D.符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是数轴的定义，数轴是规定了原点，正方向和单位长度的直线；根据上述定义，逐一判断各选项，即可得到结论． 【详解】解：A．没有规定正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； B．有了原点，正方向和单位长度，是数轴，故本选项符合题意； C．没有负半轴，且不是直线，故不是数轴，故本选项不符合题意； D．单位长度不均匀，不是数轴，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A．数轴上的点应该越向右越大，与位置颠倒，故此选项不符合题意； B．没有原点，故此选项不符合题意； C．没有正方向，故此选项不符合题意； D．数轴画法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 考点二：用数轴上的点表示有理数 例2.（2024六年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数． ，，， （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： 　　． 【答案】（1）见解析；；（2）负有理数 【分析】本题考查了数轴上的点表示数的应用，根据数轴上的点表示的数，比较数的大小，掌握数轴上的点表示数是解题的关键． （1）首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可； （2）根据数轴的特征，在数轴上，原点左边的点表示负有理数． 【详解】解：（1）数轴表示如下： ． ∴． （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：负有理数． 故答案为：负有理数． 【变式2-1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）给出下面六个数： ，1，，，0，． (1)先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． (2)用“”将上面的各数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，求一个数的绝对值和化简多重符号： （1）在数轴上表示出各数即可； （2）根据（1）所画数轴结合数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：数轴表示如下所示：    （2）解：由（1）得． 【变式2-2】（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 2.5，，， 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数以及有理数的大小比较： （1）根据点A表示的数是，点B表示的数是4找出原点即可； （2）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“＜”连接起来即可． 【详解】（1）解：原点O如图， （2）解：， 各点在数轴上表示为： 故． 【变式2-3】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是4． (1)在数轴上标出原点，点表示的数是______． (2)在数轴上表示出下列各数：，，，并将这些数及点，表示的数用“<”号连接起来． 【答案】(1)数轴见解析， (2)数轴见解析， 【分析】 此题考查了有理数的比较大小，用数轴上的点表示有理数，关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点表示的数是4即可得原点位置，进一步得到点A所表示的数； （2）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）如图，O为原点，点A所表示的数是， 故答案为：； （2） 如图所示： 由数轴可知：． 考点三：数轴上两点之间的距离 例3. （23-24七年级下·上海·阶段练习）数轴上，点所对应的实数分别是2和，则两点的距离 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点间距离公式是解题关键．根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可． 【详解】解：∵在数轴上，点所对应的实数分别是2和， ∴两点的距离． 故答案为：5． 【变式3-1】（2024·江苏徐州·二模）如图，数轴上A、B两点之间的距离为 ．      【答案】4 【分析】本题考查了数轴间的距离，根据A、B两点分别表示为，再求出A、B两点之间的距离，即可作答． 【详解】解：依题意，由数轴得出A、B两点分别表示为， 则， ∴数轴上A、B两点之间的距离为， 故答案为：4 【变式3-2】（2024·陕西西安·三模）如图，点A是数轴上的点，若点B在数轴上点A的左边，且，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点的距离，根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：由数轴，点A表示的数为1，又点B在数轴上点A的左边，且， ∴点B表示的数是， 故答案为：． 【变式3-3】（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 【答案】，或 【分析】本题主要考查数轴的知识，解题的关键是利用掌握分类讨论思想，以及两点间的距离表示方法． 利用分类讨论思想，当点在线段上时且时，设点表示的数为，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点在线段上时且时，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点运动到点的左边时，那只有，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数． 【详解】设点表示的数为，当点在线段上时且时，如图所示， ∵M，N两点所表示的数分别是1、， ，， ， ， 解得：； 当点在线段上时且时，如图所示， ， 解得：； 当点运动到点的左边时，那只有，如图所示， ， 解得：； 故点表示的数为，或． 故答案为：，或． 考点四：利用数轴比较有理数的大小 例4. （23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，比较大小：a ．（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题考查了利用数轴进行比较大小，根据越在数轴的右边的数越大，即可作答． 【详解】解：由数轴可知 ∴ 故答案为：＜ 【变式4-1】（23-24七年级上·山东青岛·期末）两数在数轴上的位置如图所示，则 （用“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上比较大小，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据数轴上比较大小即可得到答案． 【详解】解：根据在数轴的位置可知，， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别为a、b，比较大小： ．（用“>”“<”或“=”号连接） 【答案】> 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，把、表示在数轴上，利用数形结合是解决本题比较简单的方法． 根据相反数的意义，把、先表示在数轴上，然后再利用数轴比较它们的大小即可． 【详解】解：根据相反数的意义，把、表示在数轴上，如图， 所以． 故答案为：>． 【变式4-3】（23-24七年级上·福建泉州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，以及数轴上两点之间的距离，根据数轴理解表示有理数a，b之间的距离，表示到原点之间的距离，由图即可判断与的大小． 【详解】解：由题知，可看作有理数a，b之间的距离，可看作到原点之间的距离， 由图知，a，b之间的距离大于到原点之间的距离， ． 故答案为：． 考点五：根据点在数轴的位置判断式子的正负 例5. （2024·江苏徐州·二模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是观察各点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小． 根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案． 【详解】解：由图可得：，且， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】（2023·江西九江·二模）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，由数轴可得，，即可判定． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故选：C． 【变式5-2】（23-24六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可． 【详解】解：∵从数轴可知：，， ∴A．， ∴，正确，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，正确，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴，错误，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式5-3】（22-23七年级上·广西钦州·期末）有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，，， 故A，C，D都是错误的，B是正确的， 故选B． 考点六：利用数轴化简绝对值 例6. （23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 【变式6-1】（22-23七年级上·云南保山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得，进而得到，，，，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出、、与的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴原式， ， ． 【变式6-2】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义； （1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可； （2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解． 【详解】（1）由数轴可知：，，且， ，， 故答案为：，，； （2）由（1），得． 又， 所以， 所以 ． 【变式6-3】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 考点七：数轴上的动点问题 例7. （23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【答案】(1) (2)5，8 (3)5或11 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题． （1）根据题意利用观察即可得到本题答案； （2）根据题意利用两点间距离即可得到； （3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， 点A，B，C在数轴上表示如图： A表示的数为，B表示的数为1，C表示的数为4， 故答案为：； （2）解：∵A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， ∴，， 故答案为：5，8； （3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：； ②当点A在点C的右侧时， 设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：， 综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm． 【变式7-1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。 【详解】（1）解：当时， 点Q表示的数为； （2）解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 【变式7-2】（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)；． (2)当点运动秒时，点与点相遇． 【分析】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据题意得出各线段之间的等量关系是解题关键． （1）由题意知，，因为点在原点左边，从而得出数轴上点表示的数；动点从点出发沿数轴向左匀速运动，根据题意则得出点表示的数； （2）设点运动秒时追上点，根据题意列方程，解得值． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， 又∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 点P运动t秒的长度为， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：． （2）设点运动秒时追上点， 根据题意，得，         解得：，                        答：当点运动秒时，点与点相遇． 【变式7-3】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 【答案】(1) (2)， (3)， (4)是，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （3）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （4）表示出线段的中点对应的数即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解：当时，动点对应的数是：； 动点对应的数是：， 故答案为：， （3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是：； 动点对应的数是： （4）解：线段的中点对应的数是： 令， 解得： ∴当时，点是否为线段的中点 一、单选题 1．（2024·福建厦门·三模）如图，下列四个数中，比数轴上点表示的数小的数是(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，据数轴得出点表示的数，再根据有理数的大小比较方法即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得点表示的数是， ∴比数轴上点表示的数小的数是， 故选：A． 2．（2024·福建福州·三模）如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点表示的数是，点距离点有4个单位， 点表示的数是， 故选：C． 3．（23-24七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）下列所示数轴正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查的是数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键．根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解∶ A、没有正方向，故本选项错误； B、没有单位长度，故本选项错误； C、单位长度不一致，故本选项错误； D、有原点、正方向、单位长度，故本选项正确； 故选∶D． 4．（2024·广东广州·二模）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与有理数大小的比较，正确理解数轴与有理数大小的比较的方法是解题的关键．在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，再根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，即可判断答案． 【详解】在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，则a，，b按照从小到大的顺序排列为． 故选：A． 5．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（    ）重合 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上规律问题，根据题意2和之间有个数，循环节为4，计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】∵根据题意2和之间有个数，循环节为4， ∴， ∴数轴上的数与圆周上的数重合， 故选C． 二、填空题 6．（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 【答案】4 【分析】根据平移规律计算，，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】根据平移规律，得，， 故点B表示的数是4， 故答案为：4． 7．（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 【答案】0 【分析】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可． 本题考查了数轴上的折叠问题，中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合， 得到折痕点表示的数为， 设点A表示的数是，根据折叠的性质， 得到， 解得， 故答案为：0． 8．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）已知有理数，在数轴上对应的点如图所示，那么下列结论正确的有（填序号） ． ①；②；③ 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴可知：，即可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， 故①②正确，③错误， 故答案为：①②． 9．（23-24六年级下·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 10．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    【答案】或/或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离，可分为“当点运动到点右侧时”和“当点运动到点左侧时”两种情况讨论，根据“点到点的距离与点到点的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵在点运动过程中，点到点的距离与点到点的距离比是， ∴， 当点运动到点右侧时，， ∴此时点表示的数是； 当点运动到点左侧时，， ∴此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等．    (1)填空：数轴上点表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． (3)将四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上的数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【详解】（1）解：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，； （2）解：如图，     ； （3）解：由数轴知：． 12．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示，点表示8． (1)点表示的有理数是______，表示原点的是点______． (2)图中哪些点表示的有理数互为相反数？ (3)图中的数轴上另有点到A点，点距离之和为13，求点表示的有理数． 【答案】(1)，C (2)B和D，A和E， (3)或 【分析】本题考查了数轴，两点间的距离公式，解题的关键是采用数形结合的数学思想． （1）根据，可知图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度，则后边的点表示的数总是比前边相邻的点表示的数大2，据此即可判断； （2）根据相反数的几何意义可知，原点两旁到原点距离相等的点互为相反数，即可解答； （3）根据两点间的距离公式，设M表示的数是x，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度， 则B表示：，C表示，是原点． 故答案为：，C； （2）解：由（1）可知C为原点，且相邻两点之间的距离都相等， B和D，A和E，分别互为相反数； 故答案为：B和D，A和E， （3）解：， M不在线段上，设M表示的数是x， 当M在A的左边时：，解得； 当M在G的右侧时：，解得， 则M点表示：或． 故答案为：或． 13．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是　　； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为　　； (3)在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，，，． 【答案】(1)见解析，4 (2)2或6 (3)数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小： （1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解； （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）如图，O为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）点C表示的数为或． 故答案为：2或6； （3），， 在数轴上表示，如图所示： 由数轴可知： 14．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”连接这四个数：，，，； (2)填空： ， 填入“”、“”或“”； (3)化简：． 【答案】(1) (2)， (3)0 【分析】本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值： （1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小即可判断； （2）根据数轴和相反数的性质可得答案； （3）利用绝对值的性质即可解决问题． 解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：根据数轴得：； （2）解：由数轴可得，，， ，； 故答案为：，； （3）解：由图可知：，，，， 原式 ， ． 15．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，； (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动，N为的中点，下列两个结论： ①长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 【答案】(1)6秒 (2)24 (3)①，12 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴的两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度． （1）分两种情况讨论，①点P在点B左边，②点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2）表示出后，化简即可得出结论． （3），分别表示出的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：如图1， 设出发秒后， 当点P在点B左边时，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：∵， ∴； （3）解：选①； 如图2， ∵， ∴①（定值）； 或者②（变化）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 数轴 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数； 2．通过数轴与有理数是相互对应的，初步培养学生数学结合思想； 知识点 数轴 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 3.应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 考点一：数轴的三要素及其画法 例1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级上·天津·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ） A．B．C．D． 【变式1-3】（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二：用数轴上的点表示有理数 例2.（2024六年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数． ，，， （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： 　　． 【变式2-1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）给出下面六个数： ，1，，，0，． (1)先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． (2)用“”将上面的各数连接起来． 【变式2-2】（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 2.5，，， 【变式2-3】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是4． (1)在数轴上标出原点，点表示的数是______． (2)在数轴上表示出下列各数：，，，并将这些数及点，表示的数用“<”号连接起来． 考点三：数轴上两点之间的距离 例3. （23-24七年级下·上海·阶段练习）数轴上，点所对应的实数分别是2和，则两点的距离 ． 【变式3-1】（2024·江苏徐州·二模）如图，数轴上A、B两点之间的距离为 ．      【变式3-2】（2024·陕西西安·三模）如图，点A是数轴上的点，若点B在数轴上点A的左边，且，则点B表示的数是 ． 【变式3-3】（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 考点四：利用数轴比较有理数的大小 例4. （23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，比较大小：a ．（填“＞”“＜”“＝”） 【变式4-1】（23-24七年级上·山东青岛·期末）两数在数轴上的位置如图所示，则 （用“”“”“”填空）． 【变式4-2】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别为a、b，比较大小： ．（用“>”“<”或“=”号连接） 【变式4-3】（23-24七年级上·福建泉州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 （填“”“”或“”）． 考点五：根据点在数轴的位置判断式子的正负 例5. （2024·江苏徐州·二模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·江西九江·二模）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（22-23七年级上·广西钦州·期末）有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（　　）    A． B． C． D． 考点六：利用数轴化简绝对值 例6. （23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【变式6-1】（22-23七年级上·云南保山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 【变式6-2】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 【变式6-3】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 考点七：数轴上的动点问题 例7. （23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【变式7-1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【变式7-2】（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【变式7-3】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 一、单选题 1．（2024·福建厦门·三模）如图，下列四个数中，比数轴上点表示的数小的数是(    ) A． B． C．0 D．1 2．（2024·福建福州·三模）如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（23-24七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）下列所示数轴正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（2024·广东广州·二模）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（    ）重合 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 7．（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 8．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）已知有理数，在数轴上对应的点如图所示，那么下列结论正确的有（填序号） ． ①；②；③ 9．（23-24六年级下·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 10．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    三、解答题 11．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等．    (1)填空：数轴上点表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． (3)将四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 12．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示，点表示8． (1)点表示的有理数是______，表示原点的是点______． (2)图中哪些点表示的有理数互为相反数？ (3)图中的数轴上另有点到A点，点距离之和为13，求点表示的有理数． 13．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是　　； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为　　； (3)在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，，，． 14．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”连接这四个数：，，，； (2)填空： ， 填入“”、“”或“”； (3)化简：． 15．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，； (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动，N为的中点，下列两个结论： ①长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$