第04讲 探索三角形全等的条件（HL）（6大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第04讲 探索三角形全等的条件（HL） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握HL判定定理 2．会用尺规作角平分线和垂线 1.角平分线的画法： 如图，是任意一个角，在，边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是平分线，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？SSS 那除了用刻度尺的画法，我们还可以用圆规和直尺作角平分线吗？ 作法： （1） 以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D； （2） 分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M； （3） 作射线OM。 OM是∠ABC的角平分线。 2.如图，PC=PD，QC=QD，PQ与CD相交与点E， 证：PQ⊥CD 由此，你能发现用直尺和圆规过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法吗？ 作法： （1）以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于点C、D； （2）分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点Q； （3）作直线PQ。 直线PQ是经过直线AB外一点P的AB的垂线。 3.按下列做法，用直尺和圆规作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。 作法： （1）作∠PCQ=90°； （2）在射线CP上截取CB=a； （3）以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ与点A； （4）连接AB。 Rt▲ABC就是所求作的三角形。 看一下自己作的三角形和其他同学完全重合吗？ 4.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′ 求证： △ABC≌△A′B′C′ 证：把两个直角三角形拼在一起，可证∠B=∠B′； 然后运用AAS证全等即可。 通过自己实践后发现： （简写成“ ”或“ ” ） 几何语言： 在Rt▲ABC与Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90° ∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL） 考点一：尺规作角平分线 例1．作的平分线的过程如下： ①在上分别截取，使； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C； ③作射线，则就是的平分线． 用三角形全等的判定解释作图原理，下列最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（    ） A．20° B．50° C．60° D．40° 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D，若AC＝8，BC＝6，则CD的长为 ． 【变式1-3】按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算． 已知：在中，，． (1)作边上的高，作的平分线，与相交于点． (2)求所作图形中的度数． 考点二：尺规作垂线 例2．线段垂直平分线的尺规作图，其依据是构造两个全等三角形．如图，由作图可知，判定所构造的两个三角形全等的依据是（　　）    A． B． C． D． 【变式2-1】图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法： （1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧； （2）弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧； （3）弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧； （4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧； 其中正确说法的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-2】数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有 【变式2-3】如图，已知，直线及上两点，．尺规作图：作，使点在直线的上方，，．（保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明） 考点三：用HL证全等 例3. 如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，点是内一点，且点到、的距离相等．则的理由是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在四边形中，，若根据“”判定，则需要添加的条件是 ． 【变式3-3】如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？ 考点四：全等的性质和HL判定 例4．如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ． 【变式4-3】已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 考点五：判定方法综合运用 例5．根据下列条件能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-1】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（    ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【变式5-2】下列说法中正确的是： ①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等； ②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等． 其中正确的是 ．（只填序号） 【变式5-3】【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，， 下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 4．下列说法中，正确的是（    ） A．腰相等的两个等腰直角三角形全等 B．底边相等的两个等腰三角形全等 C．顶角相等的两个等腰三角形全等 D．含有的两个直角三角形全等 5．如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 6．如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 9．“两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”是 命题（填“真”或“假”）． 10．如图，在和中，，．要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是 ． 11．添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在上截取，连接根据小莉的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．    12．如图，用直尺和圆规作一个已知角的等角，在尺规作图时，用到的三角形全等的判定方法是 ．（从，，，中选择） 13．如图，，是外两点，连接，，有，，．连接，交于点，则的度数为 ． 14．如图，在凸五边形中，，，，，则凸五边形的面积等于 ． 15．如图，B，E，C，D四点在同一直线上，相交于点，求证：． 16．在下列图形中，按要求画出，使得， (1)如图①，所有小正方形边长都为1，点均在格点上； (2)如图②，已知“三角形内角和为”，用无刻度直尺与圆规作（不写作法，保留作图痕迹）． 17．如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 探索三角形全等的条件（HL） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握HL判定定理 2．会用尺规作角平分线和垂线 1.角平分线的画法： 如图，是任意一个角，在，边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是平分线，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？SSS 那除了用刻度尺的画法，我们还可以用圆规和直尺作角平分线吗？ 作法： （1） 以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D； （2） 分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M； （3） 作射线OM。 OM是∠ABC的角平分线。 2.如图，PC=PD，QC=QD，PQ与CD相交与点E， 证：PQ⊥CD 由此，你能发现用直尺和圆规过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法吗？ 作法： （1）以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于点C、D； （2）分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点Q； （3）作直线PQ。 直线PQ是经过直线AB外一点P的AB的垂线。 3.按下列做法，用直尺和圆规作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。 作法： （1）作∠PCQ=90°； （2）在射线CP上截取CB=a； （3）以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ与点A； （4）连接AB。 Rt▲ABC就是所求作的三角形。 看一下自己作的三角形和其他同学完全重合吗？ 4.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′ 求证： △ABC≌△A′B′C′ 证：把两个直角三角形拼在一起，可证∠B=∠B′； 然后运用AAS证全等即可。 通过自己实践后发现： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （简写成“ 斜边、直角边 ”或“ HL ” ） 几何语言： 在Rt▲ABC与Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90° ∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL） 考点一：尺规作角平分线 例1．作的平分线的过程如下： ①在上分别截取，使； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C； ③作射线，则就是的平分线． 用三角形全等的判定解释作图原理，下列最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据角平分线的作图可得三边相等，即可作答． 【详解】连接， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：A． 【变式1-1】已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（    ） A．20° B．50° C．60° D．40° 【答案】D 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：连接CN、DN． 由作图可知，CM=DM，CN=DN, 在△MCN和△MDN中， ， ∴△MCN≌△MDN（SSS）， ∴∠CMN=∠DMN， ∵∠AOB=∠CMN=∠DMN， ∴∠CMD=2∠AOB=40°， 故选：D 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D，若AC＝8，BC＝6，则CD的长为 ． 【答案】 【分析】作DH⊥AB于H,利用基本作图得到AP平分∠BAC,根据角平分线的性质得到DH=DC,然后利用面积法得到×8×DC+×10×DH＝×6×8,从而可求出DC的长． 【详解】解:作DH⊥AB于H,如图, 由作法得AP平分∠BAC, ∴DH=DC, 在Rt△ABC中,AB＝=10, ∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC, ∴×8×DC+×10×DH＝×6×8, ∴CD＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了作图-基本作图,解决本题的关键是要熟练掌握作一条线段等于已知线段，一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线的方法. 【变式1-3】按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算． 已知：在中，，． (1)作边上的高，作的平分线，与相交于点． (2)求所作图形中的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用基本作图，过点作于，再利用基本作图作的平分线， 与相交于点； （2）首先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据角平分线的性质得出，根据同角的余角相等得，最后根据三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】（1）如图，线段是边上的高，线段是的角平分线． （2），， ，， 是的角平分线， ， 线段是边上的高， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了作图——基本作图，也考查了三角形内角和定理，角平分线性质，熟练掌握基本几何图形的性质是解本题的关键． 考点二：尺规作垂线 例2．线段垂直平分线的尺规作图，其依据是构造两个全等三角形．如图，由作图可知，判定所构造的两个三角形全等的依据是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法；正确理解作线段的垂直平分线的步骤是解题的关键，三角形奠基法是尺规作图的基础．注意要从作法中找已知．由作法可知，作图是保证了三条边相等，也就是说构造的两个三角形三边对应相等，则判断所构造的两个三角形全等的依据是． 【详解】解：由线段垂直平分线的性质可知，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，再利用公共边可证全等，符合． 故选：A 【变式2-1】图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法： （1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧； （2）弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧； （3）弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧； （4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧； 其中正确说法的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据基本作图的方法即可得到结论． 【详解】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确； （2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误； （3）弧③是以A为圆心，大于AB的长为半径所画的弧，错误； （4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确． 故选C． 【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法． 【变式2-2】数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有 【答案】到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 【分析】把过一点作已知直线的垂线转化为作已知线段的垂直平分线． 【详解】他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 故答案为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线． 【变式2-3】如图，已知，直线及上两点，．尺规作图：作，使点在直线的上方，，．（保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明） 【答案】见解析． 【分析】分别根据过直线上一点作已知直线的垂线、作一个角等于已知角的作图步骤，尺规作图即可. 【详解】如图所示，作出， 作出， 即为所求. 【点睛】本题考查过直线上一点作已知直线的垂线、作一个角等于已知角这两个尺规作图的结合，熟练掌握这几种尺规作图的具体作法是解题的关键. 考点三：用HL证全等 例3. 如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是直角三角形的全等的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）． 直接根据直角三角形的全等的判定方法可得答案． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：B． 【变式3-1】如图，点是内一点，且点到、的距离相等．则的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据，，即可利用证明，据此可得答案． 【详解】解：∵点到、的距离相等， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【变式3-2】如图，在四边形中，，若根据“”判定，则需要添加的条件是 ． 【答案】或 【分析】 本题考查用“”证明三角形全等． 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 根据已知条件分析还缺少一对对应直角边相等，据此便可知晓需要添加的条件． 【详解】， 和是直角三角形， 在和中 或 故答案为：或 【变式3-3】如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？ 【答案】当的长为5或10时，和全等 【分析】本题考查全等三角形的判定，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时： ∵，， ∴； 当时： ∵，， ∴； 综上：当的长为5或10时，和全等． 考点四：全等的性质和HL判定 例4．如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式4-1】如图，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：还需要添加的条件是， 理由是：，， ， 在和中， ， ， 故选：D． 【变式4-2】如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由为角平分线，利用角平分线定理得到，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，由，即可求解． 【详解】解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， 故答案：. 【变式4-3】已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及、以及等判定方法， （1）利用“”证明即可作答； （2）结合（1）的结论，再利用“”证明即可作答； （3）分类讨论，第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，先证明，即有，，同理可证明：，再证明，可得，问题即可作答；第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，按照第一种情况作答即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论： 第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴； 第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， 同理可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：与的面积比为 或者． 考点五：判定方法综合运用 例5．根据下列条件能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】解：A、，，，可画出多个三角形，故本选项不符合题意；； B、，，，，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、，，，边角边，可以画出唯一三角形，故本选项符合题意； D、，，，并不是的夹角，所以可画出多个三角形； 故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-1】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（    ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴依据是， 故选B． 【变式5-2】下列说法中正确的是： ①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等； ②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等． 其中正确的是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，熟记直角三角形全等的判定，全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质求解即可； 【详解】解：①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等，故符合题意， ②如果两个直角三角形有一条直角边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等，故不符合题意； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等，故符合题意； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形不一定全等，故不符合题意． 故答案为：①③． 【变式5-3】【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， ，， ， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用证明三角形全等的理解，观察图形可得三角形的两角及其夹边，选择答案即可，理解利用证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：∵由图可得三角形的两角及其夹边， ∴依据可画出全等的三角形， 故选：D． 2．如图，， 下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，不可以利用证明，故B符合题意； 添加条件，结合，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：B． 3．在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断． 【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：D． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．腰相等的两个等腰直角三角形全等 B．底边相等的两个等腰三角形全等 C．顶角相等的两个等腰三角形全等 D．含有的两个直角三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定．根据三角形全等的判定逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、腰相等的两个等腰直角三角形全等，故本选项符合题意； B、底边相等的两个等腰三角形不一定全等，故本选项不符合题意； C、顶角相等的两个等腰三角形全等一定全等，故本选项不符合题意； D、含有的两个直角三角形全等不一定全等，故本选项不符合题意； 故选：A． 5．如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．设点Q的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则，， 解得：，， 故选A． 6．如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据三角形外角性质、邻补角定义及角的和差求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，则，据此求解即可，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解: ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】证明可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解． 【详解】解：①， ，即， 在和中， ， ， ，故①选项符合题意； ，故④选项符合题意； ②， ， ， ， 平分， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， 故②选项符合题意； 根据已知条件无法证明，故③选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理．证明是解题的关键． 8．如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】先证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出．则可得出④正确，由可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵与所交的对顶角相等， ∴与所交角等于，即等于， ∴，故②正确； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确， ∵， ∴． 故③正确． ∵，，， ∴，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．“两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，命题真假的判断，由两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可得答案． 【详解】解：∵两个直角三角形的两条直角边相等，而且所夹的角为直角， ∴这两个直角三角形全等， ∴两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等是真命题； 故答案为：真 10．如图，在和中，，．要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握证明两个三角形全等， 根据全等三角形的判定方法可以由证明． 【详解】解：添加一个条件是：， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 11．添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在上截取，连接根据小莉的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：4． 12．如图，用直尺和圆规作一个已知角的等角，在尺规作图时，用到的三角形全等的判定方法是 ．（从，，，中选择） 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质和基本作图，熟练掌握三角形全等的判定和性质，以及基本作图是解题的关键．从作图可知，，，根据证，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【详解】解：连接，， 从作图可知，，， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，，是外两点，连接，，有，，．连接，交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】设交于点，根据已知条件证明，进而得出，根据三角形内角和定理得出，根据邻补角互补，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵ ∴ 在中 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为：． 14．如图，在凸五边形中，，，，，则凸五边形的面积等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．作于点G，作于点F，作于点H，则，然后根据直角三角形的面积和梯形的面积，可以计算出凸五边形的面积． 【详解】解：作于点G，作于点F，作于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， 设，则， ∴ ， ∵， ∴， 即凸五边形的面积等于． 故答案为： 15．如图，B，E，C，D四点在同一直线上，相交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定， 先由平行线的性质和平角的定义证明，再证明，即可证明． 【详解】证明：， ．                 ， ， ．                在和中， ，                     ． 16．在下列图形中，按要求画出，使得， (1)如图①，所有小正方形边长都为1，点均在格点上； (2)如图②，已知“三角形内角和为”，用无刻度直尺与圆规作（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查作垂线，尺规作角等于已知角，掌握格点作垂线的方法，尺规作角的方法是解题的关键． （1）根据格点的特点，作垂线的方法即可求解； （2）作，即作角等于已知角即可求解． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：作图如下， ∴即为所求线段． 17．如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时， (3)当或时，与全等 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 18．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析，见解析； (2)． 【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； 由得到，，即可求出答案； （）与（）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案， 本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 证明：由（）知：， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$