第03讲 正方形的性质与判定（3大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第03讲 正方形的性质与判定（3大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 正方形性质理解 题型二 根据正方形的性质求角度 题型三 根据正方形的性质求线段长 题型四 根据正方形的性质求面积 题型五 正方形折叠问题 题型六 根据正方形的性质证明 题型七 正方形的判定定理理解 题型八 添一个条件使四边形是正方形 题型九 证明四边形是正方形 题型十 根据正方形的性质与判定求角度 题型十一 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十二 根据正方形的性质与判定求面积 题型十三 根据正方形的性质与判定证明 题型十四 中点四边形 题型十五 （特殊）平行四边形的动点问题 知识点01： 正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点02： 正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点03：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点04： 特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点05： 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题一 正方形性质理解】 【例1】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）在学习了“中心对称图形—平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【例2】（23-24八年级下·全国·课前预习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角相等 B．对角线互相垂直 C．对角互补 D．对角线相等 【例3】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，不是中心对称图形的是 ． 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长等于2，将绕点A旋转到后，连接，，则的度数是 ． 【例5】（22-23九年级下·山东青岛·开学考试）已知：线段a．求作：正方形ABCD，使其对角线AC＝a． 【例6】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）    【典型例题二 根据正方形的性质求角度】 【例1】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，正方形的对角线为边作菱形，则 ． 【例4】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，正方形的对角线相交于点，的度数是 ． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，正方形中，，直线交于点F，求的度数． 【例6】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，且，求的度数． 【典型例题三 根据正方形的性质求线段长】 【例1】（2024·湖北·一模）在平面直角坐标系中，正方形的顶点O的坐标是，顶点B的坐标是，则顶点A的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【例2】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【例3】（2024·吉林长春·二模）如图，正方形的边长为，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为 ． 【例4】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，是正方形对角线的交点，是线段上一点．若，，则的长为 ． 【例5】（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，于点F，若，，求的长． 【例6】（23-24九年级上·福建三明·阶段练习）如图，在正方形中，在对角线所在的直线上分别截取，连接、、、．求证：四边形是菱形．    【典型例题四 根据正方形的性质求面积】 【例1】（2024·重庆大渡口·一模）一个正方形的边长为，它的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·吉林长春·开学考试）如图，这个正方形的面积是（    ）．    A．4平方厘米 B．6平方厘米 C．8平方厘米 【例3】（23-24八年级下·云南昭通·期中）将n个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，分别是正方形对角线的交点，则2020个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为 ． 【例4】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【例5】（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，点E在正方形内，且满足，，，求图中阴影部分的面积．    【例6】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，和以为边的正方形，已知，，，求正方形的面积．    【典型例题五 正方形折叠问题】 【例1】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，折痕为、，点在上，点在上，则的大小为（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【例2】（22-23七年级上·河南许昌·期末）在正方形ABCD中，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大9°，则∠EBF的度数为（　　） A．25° B．27° C．29° D．31° 【例3】（22-23八年级下·重庆南岸·期末）如图，正方形边长为6，点为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点，则长为 ． 【例4】（2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ． 【例5】（22-23八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度． 【例6】（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN． （1）求线段CN的长； （2）求以线段MN为边长的正方形的面积． 【典型例题六 根据正方形的性质证明】 【例1】（2023·江苏南京·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的动点，且EF=4，G是EF的中点，下列结论正确的是（　　） A． B．AG长度的最小值是 C． D．面积的最大值是2 【例2】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，正方形ABCD的边长为3cm，∠ABE=，且AB=AE，则DE的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，E是正方形对角线上一点，且，则的度数是 ． 【例4】（2024·云南楚雄·三模）如图，点是正方形内部一点，连接，将绕点旋转一定角度得到，当三点共线时，的度数为 ． 【例5】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，对角线所在的直线上有两点、，连接、、、，且，求证：四边形是菱形． 【例6】（2024·福建漳州·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：． 【典型例题七 正方形的判定定理理解】 【例1】（23-24八年级下·北京·期中）下列命题中，能判断四边形是正方形的是（     ） A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形 【例2】（2024·广东·一模）对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 【例3】（22-23八年级下·全国·课后作业）正方形是有一组邻边 ，并且有一个角是 的平行四边形，因此它既是 又是 ． 【例4】（23-24九年级上·山西太原·期中）我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是    【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）判断命题“对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是否成立．如果认为不成立，请增加一个条件使它成立． 【例6】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上． (1)在图1中画出以AB为边的平行四边形，且顶点均在格点上（画出一个即可）． (2)在图2中画出以AB为对角线的正方形，且顶点均在格点上． 【典型例题八 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（22-23九年级上·全国·课后作业）已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·山西吕梁·阶段练习）已知四边形为矩形，下列条件中，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是 ．    【例4】（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【例5】（22-23九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O． (1)若，求证：矩形是正方形； (2)请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由． 【例6】（22-23九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知的对角线AC，BD相交于点O，． (1)如果______，那么四边形ABCD为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）； (2)根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明． 【典型例题九 证明四边形是正方形】 【例1】（2024八年级下·上海·专题练习）已知在四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．，， B．， C．， D．，， 【例2】（22-23八年级下·湖南长沙·期末）下列说法不正确的是（    ）． A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．一组邻边相等的菱形是正方形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 【例3】（22-23八年级下·江苏盐城·期中）有一组邻边相等的 是正方形． 【例4】（2024·山东菏泽·一模）将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 时，这个菱形就是正方形． 【例5】（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E、F．求证：四边形是正方形． 【例6】（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由． (2)在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？ 【典型例题十 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是(   )    A． B． C． D． 【例2】（2023·福建厦门·一模）已知菱形ABCD与线段AE，且AE与AB重合．现将线段AE绕点A逆时针旋转180°，在旋转过程中，若不考虑点E与点B重合的情形，点E还有三次落在菱形ABCD的边上，设∠B=α，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【例3】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图在3×3的正方形网格中∠1+∠2﹣∠3+∠4+∠5＝ 度． 【例4】（2023·江苏镇江·中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 【例5】（2023·山东潍坊·二模）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【例6】 （22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知、两点在正方形的对角线上移动，为定角，连接、，并延长分别交、于、两点，则与在、两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论． 【典型例题十一 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（22-23八年级下·全国·期末）若正方形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·福建龙岩·期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为(    ) A．4 B．3 C．3或4 D．3或6 【例3】（22-23九年级下·浙江·阶段练习）命题“正方形的对角线互相垂直”的逆命题是 命题（填“真”或“假”） 【例4】（2023·湖南怀化·中考真题）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    【例5】（2024·贵州·模拟预测）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求矩形的周长． 【例6】（22-23八年级上·四川眉山·期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，设p＝BC＋CD，四边形ABCD的面积为S． （1）试探究S与p之间的关系，并说明理由． （2）若四边形ABCD的面积为12，求BC＋CD的值． 【典型例题十二 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形的对角线交点，则阴影部分面积是（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【例2】（22-23八年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积为( ) A．25． B． ． C．5． D．10． 【例3】（22-23九年级上·四川达州·期中）一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是，那么矩形的面积为 ． 【例4】（2024·陕西汉中·二模）如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为 ． 【例5】（22-23八年级下·云南迪庆·期末）如图，点E在正方形ABCD内，AE=3，BE=4，AEBE，请求出阴影部分的面积S. 【例6】（2023·湖北黄石·三模）如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若DE＝1，求△AFE的面积． 【典型例题十三 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】（22-23九年级上·广东佛山·期中）顺次连接正方形四边中点得到的四边形是（    ） A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【例2】（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，并连接BG．下列判断正确的是（　   ） A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4 【例3】（2024·河南郑州·模拟预测）在矩形中，，点E为射线上一点，将沿着翻折，使得点B的对应点F落在射线上，若线段，连接，则的值为 ． 【例4】（2023·江苏南京·二模）如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是 ．    【例5】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）已知，如图，在正方形中，点分别在上，且．求证：四边形是正方形． 【例6】（22-23九年级上·广东肇庆·期末）探究题： (1)探究：如图①，在正方形中，点在边上（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是点，旋转的角度是______． (2)应用：将图①中的延长交边于点，其它条件不变，如图②．求的度数． 【典型例题十四 中点四边形】 【例1】（23-24八年级下·广西贵港·期中）顺次连接一个矩形各边中点，所得到的四边形一定是（   ） A．普通四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【例2】（2024八年级下·全国·专题练习）在四边形中，，分别是边，的中点，、分别是对角线，的中点，依次连接，，、得到的四边形一定是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【例3】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． ∴， ∵， 【例4】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 【例5】（22-23八年级下·福建福州·期中）求证：顺次连接菱形四边中点所得的四边形是矩形． 【例6】（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边之中点． (1)求证：四边形EFGH为平行四边形； (2)当AC、BD满足______时，四边形EFGH为矩形． 【典型例题十五 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（22-23八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（    ）    A． B．8 C．4或 D．或8 【例3】（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，是长方形内部的动点， ，的面积等于9，则点到两点距离之和的最小值为 . 【例4】（22-23九年级上·江西抚州·期末）如图，在菱形c中，分别是边，对角线与边上的动点，连接，若，则的最小值是 ．    【例5】（22-23八年级下·广东茂名·期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿运动，点从点出发的同时，点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点、运动的时间为秒，从运动开始，当取何值时，？ 【例6】（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图,在平行四边形中,对角线AC⊥BC,AC=BC=2,动点P从点A出发沿AC向终点C移动,过点P分别作PM∥AB交BC于M,PN∥AD交DC于N．连结AM． （1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗?请说明理由 （2）当AP=1时, 试求出四边形PMCN的面积． 【变式训练1 正方形性质理解】 1．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 2．（23-24八年级下·广西玉林·期中）在矩形、菱形、正方形、等边三角形的轴对称图形中，对称轴条数最多的图形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等边三角形 3．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）正方形的顶点B，C都在平面直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是，则点C的坐标为 ． 4．（22-23八年级下·山东日照·期末）如图，在由菱形和正方形组成的装饰图案中，已知菱形的面积是，正方形的面积是，则边的长是 ． 5．（2024·陕西·一模）如图，点是正方形的中心．用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）． 6．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．      (1)在图中，在上找一点F，使； (2)在图中，在上找一点G，使． 【变式训练2 根据正方形的性质求角度】 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形、四边形分别是菱形与正方形．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）以正方形的为边，作等边，则 ． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形，对角线交于点O，以为边向外作等边，连接交于点F，则 °． 5．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是正方形内位于对角线下方的一点，，求的度数．    6．（22-23九年级上·山西太原·期中）如图，把两个正方形和拼成如图所示的图案，点B，C，E在同一直线上，连接，，求的度数．    【变式训练3 根据正方形的性质求线段长】 1．（22-23八年级下·河南·阶段练习）如图，E是边长为1的正方形的对角线上一点，且，P为上任一点，于点Q，于点R，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江台州·二模）如图，正方形被分割成面积相等的四个矩形，已知，则正方形面 积 为 （   ） A．36 B．48 C．64 D．81 3．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）已知正方形的对角线为，则正方形的边长为 ． 4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，边长为3的正方形的两边与坐标轴重合，则点C的坐标为 ．    5．（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，已知正方形的面积是16，求的长．    6．（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，过点Р分别作于点E，于点F，若正方形的面积为9，求四边形PEBF的周长． 【变式训练4 根据正方形的性质求面积】 1．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）对角线长为2的正方形的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，取边长为4的正方形各边中点，顺次连接构成小正方形，依次画下去，小正方形的面积从大到小排列，分别记为，，，…，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 4．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在正方形中，点在边上，以为边作矩形，使经过点，若，则矩形的面积等于 ． 5．（22-23八年级下·山东烟台·期末）如图，已知四边形是正方形，对角线相交于O，设E、F分别是上的点，若，，求四边形的面积． 6．（23-24九年级下·江西九江·期中）如图，正方形的边长2，点E，F分别是、的中点，仅用无刻度的直尺分别按要求作图． (1)在图1的正方形中，以为边作一个三角形，使其面积为1； (2)在图2的正方形中，以为边作四边形，使其面积为1． 【变式训练5 正方形折叠问题】 1．（2024·陕西渭南·二模）如图，将正方形纸片沿线段折叠之后，使点落在正方形内部的点处，若比大，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）李老师用一张正方形的纸片做示范，介绍两种折出角的折纸方法： （1）将纸片沿对角线对折，使点落在点上，则； （2）将纸片沿折叠，分别使点落在对角线上的同一点，则． 示范一遍之后，李老师让同学们判断这两种方法是否正确，你的回答是（    ）                      方法（1）       方法（2） A．两种方法都对 B．（1）对（2）错 C．（1）错（2）对 D．两种方法都错 3．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为．若，则的度数为 ． 4．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，四边形是正方形，E、F分别在边上，将分别沿折叠后，重合于的位置，且点G恰好在连线上．若正方形边长为12，线段长为10，则的长为 ． 5．（22-23七年级上·江西上饶·期末）如图是正方形纸片ABCD，分别沿AE、AF，折叠后边AB与AD恰好重叠于AG，求∠EAF的大小． 6．（22-23九年级下·广东·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，延长EF交AB于点G，连接DG、BF． (1)求证：DG平分∠ADF； (2)若AB＝12，求△EDG的面积． 【变式训练6 根据正方形的性质证明】 1．（22-23八年级下·全国·单元测试）有下列四个命题：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是菱形；③两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． 其中正确的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，则的面积为（    ） A．6 B．5 C．3 D． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，E是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为 度． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF、BE、EF，若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为 ． 5．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知正方形，点E是上的一点，连接，以为一边，在的上方作正方形，连接． 求证： (1)； (2)． 6．（22-23八年级下·河南商丘·期中）如图，正方形的对角线与交于点O．过点C作，过点D作，求证：． 【变式训练7 正方形的判定定理理解】 1．（22-23八年级下·江苏南通·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C．两组邻角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 2．（22-23八年级下·广西河池·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．四个角都是直角的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．菱形的对角线互相垂直 3．（2023八年级下·全国·专题练习）对角线互相垂直且相等的平行四边形是 ． 4．（22-23八年级下·广东河源·期末）如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是 （只需添加一个）． 5．（22-23九年级上·山东青岛·期中）已知：线段a．求作：正方形，使对角线．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 6．（22-23八年级下·吉林·期末）如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上． (1)在图①中画出以线段AB为对角线的格点正方形； (2)在图②中画出以线段AB为边的矩形，且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上． 【变式训练8 添一个条件使四边形是正方形】 1．（22-23九年级上·山西晋中·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 2．（22-23九年级上·福建漳州·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·陕西榆林·三模）在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件： 使得矩形是正方形．（只写一个） 4．（2024·广东佛山·一模）如图，在四边形中，，，对角线于点，若添加一个条件后，可使得四边形是正方形，则添加的条件可以是 （不再增加其他线条和字母） ． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D． (1)试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论． (2)当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明． 6．（22-23九年级·河南焦作·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点F，且CE=BF. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是正方形. 【变式训练9 证明四边形是正方形】 1．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）下列命题正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 2．（22-23九年级上·广东深圳·期中）四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（    ） A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC 3．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是 ． 4．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）四边形 的对角线 和 相交于点 ，则下列几组条件中能判定它是正方形的是 ．（只需要填上序号） ① ，； ② ，，，； ③四边形 是矩形，并且 ； ④四边形 是菱形，并且 ． 5．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形．    6．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，对角线交于点E，，．    (1)当平分时，求证：为矩形． (2)在以下命题中：①当时，为正方形．②当时，为正方形．③当时，四边形为菱形．④当时，四边形为菱形．正确的有：________，请选择一个正确的命题进行证明． 【变式训练10 根据正方形的性质与判定求角度】 1．（22-23八年级下·山东东营·期末）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 2．（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（    ） A．135° B．90° C．75° D．60° 3．（22-23八年级上·上海·期末）如图，在正方形ABCD中，以BC为边在正方形外部作等边三角形BCE，连结DE,则∠CDE的度数为 °. 4．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，小志同学将边长为3的正方形塑料模板与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点处，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点，则四边形的面积是 ． 5．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【变式训练11 根据正方形的性质与判定求线段长】 1．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　） A．2 B． C．4 D．2 2．（22-23九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 3．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形的边长为8，点E为正方形边上一点，，则线段的长为 ． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为1，E为对角线上一点，，作交于F，则 ． 5．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，正方形ABCD，CEFG的边长分别为a，b，点G在边CD上，这两个正方形的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，求DG的长． 6．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°． （1）求作正方形ABCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）已知（1）中所作正方形ABCD的边长为a，点E在AB上，且AE：BE＝3：2，若点Q是AC上的动点，求QB+QE的最小值． 【变式训练12 根据正方形的性质与判定求面积】 1．（22-23八年级上·湖北恩施·期末）图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位.    A．48 B．12 C．24 D．36 2．（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，在边长为1的正方形中，当第1次作，第2次作；第3次作，……依次方法继续作垂直线段，当作到第10次时，所得的最小的三角形的面积是（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·山东·单元测试）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是 ． 4．（22-23八年级下·河北沧州·期末）菱形的边长为，，则以为边的正方形的面积为 ． 5．（17-18七年级下·安徽合肥·期中）（1）如图，正方形和的边长分别为，用含的代数式表示的面积， ； （2）如图，边长为的正方形、边长为的正方形和边长为的正方形的位置如图所示，点在线段上，则 ．（请直接写出结果，不需要过程）． 6．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，把边长为的等边三角形绕边的中点O旋转，得到． (1)四边形是什么样的四边形？说明理由． (2)求四边形的两条对角线的长度． (3)求四边形的面积． 【变式训练13 根据正方形的性质与判定证明】 1．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，正方形中，、是对角线上的两点，，，则四边形的面积为（    ）． A．12 B．6 C． D． 2．（22-23八年级下·天津·期中）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．则图中与△AOB全等的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ． 4．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，在正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交于G，连接，．（1） ；（2） ；（3）正方形的边长为 ． 5．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形的对角线与交于点，分别过点、点作CE//BD，DE//AC，求证：四边形是正方形． 6．（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，与相交点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式训练14 中点四边形】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 B．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是菱形 C．顺次连接矩形各边中点的四边形是矩形 D．顺次连接菱形各边中点的四边形是正方形 3．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）四边形的对角线、满足条件: 时，顺次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形． 4．（2023·广东汕头·一模）如图：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面积为8，那么四边形AnBnCnDn的面积为 ． 5．（22-23八年级下·河南开封·期中）已知：如图四边形四条边上的中点E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形，四边形的形状是什么？并证明结论． 6．（22-23八年级·北京西城·期中）如图，在四边形中，E，F，G和H分别是各边中点．求证：四边形为平行四边形．    【变式训练15 （特殊）平行四边形的动点问题】 1．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2019次相遇地点的坐标是（　　）    A．（1，﹣1） B．（2，0） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1） 2．（22-23八年级上·山东烟台·期末）如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 3．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？    4．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    5．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，点点即停止，点同时出发，设运动时间为．    (1)当为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，射线AM∥BN，点E，F，D在射线AM上，点C在射线BN上，且∠BCD＝∠A，BE平分∠ABF，BD平分∠FBC． (1)求证：AB∥CD． (2)如果平行移动CD，那么∠AFB与∠ADB的比值是否发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这两个角的比值． (3)如果∠A＝100°，那么在平行移动CD的过程中，是否存在某一时刻，使∠AEB＝∠BDC？若存在，求出此时∠AEB的度数；若不存在，请说明理由． 1．（23-24八年级下·河南周口·期中）下列关于正方形的说法错误的是（    ） A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角 B．正方形有四条对称轴 C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等 2．（22-23九年级上·福建厦门·期末）如图，正方形的对角线交于点O，点M在内，将点M绕点O逆时针旋转，则M的对应点在（    ） A．内 B．内 C．内 D．内 3．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）四个正方形如图摆放，除外，其余各点均为所在线段的中点．其中最小的正方形边长为，请问四个正方形中有几个正方形的边长为无理数？（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为（ ）    A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·重庆·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且，则的长为（    ） A．5 B．9 C． D． 6．（22-23九年级上·甘肃酒泉·期中）正方形的对角线长为8，则面积为 ． 7．（23-24九年级上·上海青浦·期中）在矩形中，与相交于点O，要使四边形是正方形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填写一种情况） 8．（22-23八年级下·河北张家口·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 ． 9．（23-24八年级下·北京·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 10．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，动点P以每秒的速度从点A向点D运动．另一动点Q以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为 秒．    11．（22-23八年级下·福建龙岩·期中）有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形．（ 在两个图中画出拼接的虚线）    12．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，点E在正方形ABCD的内部，且∠AEB=90°，AE=6，BE=8，求阴影部分的面积． 13．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图所示，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，，． (1)这个图形变换中，旋转中心是__________，旋转角度是__________，_________． (2)求证：直线 14．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O． (1)求证：AF与DE互相平分； (2)当△ABC满足___________时，四边形ADFE是正方形． 15．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝18cm，BC＝26cm，动点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？ (2)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 正方形的性质与判定（3大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 正方形性质理解 题型二 根据正方形的性质求角度 题型三 根据正方形的性质求线段长 题型四 根据正方形的性质求面积 题型五 正方形折叠问题 题型六 根据正方形的性质证明 题型七 正方形的判定定理理解 题型八 添一个条件使四边形是正方形 题型九 证明四边形是正方形 题型十 根据正方形的性质与判定求角度 题型十一 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十二 根据正方形的性质与判定求面积 题型十三 根据正方形的性质与判定证明 题型十四 中点四边形 题型十五 （特殊）平行四边形的动点问题 知识点01： 正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点02： 正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点03：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点04： 特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点05： 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题一 正方形性质理解】 【例1】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）在学习了“中心对称图形—平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查四边形与特殊平行四边形之间的关系，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质解答是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，④是平行四边形，①是矩形，③是菱形，②是正方形． 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·全国·课前预习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角相等 B．对角线互相垂直 C．对角互补 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的不同，即可解答． 【详解】解：根据正方形和矩形的性质对比分析： ①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等； ②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角； ③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征； 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，不是中心对称图形的是 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了中心对称图形有识别，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义判断得出即可． 【详解】解：正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中、线段和平行四边形和正方形和长方形都是中心对称图形，只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形； 故答案为：等边三角形． 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长等于2，将绕点A旋转到后，连接，，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 分两种情况进行讨论，当在正方形内时和当在正方形外时，逐一进行求解即可． 【详解】解：当在正方形内时，如图所示： ， ，， ， ； 当在正方形外时，如图所示： 设，， ，， ， ， ； 综上所述，或． 故答案为：或． 【例5】（22-23九年级下·山东青岛·开学考试）已知：线段a．求作：正方形ABCD，使其对角线AC＝a． 【答案】见解析 【分析】作AC＝a，再作AC的垂直平分线l交AC于O，然后在直线l上截取OB＝OA，OD＝OA，则四边形ABCD为正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【例6】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）    【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分．根据正方形的性质，即可解答． 【详解】解：如图①，连接该正方形的两条对角线，则正方形被分为4个全等的等腰直角三角形； 如图②，连接该正方形对边中点，则正方形被分为4个全等小正方形； 如图③，连接该正方形一组对边的4等分点，则正方形被分为4个全等矩形．    【典型例题二 根据正方形的性质求角度】 【例1】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方的性质，同角的余角，进行求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【例2】（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用正方形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 【例3】（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，正方形的对角线为边作菱形，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形的性质，根据正方形的性质得出，，根据菱形的性质得出，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，正方形的对角线相交于点，的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了正方形的性质，熟悉掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形对角线相互垂直的特点求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 故答案为：． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，正方形中，，直线交于点F，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由正方形的性质得到，则，根据等边对等角得到，设，则，则可推出，，则由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴． 【例6】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，且，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】根据正方形的性质可得，根据可得是等腰三角形，由此可求出的度数，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，理解图示，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【典型例题三 根据正方形的性质求线段长】 【例1】（2024·湖北·一模）在平面直角坐标系中，正方形的顶点O的坐标是，顶点B的坐标是，则顶点A的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线的长度，注意有两种情况． 【详解】解：有两种情况： （1）连接， ∵四边形是正方形， ∴点A、C关于x轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线，即A、C的横坐标均为1， 根据正方形对角线相等的性质，， 又∵A、C关于x轴对称， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为， 故A点坐标， （2）当点A和点C位置互换，同理可得出A点坐标， 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先证四边形是矩形，再根据可进一步证四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∴四边形是矩形 由折叠可得： ∴四边形是正方形 ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质．熟记相关定理内容是解题关键． 【例3】（2024·吉林长春·二模）如图，正方形的边长为，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，得出的最小值时点位置是解题关键．连接，由正方形的性质可得点B和点D关于直线对称，就是的最小值，最后运用正方形的性质和勾股定理先计算出的长度即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点和点关于直线对称， ， 则就是的最小值， 正方形的边长是，， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，是正方形对角线的交点，是线段上一点．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，由正方形的性质结合勾股定理得出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，于点F，若，，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．证明，得，，进而可以解决问题． 【详解】解：四边形是正方形，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 【例6】（23-24九年级上·福建三明·阶段练习）如图，在正方形中，在对角线所在的直线上分别截取，连接、、、．求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证得结论． 【详解】证明：连接, 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形．    【典型例题四 根据正方形的性质求面积】 【例1】（2024·重庆大渡口·一模）一个正方形的边长为，它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的面积计算，由正方形的面积等于边长的平方即可求解，掌握正方形的面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：． 【例2】（23-24七年级上·吉林长春·开学考试）如图，这个正方形的面积是（    ）．    A．4平方厘米 B．6平方厘米 C．8平方厘米 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式计算解题． 【详解】解：正方形的面积为平方厘米， 故选A． 【点睛】本题考查正方形的面积，掌握正方形的面积公式是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·云南昭通·期中）将n个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，分别是正方形对角线的交点，则2020个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，规律型：图形的变化类，解决本题的关键是求出每个阴影部分的面积都是．正方形的中心为，、分别与所在的正方形交于点、，连接，证明，可得，求出每个阴影部分的面积都是，根据2020个正方形照这样重叠有2019个阴影部分求解即可． 【详解】解：如图，正方形的中心为，、分别与所在的正方形交于点、，连接， 在正方形中，，，， 又， ， 在和中， ， ， ， 四边形的面积， 同理可得每个阴影部分的面积都是， 个正方形照这样重叠，每两个正方形的重叠面积都是，共2019个， 个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为， 故答案为： 【例4】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】8 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键，学会利用转化的思想思考问题．根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积之和； 故答案为：8． 【例5】（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，点E在正方形内，且满足，，，求图中阴影部分的面积．    【答案】76 【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，再计算正方形的面积，从而得到阴影部分面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 正方形的面积是． 的面积是， 阴影部分的面积是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出正方形的边长． 【例6】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，和以为边的正方形，已知，，，求正方形的面积．    【答案】正方形的面积是 【分析】根据勾股定理求得的长，然后根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：，，， ． 四边形是正方形， 正方形的面积是． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【典型例题五 正方形折叠问题】 【例1】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，折痕为、，点在上，点在上，则的大小为（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC，再由正方形的可得∠BAD＝90°，从而在∠BAC+∠DAC＝90°，从而可求解． 【详解】解：由题意得：∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝90°， ∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠EAF∠BAC∠DAC （∠BAC+∠DAC） ＝45°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查角的计算，解答的关键是熟记折叠的性质，明确角与角之间的关系． 【例2】（22-23七年级上·河南许昌·期末）在正方形ABCD中，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大9°，则∠EBF的度数为（　　） A．25° B．27° C．29° D．31° 【答案】B 【分析】根据折叠角相等和正方形各内角为直角的性质即可求得∠EBF的度数． 【详解】∵∠FBE是∠CBE折叠形成， ∴∠FBE=∠CBE， ∵∠ABF−∠EBF=9°,∠ABF+∠EBF+∠CBE=90°， ∴∠EBF+9°+∠EBF+∠EBF=90°， ∴∠EBF= 27°， 故选B. 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）和正方形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质. 【例3】（22-23八年级下·重庆南岸·期末）如图，正方形边长为6，点为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点，则长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；先判定，即可得出，设为，则，，，由勾股定理得：，解方程得出的值，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得，，，， ， 是的中点， ， ， 又， ， ， 设为，则，，， 由勾股定理得：， 即， 解得． ， ． 故答案为：． 【例4】（2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．由折叠可得，，且，可得，即可求对角线的长，则可求面积． 【详解】解：如图，连接交于， 为正方形， ，，，，． 沿翻折， ，，，， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【例5】（22-23八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度． 【答案】4 【分析】设CF＝x，则FG＝x，FB＝12﹣x，EF＝6+x，在Rt△BEF中，利用勾股定理，得出，解得x＝4，即为CF的长． 【详解】解：设CF＝x，则FG＝x，FB＝12﹣x， ∵AB＝12，AE＝6， ∴BE＝6，EG＝6， ∴EF＝6+x， 在Rt△BEF中， ， ， 解得：x＝4， 即CF的长为4． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理，正方形的性质是解题的关键． 【例6】（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN． （1）求线段CN的长； （2）求以线段MN为边长的正方形的面积． 【答案】（1）CN=3；（2）正方形的面积为80 【分析】（1）根据题意易得DN=NE，BE=EC=4，设CN=x，则有DN=8-x，然后根据勾股定理进行求解即可； （2）过点M作MG⊥CD于点G，连接DE，证明△MNG≌△DEC，则有MN=DE，进而根据勾股定理及正方形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）∵将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处， ∴DN=NE，BE=EC=4， 设CN=x，则有DN=8-x， ∴在Rt△ECN中，，即， 解得，即CN=3； （2）过点M作MG⊥CD于点G，连接DE，交MN于点H，如图所示： 由题意可得AM=DG，MG=BC=CD，∠MGN=∠C=90°， 根据折叠的性质可得：DE⊥MN， ∴∠NMG+∠MHE=90°， ∵∠EDC+∠DHG=90°，∠DHG=∠MHE， ∴∠NMG=∠EDC， ∴△MNG≌△DEC（ASA）， ∴MN=DE， 在Rt△DEC中，， ∴， ∴以MN为边的正方形面积为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 【典型例题六 根据正方形的性质证明】 【例1】（2023·江苏南京·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的动点，且EF=4，G是EF的中点，下列结论正确的是（　　） A． B．AG长度的最小值是 C． D．面积的最大值是2 【答案】B 【分析】对于A选项和C选项，先假设选项内容成立，再进行推理验证假设是否成立；B选项连接CG，∵G为Rt△EFC的中点，∴CG=2是定值，当A、G、C三点共线时，AG最短；D选项过C点作CH⊥EF于H点，由于EF=4是定值，只要CH最大则△EFC面积最大，求解CH最大值即可判断． 【详解】解：A选项：假设AG⊥EF，∵G为EF中点， ∴AE=AF， 则△ABE≌△AFD，则BE=DF． 假设不成立，所以A选项错误； B选项：连接CG，∵G为Rt△EFC的中点， ∴CG=2是定值． 当A、G、C三点共线时，AG最短， 此时AC是对角线为4，所以AG最短为4-2，B选项正确； C选项：假设BE+DF=4，则BE+DF=DC，则BE=FC， 假设不成立，所以C选项错误； D选项：过C点作CH⊥EF于H点，由于EF=4是定值，只要CH最大则△EFC面积最大． ∵CH≤CG， ∴当CH=CG时，△EFC面积最大为×4×2=4．所以D选项错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是从所给选项入手逐一排除． 【例2】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，正方形ABCD的边长为3cm，∠ABE=，且AB=AE，则DE的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据∠ABE=15°，AB=AE，易得∠AEB=∠ABE=15°，再根据AD∥BC，可得∠EBC=75°，∠AFE=105°，∠DAE=60°，进而可得ADE=∠AED=60°，故△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE的长． 【详解】如图：AD交BE于点F， ∵∠ABE=15°，AB=AE， ∴∠AEB=∠ABE=15°， ∴∠EFD=∠AFB=90°−15°=75°， 故∠AFE=180°−75°=105°， ∴∠DAE=180°−105°−15°=60°， 又∵AB=AE， ∴△ADE是等边三角形， 所以DE=AD=3cm． 故选A． 【点睛】此题考查了正方形的性质以及等边三角形的判定与性质，证得△ADE是等边三角形是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，E是正方形对角线上一点，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形和等腰三角形的性质，先证明，得到，根据求出，再根据求得，即可求得答案. 【详解】解：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， 故答案为：． 【例4】（2024·云南楚雄·三模）如图，点是正方形内部一点，连接，将绕点旋转一定角度得到，当三点共线时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转性质，根据正方形的性质得，结合旋转性质得出，，则为等腰直角三角形，因为点共线，即可列式进行计算作答． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵由旋转得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点共线， ∴， ． 故答案为： 【例5】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，对角线所在的直线上有两点、，连接、、、，且，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是正方形的性质及菱形的判定，连接交于点，利用正方形的性质得出，证出四边形是平行四边形，进而证明结论． 【详解】证明：连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形 【例6】（2024·福建漳州·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明即可作答． 【详解】∵ 四边形是正方形， ∴，． ． 在 和中， ∴， ∴． 【典型例题七 正方形的判定定理理解】 【例1】（23-24八年级下·北京·期中）下列命题中，能判断四边形是正方形的是（     ） A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意； B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意； 故选：A． 【例2】（2024·广东·一模）对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形判定定理是解题的关键． 【详解】对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形， 故选A． 【例3】（22-23八年级下·全国·课后作业）正方形是有一组邻边 ，并且有一个角是 的平行四边形，因此它既是 又是 ． 【答案】 相等 直角 矩形 菱形 【分析】根据正方形的定义和性质填空即可． 【详解】正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形． 故答案为：相等，直角，矩形，菱形 【点睛】本题考查了正方形的定义，解题关键是明确正方形的定义：正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形． 【例4】（23-24九年级上·山西太原·期中）我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是    【答案】对角线互相垂直且相等 【分析】本题考查了正方形的判断方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判断方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故答案为：对角线互相垂直且相等． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）判断命题“对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是否成立．如果认为不成立，请增加一个条件使它成立． 【答案】不成立；对角线互相平分 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义、判定和相互之间的关系可知，对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；从而得到对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，确定题中命题错误，需要增加一个条件：对角线互相平分才能使命题成立． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 根据正方形的判定定理可得：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形， 命题“对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”错误． ②增加一个条件：对角线互相平分，命题才能成立，为“对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形”． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义、判定和相互之间的关系，熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解决问题的关键． 【例6】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上． (1)在图1中画出以AB为边的平行四边形，且顶点均在格点上（画出一个即可）． (2)在图2中画出以AB为对角线的正方形，且顶点均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可； （2）根据正方形的定义画出图形即可． 【详解】（1）如图1中，四边形ABCD即为所求； （2）如图2中，四边形ACBD即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，平行四边形，正方形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【典型例题八 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（22-23九年级上·全国·课后作业）已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．根据题意得到四边形为矩形，再由邻边相等的矩形为正方形即可得证． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， 能使这个四边形是正方形的是邻边相等，即， 故选D． 【例2】（22-23八年级下·山西吕梁·阶段练习）已知四边形为矩形，下列条件中，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的定义逐项判定即可． 【详解】如下图，    对于选项A，由矩形的对边平行，可得内错角相等，即， ∵， ∴． 则（等角对等边）． 所以，四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 故A选项说法正确，但不符合题意； 对于选项B，对角互补是矩形本身就具有的条件，相当于没有增加判定正方形的条件，故不能判定四边形为正方形． 故B选项说法错误，符合题意． 对于选项C， 因，四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 故选项C说法正确，但不符合题意； 对于选项D，因矩形的对角线互相平分， ∴O为的中点，又， ∴B， 则， 所以，四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 故选项D说法正确，但不符合题意； 故答案为：B． 【点睛】本题涉及矩形的性质及正方形的判定等相关知识点，解题的关键是对正方形的定义有准确的判断． 【例3】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是 ．    【答案】有一个内角为90度或对角线相等，答案不唯一 【分析】根据菱形的判定即可求解． 【详解】解：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形， 故答案为：有一个内角为90度或对角线相等，答案不唯一． 【点睛】本题考查了正方形的判定,熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 【例4】（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键，本题补充一组邻边相等即可得到结论． 【详解】解：∵矩形， ∴补充， ∴矩形是正方形； 故答案为：． 【例5】（22-23九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O． (1)若，求证：矩形是正方形； (2)请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．（答案不唯一） 【分析】（1）证明，推出，即可证明结论； （2）根据正方形的判定添加条件即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：添加的条件可以是．理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．第2问是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加等． 【例6】（22-23九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知的对角线AC，BD相交于点O，． (1)如果______，那么四边形ABCD为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）； (2)根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）根据题意可得四边形是矩形，所以添加，进而可得四边形ABCD为正方形； （2）根据邻边相等的矩形是正方形即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 所以添加条件：，则四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：由（1）可得四边形是矩形， 又， 所以四边形是正方形． 【点睛】本题考查了添加一个条件证明四边形是正方形，矩形的判定，证明四边形是矩形是解题的关键． 【典型例题九 证明四边形是正方形】 【例1】（2024八年级下·上海·专题练习）已知在四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是正方形的判定，解题关键是熟练掌握正方形的判定方法． 根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：选项，不能，只能判定为矩形，选项错误； 选项，不能，只能判定为平行四边形，选项错误； 选项，能，可判定为正方形，选项正确； 选项，不能，只能判定为菱形，选项错误． 故选：． 【例2】（22-23八年级下·湖南长沙·期末）下列说法不正确的是（    ）． A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．一组邻边相等的菱形是正方形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】B 【分析】根据矩形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，不符合题意； B. 一组邻边相等的菱形不一定是正方形，符合题意； C. 有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意； D. 对角线相等的菱形是正方形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的判定方法，理解记住判定定理是关键． 【例3】（22-23八年级下·江苏盐城·期中）有一组邻边相等的 是正方形． 【答案】矩形（长方形） 【分析】根据正方形的判别：有一组领边相等的矩形（长方形）是正方形，即可得出答案． 【详解】根据定理：有一组领边相等的矩形（长方形）是正方形， 故答案为：矩形（长方形）． 【点睛】题目主要考查对正方形的判别定理，对定理的理解记忆是解题关键． 【例4】（2024·山东菏泽·一模）将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 时，这个菱形就是正方形． 【答案】1 【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质，有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴， ∴当时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 【例5】（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E、F．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质和矩形的判定，要注意的一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．要证明四边形是正方形，则要先证明四边形是矩形，已知平分，，，故可根据由三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判定四边形是正方形． 【详解】证明：∵平分，，， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形． 【例6】（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由． (2)在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？ 【答案】(1)矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由见详解 (2)当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由见详解 【分析】（1）若，加上点为的中点， 则，于是可判断和为全等的等腰直角三角形， 易得，然后利用可判断四边形为矩形； （2） 若点为的中点， 则为等腰三角形的顶角的平分线， 根据角平分线的性质得，然后根据正方形的判定方法可判断矩形变为正方形 ． 本题考查了正方形的判定： 先判定四边形是矩形， 再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形， 再判定这个矩形有一个角为直角 ． 也考查了矩形的判定于性质 ． 【详解】（1）解：矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由如下： ，点为的中点， ， 和为全等的等腰直角三角形， ，， ， ，， ， 四边形为矩形； （2）解：当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由如下： 点为的中点， 为等腰三角形的顶角的平分线， ， 矩形变为正方形 ． 【典型例题十 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质得到AD=CD，根据等腰三角形的性质得到∠DAE=∠AED=70°，求得∠ADE=180°-70°-70°=40°，得到∠EDC=50°，根据等腰三角形的性质即可得到结论. 【详解】解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 故选． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键. 【例2】（2023·福建厦门·一模）已知菱形ABCD与线段AE，且AE与AB重合．现将线段AE绕点A逆时针旋转180°，在旋转过程中，若不考虑点E与点B重合的情形，点E还有三次落在菱形ABCD的边上，设∠B=α，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过临界值的情况结合图形分析，可知当60°< <90°时满足题意. 【详解】解：因为AE与AB重合，在旋转过程中必过D点，所以需要满足AE与边BC、CD有交点，此时考虑临界值位置：当AB=AC时，旋转过程经过C、D两点，如图，AB=BC=AC，△ABC为等边三角形，所以α=60°，易知当α＞60°时即有三个交点，而当α=90°时，菱形ABCD为正方形，此时AB不会与BC有交点（不考虑点E与点B重合的情形），∴60°< <90°， 故选C. 【点睛】本题主要考查菱形的性质和正方形的性质，结合图形分析出临界值情况是解题关键. 【例3】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图在3×3的正方形网格中∠1+∠2﹣∠3+∠4+∠5＝ 度． 【答案】135 【分析】根据图形和正方形的性质可知∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠3＝45°，再把它们相加可得∠1＋∠2-∠3＋∠4＋∠5的度数． 【详解】解：观察图形可知∠1与∠5所在的三角形全等，二角互余，∠2与∠4所在的三角形全等，二角互余，∠3＝45° ∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠3＝45°， ∴∠1＋∠2-∠3＋∠4＋∠5＝（∠1＋∠5）＋（∠2＋∠4）-∠3＝135°． 故答案为：135． 【点睛】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠3＝45°是解题的关键． 【例4】（2023·江苏镇江·中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 【例5】（2023·山东潍坊·二模）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【答案】65° 【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 在和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键． 【例6】 （22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知、两点在正方形的对角线上移动，为定角，连接、，并延长分别交、于、两点，则与在、两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论． 【答案】始终为定角，这定角为的倍 【分析】因为BD为正方形ABCD的对角线, 则∠1=∠3, ∠2=∠4, 用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC+∠FNC可得结论. 【详解】∵为正方形的对角线， ∴，， ∴． 同理． ∴． ∵， ∴总与相等． 因此始终为定角，这定角为的倍． 【点睛】本题主要考查正方形的性质. 【典型例题十一 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（22-23八年级下·全国·期末）若正方形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的周长公式求解即可，正方形的周长＝，即可得出的值． 【详解】解：由题意得出：． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的周长公式，比较基础，易于掌握． 【例2】（22-23八年级下·福建龙岩·期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为(    ) A．4 B．3 C．3或4 D．3或6 【答案】D 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如图所示，连接AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x； ②当点B′落在AD边上时，如图所示，此时四边形ABEB′为正方形． 【详解】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如图所示，连接AC， 在Rt△ABC中，AB=6，BC=8， ∴AC==10， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线， 即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=6， ∴CB′=10-6=4， 设BE=x，则EB′=x，CE=8-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+42=（8-x）2， 解得x=3， ∴BE=3； ②当点B′落在AD边上时，如图所示， 此时四边形ABEB′为正方形， ∴BE=AB=6， 综上所述，BE的长为3或6， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理，注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 【例3】（22-23九年级下·浙江·阶段练习）命题“正方形的对角线互相垂直”的逆命题是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可． 【详解】“正方形的对角线互相垂直”的逆命题是对角线互相垂直的四边形是正方形， 而对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形， 故逆命题是假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，熟练掌握正方形的相关性质是解题的关键． 【例4】（2023·湖南怀化·中考真题）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    【答案】 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 【例5】（2024·贵州·模拟预测）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求矩形的周长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)8 【分析】此题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定， （1）首先根据题意证明出四边形是矩形，然后由得到四边形是正方形； （2）根据矩形和正方形的性质求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴矩形的周长． 【例6】（22-23八年级上·四川眉山·期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，设p＝BC＋CD，四边形ABCD的面积为S． （1）试探究S与p之间的关系，并说明理由． （2）若四边形ABCD的面积为12，求BC＋CD的值． 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】（1）由AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，可考虑利用旋转解答．将△ABE绕点A逆时针方向旋转90°，构造直角三角形，证明正方形即可计算出S与p之间的关系． （2）将S＝12代入S与p之间的关系式，即可计算出BC＋CD的值． 【详解】解：（1）AE⊥BC于E，把△ABE绕点A逆时针方向旋转90°到△ADF的位置， ∴DF=BE，AF=AE ∵∠CDA＋∠B＝180°，AD＝AB， ∴∠ADC＋∠ADF＝180°，即F、D、C在一条直线上， ∵p＝BC＋CD=BE+CE+CD=CE+CF， ∴FC=CE=p ∵∠C=∠AEC=∠F=90° ∴四边形AFCE是矩形 ∵AF=AE ∴四边形AECF是正方形，其边长为p， ∴S＝(p)2＝． （2）∵＝12， ∴P＝4或P＝−4（舍去），即BC＋CD＝4． 【点睛】此题考查了旋转的性质和正方形的性质，作AE⊥BC，构造直角三角形ABC，进而得到正方形AECF是解题的关键． 【典型例题十二 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形的对角线交点，则阴影部分面积是（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意作图，连接O1B，O1C，可得△O1BF≌△O1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】连接O1B，O1C，如图： ∵∠BO1F＋∠FO1C＝90°，∠FO1C＋∠CO1G＝90°， ∴∠BO1F＝∠CO1G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°， 在△O1BF和△O1CG中 ， ∴△O1BF≌△O1CG（ASA）， ∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形， 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形， ∴S阴影＝S正方形＝8． 故选D．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点，难度适中． 【例2】（22-23八年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积为( ) A．25． B． ． C．5． D．10． 【答案】A 【分析】先根据正方形性质得出BD=DE,又由题意得Rt△ABC为等腰三角形,∠C=45°,进而推出BD=DC,因为AC=,所以BC=10,从而BD=5,则面积=25. 【详解】因为四边形BDEF是正方形,所以BD=DE, 在Rt△ABC中,AB=BC,所以△ABC是等腰直角三角形,故∠C=45°, 又因为ED⊥BC,所以△DEC是等腰直角三角形,则ED=DC,所以BD=DC, 在Rt△ABC中, ∠C=45°,所以AC=,所以BC=AC=10,所以BD=5,则正方形BDEF的面积是25, 故选A. 【点睛】本题为正方形和等腰直角三角形的结合题型,考查正方形和三角形的性质,关键在于综合有用性质得出结果. 【例3】（22-23九年级上·四川达州·期中）一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是，那么矩形的面积为 ． 【答案】18 【分析】根据题意易得这个矩形的是正方形，再根据正方形中两边与对角线构成的三角形是等腰直角三角形，结合勾股定理可得边长的值，进而可得其面积． 【详解】解：根据题意可知，一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是， 可得矩形的两边与对角线构成的三角形是等腰直角三角形， 故这个矩形是正方形． 设矩形的边长为a， 则，即， 则矩形的面积为， 故答案为18． 【点睛】本题考查正方形的判断，等腰直角三角形的三边关系等，根据已知条件求证出这个矩形是正方形是解题的关键． 【例4】（2024·陕西汉中·二模）如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查正方形的判定，正多边形的性质，多边形内角和定理．正确判定出中间空白四边形为正方形是解题的关键． 先根据正八边形边长为2得出中间空白四边形的边长为2，再根据多边形内角和与正多边形的性质，得出中间空白四边形的每个内角为 【详解】解：∵正八边形的边长为2， ∴中间空白四边形的边长为2， ∵中间空白四边形的每个内角为：， ∴中间空白四边形为正方形， ∴中间空白四边形的面积为， 故答案为：4． 【例5】（22-23八年级下·云南迪庆·期末）如图，点E在正方形ABCD内，AE=3，BE=4，AEBE，请求出阴影部分的面积S. 【答案】19 【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵AE⊥BE， ∴∠AEB=90°， 在RtΔABE中，由勾股定理得AE²+BE²=AB² ， ∴3²+4²=AB² ， ∴ AB=5 ， ∴ =5²-  =25-6=19． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力． 【例6】（2023·湖北黄石·三模）如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若DE＝1，求△AFE的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）正方形的边长相等，四个角相等，即，，根据条件还能证，故能证明． （2），，根据勾股定理能求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ． ，， ． （2）解：， ． ，，， ． 的面积为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【典型例题十三 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】（22-23九年级上·广东佛山·期中）顺次连接正方形四边中点得到的四边形是（    ） A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理可推出，进一步即可根据正方形的判定推出答案． 【详解】解：如图， ∵，，，分别为，，，的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，中位线的性质，掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 【例2】（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，并连接BG．下列判断正确的是（　   ） A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4 【答案】C 【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出∠BAD＝∠EAG＝90°，然后根据同角的余角相等可得∠1＝∠2，根据直角三角形斜边大于直角边可得AE＞AB，从而得到AG＞AB，再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出∠3＜∠4． 【详解】解：∵四边形ABCD、AEFG均为正方形， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°， ∵∠BAD＝∠2＋∠DAE＝90°， ∠EAG＝∠1＋∠DAE＝90°， ∴∠1＝∠2， 在Rt△ABE中，AE＞AB， ∵四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG， ∴AG＞AB， ∴∠3＜∠4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用． 【例3】（2024·河南郑州·模拟预测）在矩形中，，点E为射线上一点，将沿着翻折，使得点B的对应点F落在射线上，若线段，连接，则的值为 ． 【答案】或 【分析】 分两种情况：①如图1所示，点F落在线段上，②如图2所示，点F落在射线 上，证明四边形为正方形并求出正方形的边长，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】 解：①如图1所示，点F落在线段上， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 由折叠的性质得 ∴四边形为正方形， ∴ 在中， ②如图2所示，点F落在射线上， ∵， ∴ ∴， ∵四边形是矩形， ∴ 由①可知四边形为正方形， ∴． 在中， 综上所述，的值为或． 故答案为：或 【点睛】 本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，正方形的性质和判定等知识，熟练掌握折叠的性质，证明四边形为正方形是解决问题的关键． 【例4】（2023·江苏南京·二模）如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是 ．    【答案】1 【分析】连接，则，根据三角形中位线定理，得． 【详解】连接，因为正方形，， 所以， 因为E，F分别是的中点， 所以． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）已知，如图，在正方形中，点分别在上，且．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先由正方形的性质得到，再证明，进而证明得到，，进一步证明，同理可证明，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理可证明， ∴四边形是正方形． 【例6】（22-23九年级上·广东肇庆·期末）探究题： (1)探究：如图①，在正方形中，点在边上（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是点，旋转的角度是______． (2)应用：将图①中的延长交边于点，其它条件不变，如图②．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转性质即可得到旋转角的度数； （2）由旋转的性质，得到，由全等三角形对应角相等，得到，再由直角三角形两个锐角互余和等量代换，即可得到，即． 【详解】（1）由旋转性质可得旋转角； 故答案为：； （2）∵将绕点顺时针旋转至， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质，全等三角形的性质等知识点，解题时利用旋转的性质得到全等三角形的对应边相等是解决问题的关键． 【典型例题十四 中点四边形】 【例1】（23-24八年级下·广西贵港·期中）顺次连接一个矩形各边中点，所得到的四边形一定是（   ） A．普通四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义；四边相等；对角线互相垂直平分．此题还涉及三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意中点四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状． 【详解】解：如图，连接、． 在中，∵， 同理， 又∵在矩形中，， ∴， ∴四边形为菱形． 故选：B． 【例2】（2024八年级下·全国·专题练习）在四边形中，，分别是边，的中点，、分别是对角线，的中点，依次连接，，、得到的四边形一定是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，平行四边形的判定定理；根据三角形中位线的性质可得，．，，得出，，进而根据一组对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：四边形中，、、、分别是、、、的中点， ，．，． ，， 四边形是平行四边形． 故选：A． 【例3】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 【例4】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 【答案】 平行四边形 56 【分析】此题主要考查了中点四边形．直接利用三角形中位线定理得出，，得到四边形是平行四边形；由三角形中位线定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，， ，，，分别是，，，边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ，，，分别是，，，边的中点， 同理，， ∴四边形的周长是：． 故答案为：平行四边形；56． 【例5】（22-23八年级下·福建福州·期中）求证：顺次连接菱形四边中点所得的四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】先写出已知和求证，画图，再进行证明，连结、，根据中位线性质证明四边形为平行四边形，再接着根据菱形的性质得到，则可得到，最后根据矩形的判定方法得到四边形为矩形． 【详解】解：如图，已知点、、、为菱形各边的中点， 求证：四边形为矩形． 证明：连结、，如图， ∵   点为的中点，为的中点， ∴   为的中位线， ∴   ， 同理可得，，， ∴   ，， ∴   四边形为平行四边形， ∵   四边形为菱形， ∴   ， 而，， ∴   ， ∴   ＝， ∴   平行四边形四边形为矩形． 【点睛】本题考查了中点四边形，利用三角形的中位线性质解决有关中点四边形的问题，也考查了菱形的性质和矩形的判定．如果图形中出现多个中点，通常通过添加辅助线，构造三角形中位线解决问题． 【例6】（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边之中点． (1)求证：四边形EFGH为平行四边形； (2)当AC、BD满足______时，四边形EFGH为矩形． 【答案】（1）见解析；（2）AC⊥BD 【分析】（1）连接BD，根据中位线的性质可得EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG=，从而得出EH∥FG，EH= FG，然后根据平行四边形的判定定理即可证出结论； （2）当AC⊥BD时，连接AC，根据中位线的性质可得EF∥AC，从而得出EF⊥BD，然后由（1）的结论可证出EF⊥EH，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证出结论． 【详解】（1）证明：连接BD ∵E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边的中点 ∴EH是△ABD的中位线，FG是△CBD的中位线 ∴EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG= ∴EH∥FG，EH= FG ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形，理由如下 连接AC， ∵E、F为BA和BC的中点 ∴EF为△BAC的中位线 ∴EF∥AC ∵AC⊥BD ∴EF⊥BD ∵EH∥BD ∴EF⊥EH ∴∠FEH=90° ∵四边形EFGH为平行四边形 ∴四边形EFGH为矩形 故答案为：AC⊥BD． 【点睛】此题考查的是中位线的性质、平行四边形的判定和矩形的判定，掌握中位线的性质、平行四边形的判定定理和矩形的定义是解决此题的关键． 【典型例题十五 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（22-23八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可． 【详解】由题意可得，，， 当时， 由可得四边形是平行四边形 ∴，解得， 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，表示出对应边的长度是解本题的关键． 【例2】（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（    ）    A． B．8 C．4或 D．或8 【答案】D 【分析】根据的速度为每秒，可得，从而得到，由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以、、、四点组成的四边形为平行四边形，当时，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ． 若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则． 当时，，，，， ， 解得：； 当时，，，， ， 解得：． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清在上往返运动情况是解决此题的关键． 【例3】（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，是长方形内部的动点， ，的面积等于9，则点到两点距离之和的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三角形的面积，计算出三角形BPC的高，由此得出P点的运动轨迹是平行于BC的线段MN上，找到C点关于MN的对称点E，连接BE，BE的长度即为，此时线段最短. 【详解】解：∵的面积等于9,BC=6， ∴PE=9×2÷6=3， 即△BPC得高为3， P点在长方形内部且平行于BC的线段MN上， CM=3，延长CD到E使ME=MC，此时PC=PE 连接BE交MN与点P此时最短，且=BE 在Rt△BCE, 所以BE= 故答案为 【点睛】本题考查了特殊平行四边形动点问题，求线段最值，解决本题的关键是熟练掌握最短路径问题模型，根据题意找到切入点，能够正确运用勾股定理计算直角三角形中的边长问题. 【例4】（22-23九年级上·江西抚州·期末）如图，在菱形c中，分别是边，对角线与边上的动点，连接，若，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】作点Q关于BD对称的对称点Q’，连接PQ，根据两平行线之间垂线段最短，即有当E、P、Q’在同一直线上且 时，的值最小，再利用菱形的面积公式，求出的最小值． 【详解】作点Q关于BD对称的对称点Q’，连接PQ． ∵四边形ABCD为菱形 ∴ ， ∴ 当E、P、Q’在同一直线上时，的值最小 ∵ 两平行线之间垂线段最短 ∴当 时，的值最小 ∵ ∴ ， ∴ ∵ ∴ 解得 ∴的最小值是 ． 故答案为：．    【点睛】本题考查了菱形的综合应用题，掌握菱形的面积公式以及两平行线之间垂线段最短是解题的关键． 【例5】（22-23八年级下·广东茂名·期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿运动，点从点出发的同时，点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点、运动的时间为秒，从运动开始，当取何值时，？ 【答案】当时， 【分析】首先判定当时，四边形PDCQ是平行四边形，然后利用其性质PD=QC，构建方程，即可得解. 【详解】当时，四边形PDCQ是平行四边形， 此时PD=QC， ∴ ∴ ∴当时，. 【点睛】此题主要考查利用平行四边形的性质构建方程，即可解题. 【例6】（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图,在平行四边形中,对角线AC⊥BC,AC=BC=2,动点P从点A出发沿AC向终点C移动,过点P分别作PM∥AB交BC于M,PN∥AD交DC于N．连结AM． （1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗?请说明理由 （2）当AP=1时, 试求出四边形PMCN的面积． 【答案】（1）不会；（2）1． 【详解】试题分析：（1）由题可知，四边形PMCN是一个▱，而要想成为一个菱形，则必须有邻边相等，如PM=MC，而PM和MC同在一直角三角形中，且PM为斜边＞直角边MC，因此不会为菱形； （2） 当x=1时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等． 试题解析：（1）四边形PMCN不可能是菱形． ∵点P在运动过程中，△PCM始终是一个直角三角形，斜边PM大于直角边MC ∴四边形PMCN不可能是菱形． （2） ∵ AC =2，AP=1 ∴ CP=1． 又∵AC⊥BC,AC=BC=2 ∴ ∠BAC=45° ∵ PM∥AB ∴ ∠CPM=∠BAC=45° ∵ AC⊥BC ∴△CPM为等腰直角三角形． ∴CM=CP=1 ∵PM∥AB，,PN∥AD ∴四边形PMCN是平行四边形 ∴所以□PMCN的面积为CM·CP=1×1=1． 考点：1．菱形的判定；2．平行四边形的性质． 【变式训练1 正方形性质理解】 1．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项不符合题意； B、正方形和矩形的四个角都是直角，所以对角都相等，故本选项不符合题意； C、正方形和矩形的对边都平行且相等，故本选项不符合题意； D、正方形对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期中）在矩形、菱形、正方形、等边三角形的轴对称图形中，对称轴条数最多的图形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念及对称轴的概念进行分析解答即可，矩形有两条对称轴，为对边中垂线所在的直线；菱形有两条对称轴，为其两条对角线所在的直线；正方形有四条对称轴，为其两条对角线所在的直线，还有其对边中垂线所在的直线；等边三角形有三条对称轴，为其三边的中垂线所在的直线． 【详解】解：A、矩形有两条对称轴； B、菱形有两条对称轴； C、正方形有四条对称轴； D、等边三角形有三条对称轴． 所以对称轴条数最多的是正方形． 故选C． 3．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）正方形的顶点B，C都在平面直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据点A的坐标求出正方形的边长与的长度，再求出的长，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：∵点A的坐标是， ∴， 当点在点右边时，则， 此时，， 当点在点左边时，则， 此时，， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了正方形的性质，根据点的坐标求出正方形的边长是解题的关键． 4．（22-23八年级下·山东日照·期末）如图，在由菱形和正方形组成的装饰图案中，已知菱形的面积是，正方形的面积是，则边的长是 ． 【答案】 【分析】连接BD、AC，交点为O，根据正方形DEBF的面积是200cm2，可得DF＝BF＝10，由勾股定理可得BD的长，进行得AC的长，然后根据菱形的性质及勾股定理可得答案． 【详解】解：连接BD、AC，交点为O， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∵正方形DEBF的面积是200cm2， ∴DF＝BF＝10， ∴， ∵菱形ABCD的面积是500cm2， ∴20×AC＝500， ∴AC＝50， ∴A5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了的是正方形、菱形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键． 5．（2024·陕西·一模）如图，点是正方形的中心．用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了垂直平分线的画法以及性质，作的垂直平分线，上面任取一点（异于点），即可求解． 【详解】作的垂直平分线，如图所示，点即为所求的点． 6．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．      (1)在图中，在上找一点F，使； (2)在图中，在上找一点G，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接即可完成作图； （2）连接即可完成作图． 【详解】（1）解：如图1，即为所求    （2）解：如图2，即为所求．      【点睛】本题考查几何作图，考查了正方形的对称性．掌握正方形的性质是关键． 【变式训练2 根据正方形的性质求角度】 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形、四边形分别是菱形与正方形．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形及菱形的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．连接，则为正方形与菱形的对角线，根据正方形及菱形的性质求解即可． 【详解】解：连接，则为正方形与菱形的对角线， ，， ， ， ， ， 故答案为：A 2．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）以正方形的为边，作等边，则 ． 【答案】75或15 【分析】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质，分类讨论：当点在正方形外侧时和当点在正方形内侧时，根据等边三角形的性质及正方形的性质，求得的度数，即可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当点在正方形外侧时，如图： 四边形是正方形， ，， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点在正方形内侧时，如图： 四边形是正方形， ，， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， 综上所述，或， 故答案为：75或15． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形，对角线交于点O，以为边向外作等边，连接交于点F，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形中角的计算，解题关键是找准等腰三角形． 先求出的度数，然后根据等边对等角可以得出的度数，根据三角形的外角定理得出的度数即可解题． 【详解】∵正方形, 等边, ∴,，， ∴, ∴, ∴. 故答案为:． 5．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是正方形内位于对角线下方的一点，，求的度数．    【答案】 【分析】利用角度的转换得到，再根据正方形的性质得到，根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：， ， 四边形是正方形， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和，熟练利用角度转换得到是解题的关键． 6．（22-23九年级上·山西太原·期中）如图，把两个正方形和拼成如图所示的图案，点B，C，E在同一直线上，连接，，求的度数．    【答案】 【分析】根据正方形的性质，可以得到，，平分，平分，从而可以得到的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ∴ 同理可得 ． 【点睛】本题考查正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式训练3 根据正方形的性质求线段长】 1．（22-23八年级下·河南·阶段练习）如图，E是边长为1的正方形的对角线上一点，且，P为上任一点，于点Q，于点R，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，连接，，交于O，由正方形的性质得出，，进一步求出，，再根据，代入三角形面积公式并结合已知条件可得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，，交于O，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·浙江台州·二模）如图，正方形被分割成面积相等的四个矩形，已知，则正方形面 积 为 （   ） A．36 B．48 C．64 D．81 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的面积，矩形的面积，设正方形的边长为，根据正方形被分割成面积相等的四个矩形列出方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 根据题意得，， 解得或（舍去）， 正方形的面积为64， 故选：C． 3．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）已知正方形的对角线为，则正方形的边长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理，画出图形，利用正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在正方形中，，，， 由得， ∴，即正方形的边长为1， 故答案为：1． 4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，边长为3的正方形的两边与坐标轴重合，则点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，第二象限点坐标的特征等知识．熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 由正方形，可得，，进而可得点C的坐标． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，已知正方形的面积是16，求的长．    【答案】 【分析】由正方形的面积可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：正方形的面积为16， ， 在中，，， ． 【点睛】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 6．（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，过点Р分别作于点E，于点F，若正方形的面积为9，求四边形PEBF的周长． 【答案】6 【分析】先根据正方形的性质可得边长为3，并证明△APE和△PCF都是等腰直角三角形，得AE=PE，PF=CF，可得结论． 【详解】∵正方形的面积为9， ∴AB=BC=3，∠ACB=∠BAC=45°， ∵PE⊥AB，PF⊥BC， ∴∠AEP=∠PFC=90°， ∴△APE和△PCF都是等腰直角三角形， ∴AE=PE，PF=CF， ∴四边形PEBF的周长=BE+PE+BF +PF=BE+AE+BF+CF=AB+BC=3+3=6． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是证明△APE和△PCF都是等腰直角三角形． 【变式训练4 根据正方形的性质求面积】 1．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）对角线长为2的正方形的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形对角线长相等的性质，考查了正方形面积的计算，本题中正确计算是解题的关键． 正方形又是菱形，根据菱形面积计算公式即可求得正方形的面积，即可解题． 【详解】解：正方形面积可以按照(为对角线长)， ∴该正方形面积为． 故选：A． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，取边长为4的正方形各边中点，顺次连接构成小正方形，依次画下去，小正方形的面积从大到小排列，分别记为，，，…，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查正方形的性质及面积比，连接，根据正方形的性质得出正方形的面积是正方形面积的2倍，得出，同理得出，即可得出结果，熟练掌握正方形的性质是解题关键 【详解】解：连接，如图所示， 则正方形被和分成了四个相同的小正方形， ∵分别是这四个小正方形的对角线， ∴正方形的面积是正方形面积的2倍， 即， 同理可得，， 所以， 故选：D 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查了正方形的面积和阴影部分的面积，根据图形面积之间的关系即可求解． 【详解】解：， 即， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在正方形中，点在边上，以为边作矩形，使经过点，若，则矩形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、矩形的性质，连接，根据正方形的性质求得，再根据矩形的性质得到即可求解． 【详解】解：连接，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·山东烟台·期末）如图，已知四边形是正方形，对角线相交于O，设E、F分别是上的点，若，，求四边形的面积． 【答案】8 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，通过证明得出，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线相交于O， ∴，，且，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积是8． 6．（23-24九年级下·江西九江·期中）如图，正方形的边长2，点E，F分别是、的中点，仅用无刻度的直尺分别按要求作图． (1)在图1的正方形中，以为边作一个三角形，使其面积为1； (2)在图2的正方形中，以为边作四边形，使其面积为1． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是作图题，考查了正方形的性质、三角形的面积、平行四边形的面积． （1）； （2）． 【详解】（1）如图1所示，即为所求； （2）如图2所示，四边形即为所求（答案不唯一）． 【变式训练5 正方形折叠问题】 1．（2024·陕西渭南·二模）如图，将正方形纸片沿线段折叠之后，使点落在正方形内部的点处，若比大，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，先由正方形的性质得到，再由折叠的性质可得，则可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∵比大， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）李老师用一张正方形的纸片做示范，介绍两种折出角的折纸方法： （1）将纸片沿对角线对折，使点落在点上，则； （2）将纸片沿折叠，分别使点落在对角线上的同一点，则． 示范一遍之后，李老师让同学们判断这两种方法是否正确，你的回答是（    ）                      方法（1）       方法（2） A．两种方法都对 B．（1）对（2）错 C．（1）错（2）对 D．两种方法都错 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．方法（1）是将对折，自然；方法（2）为两个角一半的和，自然． 【详解】解：∵方法（1）中是把角对折， ∴； 方法（2）中，， 根据折叠可知，， ， ∴； 综上分析可知，两种方法都对． 故选：A． 3．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为．若，则的度数为 ． 【答案】/117度 【分析】根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和即可得到结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， 将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键． 4．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，四边形是正方形，E、F分别在边上，将分别沿折叠后，重合于的位置，且点G恰好在连线上．若正方形边长为12，线段长为10，则的长为 ． 【答案】6或8/8或6 【分析】由折叠的性质可得，再根据已知条件推出，设，则，在中，由勾股定理得：，即，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵四边形是正方形且边长为12， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得或， ∴的长为6或8， 故答案为：6或8． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，推出是解题的关键． 5．（22-23七年级上·江西上饶·期末）如图是正方形纸片ABCD，分别沿AE、AF，折叠后边AB与AD恰好重叠于AG，求∠EAF的大小． 【答案】45° 【分析】由折叠的性质可得，，再根据角的和差可得答案． 【详解】解：依题意得，正方形纸片，∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及正方形的性质，是一题比较基础的题目，折叠的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的重要依据． 6．（22-23九年级下·广东·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，延长EF交AB于点G，连接DG、BF． (1)求证：DG平分∠ADF； (2)若AB＝12，求△EDG的面积． 【答案】（1）见解析；（2）60 【分析】（1）由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，证明Rt△ADG≌Rt△FDG即可证明DG平分∠ADF； （2）设AG=x，则BG=12-x，GE=x+6，在Rt△BEG中，根据勾股定理建立方程求出x，然后再求出面积即可. 【详解】解：（1）如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°， ∴∠DFG=∠A=90°， 在Rt△ADG和Rt△FDG中， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， ∴∠ADG=∠FDG， ∴DG平分∠ADF； （2）∵AB=12，点E是BC边的中点， ∴BE=CE=6， ∴EF=6， 设AG=x, ∴GF=x，BG=12-x， ∴GE=x+6， 在Rt△BEG中， ，即， 解得：， ∴GE=4+6=10， ∴S△EDG=10×12×=60. 【点睛】本题是对正方形知识的考查，熟练掌握正方形的性质定理是解决本题的关键. 【变式训练6 根据正方形的性质证明】 1．（22-23八年级下·全国·单元测试）有下列四个命题：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是菱形；③两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． 其中正确的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法可判断①；根据菱形的判定方法可判断②；根据正方形的判定方法可判断③和④，进而可得答案． 【详解】解：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题； 两条对角线垂直平分的四边形是菱形，故②是假命题； 两条对角线互相垂直、相等且平分的四边形是正方形，故③和④都是假命题； 综上，正确的命题只有①，共1个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、菱形和正方形的判定方法以及真假命题，熟练掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，则的面积为（    ） A．6 B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质知识，熟练掌握相关知识是解题的关键；先根据正方形的性质可得，证明四边形是平行四边形，可得，由此计算，最后由直角三角形的面积公式求解即可 【详解】四边形是正方形， 四边形是平行四边形， 的面积为， 故选：C 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，E是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键．根据正方形的性质得，根据等边对等角的性质可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解． 【详解】解：连接． ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴ ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF、BE、EF，若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，根据正方形的性质证明，得到，利用，求出，由此得到，进而得到的度数． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ， ， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知正方形，点E是上的一点，连接，以为一边，在的上方作正方形，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据四边形，均为正方形，可得，，，进而可得，即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等可得，等量代换可得． 【详解】（1）证明：四边形，均为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得， ， ． 6．（22-23八年级下·河南商丘·期中）如图，正方形的对角线与交于点O．过点C作，过点D作，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质，证明四边形是菱形即可，本题考查了正方形的性质和菱形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】∵正方形的对角线与交于点O． ∴． ∵, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴． 【变式训练7 正方形的判定定理理解】 1．（22-23八年级下·江苏南通·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C．两组邻角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，熟记定理是解题的关键． 2．（22-23八年级下·广西河池·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．四个角都是直角的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．菱形的对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法及性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、四个角都是直角的四边形是矩形，说法错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意 D、说法正确，符合题意； 故答案为D． 【点睛】此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定方法及性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 3．（2023八年级下·全国·专题练习）对角线互相垂直且相等的平行四边形是 ． 【答案】正方形 【分析】根据正方形的判定方法进行判断． 【详解】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，理由如下： ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形， ∴对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故答案为：正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角． 4．（22-23八年级下·广东河源·期末）如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是 （只需添加一个）． 【答案】 【分析】由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出四边形是菱形，再由，即可判定四边形是正方形． 【详解】添加条件：，理由如下： 四边形是平行四边形， 四边形是菱形 四边形是正方形 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①②进行判定． 5．（22-23九年级上·山东青岛·期中）已知：线段a．求作：正方形，使对角线．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】图见详解 【分析】作线段，再作的垂直平分线，垂足为点，接着再上分别截取，，则利用对角线相等且互相垂直平分的四边形为正方形可确定四边形满足条件． 【详解】解：如图，四方形为所作． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正方形的判定． 6．（22-23八年级下·吉林·期末）如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上． (1)在图①中画出以线段AB为对角线的格点正方形； (2)在图②中画出以线段AB为边的矩形，且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先根据正方形的性质找到另一条对角线，从而确定各边； （2）根据矩形的定义结合题目要求画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，正方形ACBD即为所求； （2）如图，四边形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，矩形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式训练8 添一个条件使四边形是正方形】 1．（22-23九年级上·山西晋中·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：A 【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答． 2．（22-23九年级上·福建漳州·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：添加，则根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 能使矩形成为正方形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键． 3．（2024·陕西榆林·三模）在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件： 使得矩形是正方形．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正方形的判定，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件． 【详解】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2024·广东佛山·一模）如图，在四边形中，，，对角线于点，若添加一个条件后，可使得四边形是正方形，则添加的条件可以是 （不再增加其他线条和字母） 【答案】或 【分析】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形． 根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴是菱形， ∴要使四边形是正方形，则还需增加一个条件是：或． 故答案为：或． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D． (1)试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论． (2)当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明． 【答案】(1)四边形ACBD是矩形 (2)△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形 【分析】（1）根据CD平行MN和BC平分∠ABM，推出∠OCB=∠OBC，推出OC=OB，同理OD=OB，即可得出答案． （2）根据矩形的性质和正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形ACBD是矩形，证明如下： ∵CD平行MN， ∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， 同理可证：OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB， ∴AB＝CD， ∴四边形ACBD是矩形； （2）解∶△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形，证明如下： 由（1）得四边形ACBD是矩形， ∵CB＝BD， ∴四边形ACBD是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，平行线的性质的应用，注意：对角线互相平分且相等四边形是矩形． 6．（22-23九年级·河南焦作·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点F，且CE=BF. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是正方形. 【答案】(1)证明见详解；（2）∠BAC=45. 【分析】(1) 根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等, 有BE=EC, BF=FC, 根据四边相等的四边形是菱形即可判断; (2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠BAC=45时,∠EAF=90,则菱形AECF为正方形. 【详解】证明: (1) AC的垂直平分线EF交AC于点D CD=AD,∠ADF=90，EC=AE,CF=AF, 又∠ACB=90°，EF∥BC, △ADF∽△ACB, AF:AB=AD:AC, CD=AD,D为AC的中点， AF:AB=AD:AC=1：2， F为AB中点, BF=AF,在Rt△ABC中，∠ACB=90°, CF=AF, 又CE=BF, CF=AF, EC=AE,CF=AF CE= CF= AF= AE 四边形BECF是菱形. （2）当∠BAC=45时, 四边形AECF是正方形. 证明:∠BAC=45,四边形AECF是菱形, ∠EAC=∠BAC=45, ∠EAF =∠EAC+∠BAC =90, 菱形AECF是正方形. 【点睛】本题主要考查垂直平分线、菱形与正方形的性质及三角形相似的判定与性质，综合性大，需综合运用所学知识求解. 【变式训练9 证明四边形是正方形】 1．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）下列命题正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故原命题错误，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的判定定理．解题的关键熟练掌握判定定理． 2．（22-23九年级上·广东深圳·期中）四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（    ） A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC 【答案】A 【分析】根据正方形的性质以及判定定理对各项进行分析即可． 【详解】A. OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，能判定； B. AB∥CD，AC＝BD，不能判定； C. AD∥BC，∠A＝∠C，不能判定； D. OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC，不能判定； 故答案为：A． 【点睛】本题考查了正方形的判定问题，掌握正方形的性质以及判定定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是 ． 【答案】正方形 【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质与判定，根据题意作图，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明四边形为正方形． 【详解】解：如图所示，， ∴四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是正方形， 故答案为：正方形．    4．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）四边形 的对角线 和 相交于点 ，则下列几组条件中能判定它是正方形的是 ．（只需要填上序号） ① ，； ② ，，，； ③四边形 是矩形，并且 ； ④四边形 是菱形，并且 ． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分是正方形，对各个选项进行分析而从得到答案． 【详解】解：①能，根据对角线相等的菱形为正方形即可判定，故选项正确； ②能，因为对角线垂直且互相平分能得到是菱形，再根据邻边垂直的菱形为正方形即可判定，故选项正确； ③不能，只能判定为菱形，故选项错误； ④能，根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途径有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组领边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 5．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形．    【答案】证明见解析 【分析】由菱形性质可得，，先证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直且即可证出结论． 【详解】证明：在菱形中， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查的是正方形的判定及菱形的性质，熟练掌握特殊的平行四边形的性质与判定是解题的关键． 6．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，对角线交于点E，，．    (1)当平分时，求证：为矩形． (2)在以下命题中：①当时，为正方形．②当时，为正方形．③当时，四边形为菱形．④当时，四边形为菱形．正确的有：________，请选择一个正确的命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)②，证明见解析 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质及角平分线的定义可得，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可求证； （2）根据特殊平行四边形的判定定理即可进行判断． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴为矩形 （2）解：①当时，则，为菱形．故①错误； ②当时， ∵， ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴， ∴且 ∴为正方形 故②正确； ③当时，不能推出四边形为菱形．故③错误； ④当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形为矩形 故④错误 故正确的有：②；证明见上 【点睛】本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定．熟记定理内容是解题关键． 【变式训练10 根据正方形的性质与判定求角度】 1．（22-23八年级下·山东东营·期末）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 2．（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（    ） A．135° B．90° C．75° D．60° 【答案】D 【分析】根据正方体的概念和特性可知AB，AC和左面上的对角线形成一个等边三角形，进而即可求解 【详解】连接BC， ∵AC、AB、BC是正方形的对角线， ∴AC=AB=BC， ∴△ABC为等边三角形． ∴∠BAC=60°． 故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、正方形与正方形的性质；证明△ABC为等边三角形是解题的关键． 3．（22-23八年级上·上海·期末）如图，在正方形ABCD中，以BC为边在正方形外部作等边三角形BCE，连结DE,则∠CDE的度数为 °. 【答案】15 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴DC=BC，∠BCD=90°， ∵△BCE是等边三角形， ∴BC=CE，∠BCE=60°， ∴CD=CE， ∴∠CDE=∠CED， 又∠DCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°， ∴∠CDE=（180°-150°）=15°． 4．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，小志同学将边长为3的正方形塑料模板与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点处，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】9 【分析】首先判定△ABE≌△ADF，然后即可得出四边形的面积即为正方形塑料模板的面积，即可得解. 【详解】由已知得，∠EAF=90°，∠BAD=90°，AB=AD ∴∠EAB=∠FAD ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴ 故答案为9. 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质和正方形的性质，熟练掌握，即可解题. 5．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)135° 【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形； （2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解． 【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键． 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论； （2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）； （2）∵FD=FE， ∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=135°-2x， ∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°， 解得：x=30， ∴∠AFE=60°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式训练11 根据正方形的性质与判定求线段长】 1．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　） A．2 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用正方形的性质得到OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，利用等角的余角相等可证得∠CON＝∠DOM，则可判断△OCN≌△ODM，所以S△OCN＝S△ODM，从而得到S△ODC＝S四边形MOND＝2，然后利用等腰三角形的面积计算出OD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°， ∴∠CON＝∠DOM， 在△OCN和△ODM中， ， ∴△OCN≌△ODM（ASA）， ∴S△OCN＝S△ODM， ∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON， 即S△ODC＝S四边形MOND＝2， ∵OD•OC＝2， 而OD＝OC， ∴OD＝2， ∴BD＝2OD＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．证明△OCN≌△ODM是解决问题的关键． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理可求AE的长，通过证明四边形AFCE是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为12， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用面积法求GH的长是本题的关键． 3．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形的边长为8，点E为正方形边上一点，，则线段的长为 ． 【答案】6或 【分析】直接根据正方形的性质进行计算可得答案． 【详解】解：当点E在边上时，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当点E在边上时，如图： ∵，， ∴． 故答案为：6或． 【点睛】此题考查的是正方形的性质，能够进行分类讨论是解决此题的关键． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为1，E为对角线上一点，，作交于F，则 ． 【答案】 【分析】连接AF，由正方形的性质和已知条件证明Rt△ABF≌Rt△AEF全等即可得到BF＝EF，再根据等腰三角形的判定得出EC＝EF．设未知数列方程即可求解． 【详解】连接AF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠AEF＝90°，∠ACB＝∠EFC＝45°， 在Rt△ABF和Rt△AEF中， ∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL）， ∴BF＝EF． ∵EF⊥AC， ∴∠ACB＝∠EFC＝45°， ∴EC＝EF． 设BF为x，则CF为(1-x)， ∵, ∴， 解得，，（舍去） ； 故答案为： 【点睛】本题主要考查正方形的性质和直角三角形全等判定和性质以及勾股定理，解题关键是根据相关性质得出线段之间的关系，利用勾股定理列方程． 5．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，正方形ABCD，CEFG的边长分别为a，b，点G在边CD上，这两个正方形的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，求DG的长． 【答案】3 【分析】设BC为x，CE为y，利用面积之差为51cm2，且BE＝17cm，得出方程解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD，CEFG都是正方形， 设BC为x，CE为y， 可得：， 解得：x−y＝3， ∴DG＝CD−CG＝BC−CE＝3（cm）． 【点睛】此题考查正方形的性质，关键是利用面积之差为51cm2，且BE＝17cm，得出方程解答． 6．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°． （1）求作正方形ABCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）已知（1）中所作正方形ABCD的边长为a，点E在AB上，且AE：BE＝3：2，若点Q是AC上的动点，求QB+QE的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）a 【分析】（1）分别以A，C为圆心，AB为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD，正方形ABCD即为所求． （2）连接DE交AC于点Q，连接BQ，点Q即为所求，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求． （2）如图，点Q即为所求． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝a，∠DAE＝90°， ∵AE：EB＝3：2， ∴AE＝a， ∴最小值＝DE＝a． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，正方形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 【变式训练12 根据正方形的性质与判定求面积】 1．（22-23八年级上·湖北恩施·期末）图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位.    A．48 B．12 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和等腰三角形的性质，设,结合勾股定理，求得正方形的边长，即可求得答案. 【详解】   ∵与都是正方形， ∴， ∴， 设, ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴正方形的面积是：36， 故选： 【点睛】本题考查了正方形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，勾股定理的应用是解题的关键. 2．（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，在边长为1的正方形中，当第1次作，第2次作；第3次作，……依次方法继续作垂直线段，当作到第10次时，所得的最小的三角形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，然后根据等腰直角三角形的性质求出△AOD的面积，再求出△AOE的面积，△AEF的面积，根据计算结果可得下一次得到最小的三角形的面积是上一次三角形的，然后写出第10次时所得的最小的三角形的面积即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，边长为1， ∴AB=AD，正方形的面积为1， 第1次作AO⊥BD,则最小△AOD的面积=××1==， 第2次作EO⊥AD,最小△AOE的面积=×==； 第3次作EF⊥AO,最小△AEF的面积=×=， …， 依此类推,作到第10次时,最小三角形的面积=. 故选B． 【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据图形的特点找到变化规律． 3．（22-23九年级上·山东·单元测试）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是 ． 【答案】34 【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由勾股定理得EH，即可得出正方形EFGH的面积． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， ∵AE=BF=CG=DH， ∴AH=BE=CF=DG． 在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠BEF+∠BFE=90°， ∴∠BEF+∠AEH=90°， ∴∠HEF=90°， ∴四边形EFGH是正方形， ∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5， ∴EH=FE=GF=GH= 所以正方形EFGH的面积 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 4．（22-23八年级下·河北沧州·期末）菱形的边长为，，则以为边的正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接AC交BD于点O，得出△ABC是等边三角形，利用菱形的性质和勾股定理求得BO，得出BD，即可利用正方形的面积解决问题． 【详解】解：如图， 连接AC交BD于点O， ∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC，AB=4， ∴△ABC是等边三角形∠ABO=30°，AO=2， ∴BO==2 ， ∴BD=2OB=4， ∴正方形BDEF的面积为48． 故答案为48． 【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，注意特殊角的运用是解决问题的关键． 5．（17-18七年级下·安徽合肥·期中）（1）如图，正方形和的边长分别为，用含的代数式表示的面积， ； （2）如图，边长为的正方形、边长为的正方形和边长为的正方形的位置如图所示，点在线段上，则 ．（请直接写出结果，不需要过程）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）连接AC，依据AC∥GE，即可得出S△AEG＝S△CEG＝S正方形CEFG＝b2； （2）连接AC，GE，FN，依据GE∥FN，即可得出S△NEG＝S△FEG＝S正方形CEFG＝b2，进而得到S△AEN＝S△AEG＋S△NEG＝b2＋b2＝b2． 【详解】（1）如图1，连接AC， 由题可得，∠ACB＝∠GEC＝45， ∴AC∥GE， ∴S△AEG＝S△CEG＝S正方形CEFG＝b2； 故答案为：b2； （2）如图2，连接AC，GE，FN， 由（1）可得，S△AEG＝S△CEG＝S正方形CEFG＝b2； 由题可得，∠HFN＝∠FGE＝45， ∴GE∥FN， ∴S△NEG＝S△FEG＝S正方形CEFG=b2 ∴ 故答案为：b2． 【点睛】此题主要考查正方形的性质，三角形和正方形面积公式的运用，结合图形，利用同底等高的两三角形面积相等，巧妙转化是解决问题的关键． 6．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，把边长为的等边三角形绕边的中点O旋转，得到． (1)四边形是什么样的四边形？说明理由． (2)求四边形的两条对角线的长度． (3)求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)，． (3) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理． （1）直接利用中心对称的性质，结合菱形的判定方法得出答案； （2）直接利用中心对称的性质利用勾股定理得出答案； （3）直接利用菱形面积对角线乘积的一半得出答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：把边长为的等边绕边的中点旋转，得到， ， ， 四边形是菱形； （2）解：把边长为的等边绕边的中点旋转，得到， ，， ， ， 四边形的两条对角线的长度分别为和； （3）解：四边形的面积为：． 【变式训练13 根据正方形的性质与判定证明】 1．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，正方形中，、是对角线上的两点，，，则四边形的面积为（    ）． A．12 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】连接AC，由正方形性质得到AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，进而得到OE＝OF，根据菱形的判定证得四边形AECF是菱形，根据菱形的面积公式两对角线的积的一半即可求得结果． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝6， ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∵BE＝DF＝4， ∴BF＝DE＝BD−BE＝2， ∴OE＝OF，EF＝DF−DE＝2， ∴四边形AECF是菱形， ∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定和面积公式，能够证得四边形AECF是菱形是解决问题的关键． 2．（22-23八年级下·天津·期中）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．则图中与△AOB全等的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可以得到对角线互相垂直平分且相等，据此即可证明△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA，问题得解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OB＝OC＝OD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA， ∴与△AOB全等的三角形有三个． 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟知正方形的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ． 【答案】 【分析】根据题意，，进而可知△PBD的面积等于的面积，根据正方形的面积进而即可求得△PBD的面积． 【详解】四边形是正方形， ，， 是∠DCE的平分线， ， ， ， 正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，正方形的性质，平行线的性质，证明是解题的关键． 4．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，在正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交于G，连接，．（1） ；（2） ；（3）正方形的边长为 ． 【答案】 1 45 3 【分析】（1）由翻折的性质及全等三角形的性质可求出AG=FG； （2）根据正方形的性质及角的和差关系可得； （3）设边长为x，得到BG=x-1，BE=，GE=1+，根据勾股定理列出方程，故可求解． 【详解】（1）根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF， ∴EF＝EC，DF＝DC，∠CDE＝∠FDE， ∵DA＝DF，DG＝DG， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， ∴∠ADG＝∠FDG，AG＝FG=1 （2）∵△DEC≌△DEF，Rt△ADG≌Rt△FDG ∴∠GDE＝∠FDG＋∠FDE＝（∠ADF＋∠CDF）＝45° （3）∵△DEC≌△DEF，Rt△ADG≌Rt△FDG ∴GF=GA=1，EC=EF 设正方形边长为x，得到BG=x-1，BE=，GE=1+， 在Rt△BEG中，GE2=BG2+BE2 ∴（1+）2=（x-1）2+（）2 解得x=3 ∴正方形的边长为3 故答案为：1；45；3． 【点睛】此题考查了翻折性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握其性质是解决此题关键． 5．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形的对角线与交于点，分别过点、点作CE//BD，DE//AC，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形OCED是平行四边形，由正方形的性质得出OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，即可得出四边形OCED是正方形． 【详解】证明：∵CEBD，DEAC， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC=OB=OD，AC⊥BD， ∴四边形OCED是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 6．（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，与相交点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是定值为1 【分析】（1）过点分别作，垂足分别为点，由题意易得，则有四边形为矩形，然后可得四边形为正方形，进而可证，最后问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据等积法可进行求解． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，垂足分别为点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：四边形的面积为定值，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，     所以，四边形的面积为定值1． 【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 【变式训练14 中点四边形】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定以及三角形的中位线定理，顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形，再根据即可证明结论． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，，，， 且， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 故选：C． 2．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 B．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是菱形 C．顺次连接矩形各边中点的四边形是矩形 D．顺次连接菱形各边中点的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了中点四边形，熟知平行四边形，菱形，正方形和矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，原说法正确； B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点的四边形是菱形，原说法错误； C、顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，原说法错误； D、顺次连接菱形各边中点，所形成的四边形是矩形，不一定是正方形，原说法错误． 故选：A． 3．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）四边形的对角线、满足条件: 时，顺次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线性质得出，，，，求出，，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据，和求出，再根据矩形的判定得出答案即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由：点、、、分别是边、、、的中点，   ，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， 即， 四边形是矩形， 即当时，顺次连接四边形各边中点所得的四边形为矩形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，三角形的中位线性质，中点四边形等知识点，能熟记平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定是解此题的关键． 4．（2023·广东汕头·一模）如图：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面积为8，那么四边形AnBnCnDn的面积为 ． 【答案】 【分析】根据矩形A1B1C1D1面积、四边形A2B2C2D2的面积、四边形A3B3C3D3的面积，即可发现新四边形与原四边形的面积的一半，找到规律即可解题． 【详解】解：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，则四边形A2B2C2D2的面积为矩形A1B1C1D1面积的一半， 顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，则四边形A3B3C3D3的面积为四边形A2B2C2D2面积的一半， 故新四边形与原四边形的面积的一半， 则四边形AnBnCnDn面积为矩形A1B1C1D1面积的， ∴四边形AnBnCnDn面积=×8=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了学生找规律的能力，本题中找到连接矩形、菱形中点则形成新四边形的面积为原四边形面积的一半是解题的关键． 5．（22-23八年级下·河南开封·期中）已知：如图四边形四条边上的中点E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形，四边形的形状是什么？并证明结论． 【答案】平行四边形，证明见解析 【分析】连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形． 【详解】解：四边形EFGH的形状是平行四边形． 证明：如图，连接BD， ∵E、H分别是AB、AD中点， ∴EH∥BD，EH=BD， 同理FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确的构造三角形病正确的运用中位线定理，难度不大． 6．（22-23八年级·北京西城·期中）如图，在四边形中，E，F，G和H分别是各边中点．求证：四边形为平行四边形．    【答案】见解析 【分析】连接AC，由点E是AB的中点、点F是BC的中点，可得出EF为△ABC的中线，进而可得出EF∥AC、EF=AC，同理，可得出HG∥AC、HG=AC，即EF∥HG、EF=HG，再利用平行四边形的判定定理即可证出四边形EFGH是平行四边形． 【详解】解：证明：连接AC，如图所示． ∵点E是AB的中点，点F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF=AC． 同理，可得出：HG∥AC，HG=AC， ∴EF∥HG，EF=HG， ∴四边形EFGH是平行四边形．    【点睛】本题考查了中点四边形、中线以及平行四边形的判定，根据三角形中线定义找出EF∥HG、EF=HG是解题的关键． 【变式训练15 （特殊）平行四边形的动点问题】 1．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2019次相遇地点的坐标是（　　）    A．（1，﹣1） B．（2，0） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1） 【答案】B 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】如图所示，    由题意可得：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2， 由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇； 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵2019÷3=673， ∴两个物体运动后的第2019次相遇地点的是A点， 此时相遇点的坐标为：（2，0）. 故选B. 【点睛】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题． 2．（22-23八年级上·山东烟台·期末）如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答案】B 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是矩形． 【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解． 3．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？    【答案】3 【分析】由运动时间为秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解． 【详解】解：设秒后，四边形是平行四边形， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， 秒时四边形是平行四边形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，关键是由，得到． 4．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    【答案】6或11/11或6 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 5．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，点点即停止，点同时出发，设运动时间为．    (1)当为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1)当时，四边形是平行四边形 (2)当时，四边形是平行四边形 【分析】（1）根据题意用含的式子表示，，，根据四边形是平行四边形可得，由此即可求解； （2）根据题意用含的式子表示，根据四边形是平行四边形可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得， ∴当时，四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查动点，平行四边形的综合，理解动点的运算，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，射线AM∥BN，点E，F，D在射线AM上，点C在射线BN上，且∠BCD＝∠A，BE平分∠ABF，BD平分∠FBC． (1)求证：AB∥CD． (2)如果平行移动CD，那么∠AFB与∠ADB的比值是否发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这两个角的比值． (3)如果∠A＝100°，那么在平行移动CD的过程中，是否存在某一时刻，使∠AEB＝∠BDC？若存在，求出此时∠AEB的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）不变，理由见解析；（3）存在，60° 【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠A+∠ABC=180°，然后可证得AB∥CD； （2）根据三角形外角的性质可直接得出结论； （3）根据平行线的性质得到∠ABC=80°，设∠CBD=∠FBD=∠FDB=x°，根据角平分线的性质得到∠EBD=40°，于是得到∠AEB=x°+40°．得到∠BDC=80°-x°，根据∠AFC=∠ADB，列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABC=180°， 又∵∠BCD=∠A， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥CD； （2）∵AM∥BN，∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠FBC， ∴∠FBD=∠DBC， ∴∠FBD=∠FDB， 当CD向右平移时，∠FBD增大，∠ABC不变， ∵∠FBD=∠FDB，∠BFA=∠FBD+∠FDB，∴∠AFB：∠ADB=2：1； （3）存在， 理由：∵∠A=100°， ∴∠ABC=80°， 设∠CBD=∠FBD=∠FDB=x°， ∵BE平分∠ABF，BD平分∠FBC， ∴∠EBD=40° ∴∠AEB=x°+40°． ∵AM∥BN，∠BCD=100°， ∴∠CDA=80°， ∴∠BDC=80°-x°， ∵∠AEB=∠BDC， ∴x°+40°=80°-x°，解得x=20°， ∴∠AEB=20°+40°=60°． 【点睛】考查了平行线的性质与平行四边形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用． 1．（23-24八年级下·河南周口·期中）下列关于正方形的说法错误的是（    ） A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角 B．正方形有四条对称轴 C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，解题的关键是了解正方形的性质．利用正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，故A正确，不符合题意； B：正方形有四条对称轴，故B正确，不符合题意； C：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，故C正确，不符合题意； D：由于正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，所以正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离一定相等，故D错误，符合题意； 2．（22-23九年级上·福建厦门·期末）如图，正方形的对角线交于点O，点M在内，将点M绕点O逆时针旋转，则M的对应点在（    ） A．内 B．内 C．内 D．内 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质可得，再由旋转的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，即， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∵点M在内， ∴， ∴M的对应点在内． 故选：A 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转，熟练掌握正方形的性质，图形的旋转的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）四个正方形如图摆放，除外，其余各点均为所在线段的中点．其中最小的正方形边长为，请问四个正方形中有几个正方形的边长为无理数？（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质和无理数，根据正方形的性质求出各个正方形的边长进行判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意得正方形的边长为， ∴, ∴， ∴正方形的边长为2， ∵， ∴， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴正方形的边长为4， ∴四个正方形中有2个正方形的边长为无理数， 故选：B． 4．（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：， ， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 5．（22-23八年级上·重庆·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且，则的长为（    ） A．5 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意图形的特点可知阴影部分的边长，再根据，找到边长的关系即可求解． 【详解】设AB=c,AC=b,BC=a 由图可得阴影部分的长为b-(c-a)，宽为b-(c-a)，故为正方形 ∴b-(c-a)=2 又a+b=7 ∴c=5 故选A． 【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据图形的特点求出阴影部分的边长． 6．（22-23九年级上·甘肃酒泉·期中）正方形的对角线长为8，则面积为 ． 【答案】32 【分析】根据正方形的面积等于对角线的乘积的一半进行计算即可． 【详解】正方形的对角线长为8 正方形的面积为： 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查了正方形的面积公式和性质，熟练掌握利用对角线求正方形的面积的方法是解题的关键． 7．（23-24九年级上·上海青浦·期中）在矩形中，与相交于点O，要使四边形是正方形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填写一种情况） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是（答案不唯一）， 理由：四边形是矩形，， 四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（22-23八年级下·河北张家口·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积， ∴S阴＝S正方形ABCD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 9．（23-24八年级下·北京·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识， 先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：④． 10．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，动点P以每秒的速度从点A向点D运动．另一动点Q以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为 秒．    【答案】0或4 【分析】根据平行四边形的性质可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形， 以点、、、为顶点组成平行四边形， ， ∵点P以每秒的速度，点Q以每秒的速度运动， ∴点P运动时间为秒，此时点Q从点C运动到点B，又从点B运动到点C， ①点的运动路线是，可得， 解得：； ②点的运动路线是，可得， 解得：； 综上所述，秒或4秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：0或4． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 11．（22-23八年级下·福建龙岩·期中）有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形．（ 在两个图中画出拼接的虚线）    【答案】见解析 【分析】5个边长为1的正方形的面积为5，因此分割后拼接成一个大正方形的面积也是5，拼接的大正方形的边长为，根据勾股定理可知是直角边为1、2的直角三角形的斜边，因此把5个边长为1的正方形分成4个直角边为1、2的直角三角形和一个边长为1的正方形，利用赵爽弦图拼接即可． 【详解】分割方法和拼接方法分别如图（1）和（2）．    【点睛】本题主要考查了图形的剪拼，正方形的性质，根据题意确定所拼接的大正方形的边长是解题的关键． 12．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，点E在正方形ABCD的内部，且∠AEB=90°，AE=6，BE=8，求阴影部分的面积． 【答案】76 【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案． 【详解】解： ∠AEB=90°，AE=6，BE=8， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力． 13．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图所示，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，，． (1)这个图形变换中，旋转中心是__________，旋转角度是__________，_________． (2)求证：直线 【答案】(1)A，，， (2)证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，熟知旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可知为旋转角，A为旋转中心，，即可求解； （2）延长交于点，求得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，旋转一定角度后得到， ∴，， 由旋转的性质可得：旋转中心是A，旋转角度是，， ∴； （2）延长交于点，如图： 由旋转的性质可得： 又∵ ∴ ∴． 14．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O． (1)求证：AF与DE互相平分； (2)当△ABC满足___________时，四边形ADFE是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)AB＝AC且∠BAC＝90° 【分析】（1）证明四边形DFEA是平行四边形，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得出AF⊥BC，再根据三角形中位线定理及正方形的判定可得出结论． 【详解】（1）证明：∵△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O， ∴EF是△ABC的中位线，AD＝BD， ∴EFAB，EFAB＝AD， ∴四边形DFEA是平行四边形， ∴AF与DE互相平分． （2）解：当△ABC满足AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形ADFE是正方形， 理由如下： 由（1）得：四边形ADFE是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AF是△ABC的中线， ∴AF⊥BC， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DEBC， ∴AF⊥DE， ∴平行四边形ADFE是菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴四边形ADFE是正方形． 故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°． 【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 15．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝18cm，BC＝26cm，动点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？ (2)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ 【答案】(1)t＝6.5 (2)t＝4.5 【分析】（1）要使得四边形ABQP为矩形，只要AP＝BQ即可，从而可以求得此时t的值； （2）要使得四边形PQCD为平行四边形，只要PD＝CQ即可，从而可以求得此时t的值． 【详解】（1）当AP＝BQ时，四边形ABQP为矩形， ∴t＝26﹣3t， 解得，t＝6.5 即当t＝6.5s时，四边形ABQP为矩形； 故答案为：t＝6.5． （2）当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形， ∴18﹣t＝3t， 解得，t＝4.5 即当t＝4.5s时，四边形PQCD为平行四边形． 故答案为：t＝4.5． 【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$