第06讲 有理数的乘法（4个知识点+4个考点+易错分析）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第06讲 有理数的乘法（4个知识点+4个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解有理数乘法的意义,掌握有理数的乘法法则及多个有理数相乘的符号法则,会进行有理数的乘法运算. 2.理解有理数的乘法运算律,并会运用运算律简化运算3.理解有理数的倒数的意义,会求一个有理数的倒数 4.能利用有理数的乘法解决实际问题 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 【例1】计算： (1)5×(－9); (2)(－5)×(－9)； (3)(－6)×(－9); (4)(－6)×0； (5)(－)×. 【变式1-1】计算：等于 ． 【变式1-2】 ___________； 【变式1-3】计算：_________． 知识点2.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 【例2】求下列各数的倒数． (1)－； (2)2； (3)－1.25； (4)5. 【变式2-1】．（23-24七年级上·广东江门·期中）若一个数的倒数是，则这个数是（    ） A． B．4 C． D．0.25 【变式2-2】2024春·广东珠海·七年级开学考试）一个数的倒数是它本身，那么这个数是（　　） A．0 B．0或1 C．1或 D．0或 【变式2-3】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 知识点3.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 【例3】计算： (1)－2×3×(－4)； (2)－6×(－5)×(－7)； (3)0.1×(－0.001)×(－1)； (4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)； (5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37. 【变式3-1】（2023秋·浙江·七年级专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式3-2】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)； 知识点4.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 【例4】计算： (1)(－＋)×(－24)； (2)(－7)×(－)×. 【变式4-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算，运用哪种运算律可避免通分（   ） A．加法交换律和加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．分配律 【变式4-2】计算： ． 【变式4-3】计算： 【例5】计算：－32×＋(－11)×(－)－(－21)×. 【变式5-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）用适当的方法进行简便的计算： 【变式5-2】简便运算 【变式5-3】（2023秋·全国·七年级专题练习）简便计算 易错点 利用分配律时出错 【例6】．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ． (2)结合上述解法给你的启发，计算：． 【变式6-1】．（22-23七年级上·广西南宁·期中）运算律是解决许多数学问题的基础，在运算中有重要的作用，充分运用运算律能使计算简便高效． 例如：． 解：． (1)计算：，A同学的计算过程如下： 原式． 请你判断A同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． (2)请你参考例题，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：． 【变式6-2】（2023秋·浙江·七年级专题练习）学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式=． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式= = （                     ） = = ． (1)请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理? (2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗? (3)用你认为最合适的方法计算： 考点1：相反数、倒数、绝对值的综合应用 1.已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求－cd＋|m|的值． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数． 3．（23-24七年级上·云南昆明·期中）若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 4．（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）请根据图示的对话解答下列问题． 已知与互为相反数 与互为倒数 (1)______，______． (2)已知，求的值． 5．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 6．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 考点2：有理数乘法的新定义问题 7.若定义一种新的运算“*”，规定a*b＝ab－3a.求3*(－4)的值． 8．（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）已知为有理数，如果规定一种运算“”，，则的值是（　　） A． B． C． D． 9.若“！”是一种数学运算符号，并且，，则 ． 10．（23-24七年级上·河南周口·期中）若“※”是新规定的某种运算符号，设，则的值为 ． 11．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 考点3:运用有理数的乘法运算解决实际问题 12.我市旅游局发布统计报告：国庆期间，溱湖风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数). 日期 10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月 7日 人数变化 单位：万人 ＋1.2 ＋0.8 ＋0.2 －0.2 －0.6 ＋0.2 －1 若9月30日的游客人数为0.6万人，10月1日～10月3日门票为每人150元，10月4日～10月5日门票为每人120元，10月6日～10月7日门票为每人100元，问国庆期间溱湖风景区门票收入是多少元？ 13.某果农把自家果园的草莓包装后再进行销售，原计划每天卖10箱，但由种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有所增减，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足额记为负，单位：箱） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表格可知，销售量最多的一天比最少的一天多卖出__________箱； (2)本周实际销售总量超过或不足计划数量多少箱？请通过计算说明理由； (3)若每箱草莓的售价为65元，已知果园有3个工人，每人每天的开支为80元，卖出每箱草莓需支出包装费5元，那么该果农本周共获利多少元？ 14．（2023秋·江苏·七年级专题练习）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前四天共生产 　　辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 　　辆； (3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 考点4：有理数乘法的规律探究 15．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ；（填序号） （2）若，且a、b为整数，则的最大值为 ； 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若，试比较与0的大小． 16．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 一、单选题 1．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下列运算结果为正数的是（    ） A． B． C． D．． 2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24七年级上·浙江·期末）计算： ． 5．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）绝对值小于3.5的整数的积为 ． 6．（23-24七年级上·广东深圳·期中）对于任意有理数a，b，规定，如，则 ． 7．（2023秋·全国·七年级专题练习）用简便方法计算： ． 三、解答题 8．（23-24七年级上·湖南常德·期中）用简便方法计算： 9．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）． 10．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）已知，， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 11．（22-23七年级上·河南许昌·阶段练习）请你参考黑板中老师的讲解 用运算律简便计算： (1) (2) 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）小明骑摩托车从咖啡店出发，在东西向的大道上送咖啡．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中小明的五次行驶记录如下（单位：km）：，+8，，+6，． (1)求第五次咖啡送完时小明在咖啡店的什么方向？距离多少千米？ (2)若摩托车每千米耗油量为升，小明从出发送第一次咖啡到送完五次咖啡后返回咖啡店共耗油多少升？ 13．（23-24七年级上·天津宁河·期中）出租车司机小张某天下午的营运都是在一条东西走向的大道上，如果规定向东为正，向西为负，那么这天下午小张的行车路程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)当小张将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点多少千米？ (2)若每千米的营运额为5元，则小张这天下午的总营运额为多少元？ (3)在(2)的条件下，如果营运成本为每千米1.5元，那么这天下午小张盈利 元． 14．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 15．计算：． 晓莉的计算过程如下： 解：原式① ② ．③ 请问晓莉的计算过程正确吗？如果不正确，请指出开始出错的步骤，并写出正确的计算过程． 16.计算：． 嘉佳的计算过程如下： 解：原式 ． 请问嘉佳的计算过程正确吗？如果不正确，请给出正确的计算过程． 17．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题： (1)该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表盈利为正，亏损为负，单位：元． 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计 350 1900 4600 表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏，盈亏是多少． (2)该蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，月平均每月亏损2万元，月平均每月亏损1万元，月平均每月盈利5万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何． 18．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘法（4个知识点+4个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解有理数乘法的意义,掌握有理数的乘法法则及多个有理数相乘的符号法则,会进行有理数的乘法运算. 2.理解有理数的乘法运算律,并会运用运算律简化运算3.理解有理数的倒数的意义,会求一个有理数的倒数 4.能利用有理数的乘法解决实际问题 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 【例1】计算： (1)5×(－9); (2)(－5)×(－9)； (3)(－6)×(－9); (4)(－6)×0； (5)(－)×. 解析：(1)(5)小题是异号两数相乘，先确定积的符号为“－”，再把绝对值相乘；(2)(3)小题是同号两数相乘，先确定积的符号为“＋”，再把绝对值相乘；(4)小题是任何数同0相乘，都得0. 解：(1)5×(－9)＝－(5×9)＝－45； (2)(－5)×(－9)＝5×9＝45； (3)(－6)×(－9)＝6×9＝54； (4)(－6)×0＝0； (5)(－)×＝－(×)＝－. 方法总结：两数相乘，积的符号是由两个乘数的符号决定：同号得正，异号得负，任何数乘以0，结果为0. 【变式1-1】计算：等于 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-2】 ___________； 【答案】 【详解】解：原式=﹣， 【变式1-3】计算：_________． 【答案】 【详解】 知识点2.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 【例2】求下列各数的倒数． (1)－；(2)2；(3)－1.25；(4)5. 解析：根据倒数的定义依次解答． 解：(1)－的倒数是－； (2)2＝，故2的倒数是； (3)－1.25＝－，故－1.25的倒数是－； (4)5的倒数是. 方法总结：乘积是1的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数时，先把小数化为分数再求解．当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便． 【变式2-1】．（23-24七年级上·广东江门·期中）若一个数的倒数是，则这个数是（    ） A． B．4 C． D．0.25 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，掌握互为倒数两个数乘积为1是解决此题的关键． 【详解】解：∵一个数的倒数是， ∴这个数是， 故选：A． 【变式2-2】2024春·广东珠海·七年级开学考试）一个数的倒数是它本身，那么这个数是（　　） A．0 B．0或1 C．1或 D．0或 【答案】C 【详解】解：∵， ∴1的倒数是1， ∵， ∴的倒数是， ∵0没有倒数， ∴这个数是1或． 【变式2-3】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了相反数和倒数，熟记定义是解题关键．先根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）可得这个数为0.1，再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）即可得． 【详解】解：∵一个数的相反数是， ∴这个数是0.1， ∵， ∴0.1的倒数是10， 故答案为：10． 知识点3.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 【例3】计算： (1)－2×3×(－4)； (2)－6×(－5)×(－7)； (3)0.1×(－0.001)×(－1)； (4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)； (5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37. 解析：先确定结果的符号，然后再将它们的绝对值相乘即可． 解：(1)原式＝－6×(－4)＝24； (2)原式＝30×(－7)＝－210； (3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001； (4)原式＝100×(－3)×(－0.5)＝－300×(－0.5)＝150； (5)原式＝0. 方法总结：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 【变式3-1】（2023秋·浙江·七年级专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3-2】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【分析】（2）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （3）根据有理数的乘法计算法则求解即可； 【详解】（2）解： ； （3）解： ； 知识点4.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 【例4】计算： (1)(－＋)×(－24)； (2)(－7)×(－)×. 解析：第(1)题，按运算顺序应先算括号内的再算括号外的，显然括号内两个分数相加，通分较麻烦，而括号外面的因数－24与括号内每个分数的分母均有公因数，若相乘可以约去分母，使运算简便．因此，可利用乘法分配律进行简便运算．第(2)题，仔细观察，会发现第1个因数－7与第3个因数的分母可以约分，因此可利用乘法的交换律把它们先结合运算． 解：(1)(－＋)×(－24)＝(－)×(－24)＋×(－24)＝20＋(－9)＝11； (2)(－7)×(－)×＝(－7)××(－)＝(－)×(－)＝. 方法总结：当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂，而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些，这时可用运算律进行简化运算． 【变式4-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算，运用哪种运算律可避免通分（   ） A．加法交换律和加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．分配律 【答案】D 【分析】根据乘法分配律解答即可. 【详解】因为， 所以计算时，运用乘法分配律可避免通分， 故选：D. 【点睛】本题考查了有理数的运算律，正确理解题意、熟知乘法分配律是解题的关键. 【变式4-2】计算： ． 【答案】8 【分析】利用有理数的乘法分配律计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了有理数乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键． 【变式4-3】计算： 【答案】2 【分析】根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握分配律是解题的关键． 键是掌握有理数的运算律和相关运算法则． 【例5】计算：－32×＋(－11)×(－)－(－21)×. 解析：根据乘法分配律的逆运算可先把－提出，可得－×(32－11－21)，再计算括号里面的减法，后计算乘法即可． 解：原式＝－×(32－11－21)＝0. 方法总结：如果按照先算乘法，再算加减，则运算比较繁琐，且符号容易出现问题，但如果逆用乘法的分配律，则可以使运算简便． 【变式5-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）用适当的方法进行简便的计算： 【详解】 ． 【变式5-2】简便运算 【详解】解： ； 【变式5-3】（2023秋·全国·七年级专题练习）简便计算 【详解】 ； 易错点 利用分配律时出错 【例6】．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ． (2)结合上述解法给你的启发，计算：． 【答案】(1)⑤， (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据乘法运算的结合律进行判定即可； （2）结合材料提示，运用有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：第⑤的计算是， ∴在第⑤步出现错误，正确结果是， 故答案为：⑤，． （2）解： ． 【变式6-1】．（22-23七年级上·广西南宁·期中）运算律是解决许多数学问题的基础，在运算中有重要的作用，充分运用运算律能使计算简便高效． 例如：． 解：． (1)计算：，A同学的计算过程如下： 原式． 请你判断A同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． (2)请你参考例题，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：． 【答案】(1)A同学的计算是错误的，过程见解析 (2)0 【分析】（1）先说明A同学的错误，再把除法变为乘法，最后运用运算律去括号计算即可； （2）先根据积不变规律变形，再根据乘法运算律可以解答本题． 【详解】（1）解：∵A同学运用乘法分配律时第二个数的符号处理错误， ∴A同学的计算是错误的， 原式=． （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法分配律，解答本题的关键是明确有理数的乘法分配律的计算方法． 【变式6-2】（2023秋·浙江·七年级专题练习）学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式=． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式= = （                     ） = = ． (1)请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理? (2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗? (3)用你认为最合适的方法计算： 【答案】(1)见解析 (2)有，具体见解析 (3) 【分析】（1）根据乘法分配律计算即可补全； （2）将改为，再根据乘法分配律计算即可； （3）根据（2）的计算方法同理计算即可． 【详解】（1）原式= =（乘法分配律） = =． 故答案为：，乘法分配律，，； （2）有，如下： 原式= =（乘法分配律） = =； （3） ． 【点睛】本题考查有理数的乘法．掌握乘法分配律是解题关键． 考点1：相反数、倒数、绝对值的综合应用 1.已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求－cd＋|m|的值． 解析：根据相反数的概念和倒数概念，可得a、b；c、d的等量关系，再由m的绝对值为6，可求m的值，把所得的等量关系整体代入可求出代数式的值． 解：由题意得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝6，m＝±6；∴①当m＝6时，原式＝－1＋6＝5；②当m＝－6时，原式＝－1＋6＝5.故－cd＋|m|的值为5. 方法总结：解答此题的关键是先根据题意得出a＋b＝0，cd＝1及m＝±6，再代入所求代数式进行计算． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数． 【答案】的相反数是 【分析】本题主要考查了倒数、绝对值的意义、相反数，先根据倒数的定义和绝对值的意义得出，，再结合得出，从而求得的值，最后根据相反数的定义即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：的倒数是，的绝对值是最小的正整数， ，， ， ， ， 的相反数是． 3．（23-24七年级上·云南昆明·期中）若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数和绝对值的意义，根据、互为相反数，、互为倒数，，求出，，，利用整体代入的思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，， ∴，，， ∴， ， ， ． 4．（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）请根据图示的对话解答下列问题． 已知与互为相反数 与互为倒数 (1)______，______． (2)已知，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查相反数、倒数、绝对值的非负性； （1）根据相反数及倒数可直接进行求解、的值， （2）根据（1）及绝对值的非负性可得、的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数，与互为倒数， ∴， 故答案为；； （2）由题意，得， 所以， 所以． 5．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 【答案】（1），或3；（2）的值是或 【分析】本题考查代数式求值，倒数、相反数、绝对值的意义，熟练理解相关定义，能据此得出式子的值是解题关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各式的值，代入原式计算即可求出值． （2））利用相绝对值的代数意义求出各数的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：（1）由题意得：， 故答案为， ，，，即， 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，原式的值是或3． （2），， ， ， ，． 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值是或． 6．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【答案】(1)，，，； (2)或 【分析】（1）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，，互为相反数，得到，根据，互为倒数，得到，根据的绝对值等于，所以，是数轴上原点表示的数，所以； （2）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，将、、、代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 的绝对值等于， ， 是数轴上原点表示的数， ； （2）解：①当时， ∴， ②当时， ∴， 的值为或． 考点2：有理数乘法的新定义问题 7.若定义一种新的运算“*”，规定a*b＝ab－3a.求3*(－4)的值． 解析：解答此类新定义问题时要根据题设先确定运算顺序，再根据有理数乘法法则进行计算． 解：3*(－4)＝3×(－4)－3×3＝－21. 方法总结：解题时要正确理解题设中新运算的运算方法． 8．（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）已知为有理数，如果规定一种运算“”，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义先计算括号里面的，再计算括号外面的即可得到结果． 【详解】解： 故选：D． 9.若“！”是一种数学运算符号，并且，，则 ． 【答案】100 【分析】根据，，可得出，从而表示出，，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， 故答案为：100． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，理解题意，通过题意得出规律是解题的关键． 10．（23-24七年级上·河南周口·期中）若“※”是新规定的某种运算符号，设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，根据新定义得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 考点3:运用有理数的乘法运算解决实际问题 12.我市旅游局发布统计报告：国庆期间，溱湖风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数). 日期 10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月 7日 人数变化 单位：万人 ＋1.2 ＋0.8 ＋0.2 －0.2 －0.6 ＋0.2 －1 若9月30日的游客人数为0.6万人，10月1日～10月3日门票为每人150元，10月4日～10月5日门票为每人120元，10月6日～10月7日门票为每人100元，问国庆期间溱湖风景区门票收入是多少元？ 解：10月1日的游客人数为0.6＋1.2＝1.8(万人)；10月2日的游客人数为1.8＋0.8＝2.6(万人)；10月3日的游客人数为2.6＋0.2＝2.8(万人)；10月4日的游客人数为2.8－0.2＝2.6(万人)；10月5日的游客人数为2.6－0.6＝2(万人)；10月6日的游客人数为2＋0.2＝2.2(万人)；10月7日的游客人数为2.1－1＝1.1(万人)．则该风景区国庆期间的门票收入为[150×(1.8＋2.6＋2.8)＋120×(2.6＋2)＋100×(2.2＋1.2)]×10000＝19720000(元)． 13.某果农把自家果园的草莓包装后再进行销售，原计划每天卖10箱，但由种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有所增减，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足额记为负，单位：箱） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表格可知，销售量最多的一天比最少的一天多卖出__________箱； (2)本周实际销售总量超过或不足计划数量多少箱？请通过计算说明理由； (3)若每箱草莓的售价为65元，已知果园有3个工人，每人每天的开支为80元，卖出每箱草莓需支出包装费5元，那么该果农本周共获利多少元？ 【答案】(1)24； (2)超过13箱；理由见解析 (3)1059元． 【详解】（1）解：（箱）， 即销售量最多的一天比最少的一天多卖出24箱， 故答案为：24； （2）， 答：本周实际销售总量超过13箱； （3） （元）， 答：该果农本周共获利1059元． 14．（2023秋·江苏·七年级专题练习）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前四天共生产 　　辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 　　辆； (3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)412 (2)26 (3)42675 【详解】（1）解：（辆）； 故答案为：； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）， 故答案为：． （3）解：根据图表信息，本周生产的车辆共计：． （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是42675元． 考点4：有理数乘法的规律探究 15．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ；（填序号） （2）若，且a、b为整数，则的最大值为 ； 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若，试比较与0的大小． 【答案】（1）①② （2）9 （3），时，若，则，若，则，若，则；，时，若，则，若，则，若，则． 【分析】本题考查了有理数加法和乘法法则及分类讨论的应用： （1）根据a、b同号，可能同为正数，也可能同为负数即可得到答案； （2）最大，需a、b同号，而知a、b均为负整数，分类讨论即可得答案； （3）根据a、b异号，分类讨论与0的大小． 【详解】（1）解：， a、b同号， a、b同为正数时，； a、b同为负数时，； 故答案为：①②； （2）解：，最大， a、b同号， ， a、b同为负数， a、b为整数， a、b分别为和，此时；或a、b分别为和，此时；或a、b分别为和，此时， 故答案为：9； （3）解：， a、b异号， ①设，则， 若，则， 若，则， 若，则， ②设，则， 若，则， 若，则， 若，则， 综上所述，，时，若，则，若，则，若，则；，时，若，则，若，则，若，则． 16．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 一、单选题 1．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下列运算结果为正数的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，结果为正数，符合题意； B、，结果既不是正数，也不是负数，不符合题意； C、，结果是负数，不符合题意； D、，结果是负数，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，比较有理数的大小．先根据乘法法则，判断出积的符号，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：根据乘法法则可知：A选项中的积为正数，B，C选项中的积为负数，D选项的积为0， ∴计算结果最大的是选项A． 故选A． 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法法则分别计算，即可判断求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不符题意； 、，该选项不符题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不符题意； 故选：． 二、填空题 4．（23-24七年级上·浙江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法； 根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）绝对值小于3.5的整数的积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，解题的关键是求出满足条件的所有整数．可以先求出所以满足条件的整数，再求和即可． 【详解】解：绝对值小于的所有整数为：，，，，，，， 所以绝对值小于的所有整数的和是， 故答案为． 6．（23-24七年级上·广东深圳·期中）对于任意有理数a，b，规定，如，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：15． 7．（2023秋·全国·七年级专题练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】根据乘法分配律，可得答案． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，把式子转化成乘法分配律的形式是解题关键． 三、解答题 8．（23-24七年级上·湖南常德·期中）用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法运算律，掌握运算法则即可． 【详解】解：原式 9．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用有理数的混合运算法则即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 10．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）已知，， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查绝对值的定义，有理数的乘法运算的含义，有理数的加减运算的含义，熟练掌握绝对值的定义，由已知条件确定，的值是解题关键． （1）根据绝对值的定义确定，可能的取值，再根据讨论确定，的值再计算即可得到答案． （2）根据绝对值的定义确定，可能的取值，再根据讨论确定，的值再计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ， ， 或． （2）∵，， ， ， 或， 或． 11．（22-23七年级上·河南许昌·阶段练习）请你参考黑板中老师的讲解 用运算律简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)99900 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先变形为，再根据乘法分配律计算； （2）根据乘法分配律的逆用计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）小明骑摩托车从咖啡店出发，在东西向的大道上送咖啡．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中小明的五次行驶记录如下（单位：km）：，+8，，+6，． (1)求第五次咖啡送完时小明在咖啡店的什么方向？距离多少千米？ (2)若摩托车每千米耗油量为升，小明从出发送第一次咖啡到送完五次咖啡后返回咖啡店共耗油多少升？ 【答案】(1)西方，2km (2)升 【分析】本题考查的是正负数的含义，有理数的加减混合运算的应用，乘法的应用，理解题意是关键； （1）把记录的数据相加，根据结果的符号与绝对值可得答案； （2）由路程乘以单位耗油量即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴第五次咖啡送完时小明在咖啡店的西方，距离出发点千米； （2）总路程为， 耗油量：（升） 13．（23-24七年级上·天津宁河·期中）出租车司机小张某天下午的营运都是在一条东西走向的大道上，如果规定向东为正，向西为负，那么这天下午小张的行车路程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)当小张将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点多少千米？ (2)若每千米的营运额为5元，则小张这天下午的总营运额为多少元？ (3)在(2)的条件下，如果营运成本为每千米1.5元，那么这天下午小张盈利 元． 【答案】(1)他离出发地点3千米 (2)小张这天下午的总营运额为575元 (3)402.5 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．解题是读懂题意，正确的列出算式． （1）将所有数据相加，根据和的情况进行分析即可； （2）将所有数据的绝对值相加，再乘以每千米的营运额即可； （3）用总路程乘以每千米的盈利计算即可． 【详解】（1）解：（千米）， 当小张将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点3千米； （2）（千米）， 小张这天下午的总营运额为：（元； （3）由（2）知，小张这天下午的总营运路程为115千米， 这天下午小张盈利为：（元． 14．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查相反数，倒数，绝对值，及坐标轴上点的计算问题，根据互为相反的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1及绝对值的性质，y轴负半轴上点是负数代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∵是数轴负半轴上到原点的距离为1的数， ∴， ∴原式 ． 15．计算：． 晓莉的计算过程如下： 解：原式① ② ．③ 请问晓莉的计算过程正确吗？如果不正确，请指出开始出错的步骤，并写出正确的计算过程． 【答案】不正确；见解析 【分析】利用乘法分配律进行计算并判断即可得出答案． 【详解】解：晓莉的计算过程不正确．开始出错的步骤为第②步，正确计算过程如下： 原式 ． 【点睛】本题考查了乘法分配律，在利用乘法分配律进行计算时，易因忽略符号或漏乘某数而导致错误，解题时还需注意两个运算符号不能连用． 16.计算：． 嘉佳的计算过程如下： 解：原式 ． 请问嘉佳的计算过程正确吗？如果不正确，请给出正确的计算过程． 【答案】不正确； 【分析】根据有理数的乘法法则即可判断，并写出正确的计算过程． 【详解】解：嘉佳的计算过程不正确． 正确计算过程如下：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数乘法法则． 17．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题： (1)该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表盈利为正，亏损为负，单位：元． 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计 350 1900 4600 表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏，盈亏是多少． (2)该蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，月平均每月亏损2万元，月平均每月亏损1万元，月平均每月盈利5万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何． 【答案】(1)盈利元 (2)盈利万元 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用以及正负数的实际意义： （1）根据合计可计算出星期四的数值，以此可判断出是盈还是亏； （2）根据题意可得到正负数，进行运算即可； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意可得： 星期四的数值为：， ∴星期四是盈利元； （2）解：蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，即三个月盈利（万元）， 月平均每月亏损2万元，即三个月亏损（万元）， 月平均每月亏损1万元，即两个月亏损（万元）， 月平均每月盈利5万元，即四个月盈利（万元）， 则（万元）， 即该蛋糕店去年情况为盈利万元． 18．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$