专题02 二元一次方程组8大核心考点【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

专题02 二元一次方程组 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、二元一次方程(组）的定义 2、二元一次方程（组）的解 3、解二元一次方程（组） 4、由实际问题抽象出二元一次方程（组） 5、二元一次方程组的应用 6、同解方程组 7、解三元一次方程组 8、三元一次方程组的应用 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 二元一次方程的解 2023·浙江衢州·中考真题 二元一次方程组的应用 2023·浙江绍兴·中考真题 解二元一次方程组 2023·浙江台州·中考真题 由实际问题抽象出二元一次方程 2023·浙江温州·中考真题 二元一次方程的应用 2022·浙江杭州·中考真题 二元一次方程组的应用 2023·浙江嘉兴·中考真题 一．二元一次方程（组）的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． （2）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 二．二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 三．解二元一次方程（组） 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 四．由实际问题抽象出二元一次方程（组） （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 五．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 六．同解方程组 同解方程组定义：如果两个方程组的解相同，那么这两个方程组就是同解方程组． 关于两个方程组同解的问题，要知道两个方程组四个二元一次方程都有同一组公共解，即随便把其中两个方程联立成方程组，解仍然相同． 七．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 八．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 1.整体消元法解方程组 1)整体代入消元法：代入消元法常规作法是当未知数系数为±1时，进行代入从而起到消元的目的。我们可以从整体入手，当两个方程中都存在相同的部分时，可以把它们视作一个整体。这样的话，就符合代入消元法的特征，从而实现消元。具体见下列实例： 2) 整体加减消元法：当两个方程之间有的字母系数有一定的规律，可以尝试用整体加减消元法，会得到一个比较特殊的式子，将这个式子和原来的式子在进行加减消元会比较容易。该方法技巧性比较强，读者需注意平时多积累尝试。 3) 整体换元法：把某一部分看作一个整体进行消元，达到转化为一元一次方程的方法 2.二元一次方程组同解问题 方法一：将不含参数的方程组组成新的方程组，求解方程的解；在将方程解代入含有参数方程中，组成另一组方程。若2组方程组中，都存在无参数的方程，则该方法比较简单。 方法二：将参数看做常数，直接求解出方程组的解。因为两个方程组同解，所以所得含参数的解相同。利用这个条件，再来求解参数。方法二相对比较麻烦，若2组方程组中的方程都含有参数，则只能用该方法。 真题感知 1．（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为(   ) A． B． C． D． 2．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·浙江宁波·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（2021·浙江金华·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是 ． 5．（2021·浙江丽水·中考真题）解方程组：． 6．（2018·浙江嘉兴·中考真题）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：                   解法二：由②，得，③   由①-②，得．           把①代入③，得． （1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误?若有误，请在错误处打“”． （2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答． 7．（2023·海南·中考真题）2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功．为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元．问甲、乙两种型号客车各租多少辆？ 提升专练 1．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知 是方程的一个解，那么的值是（　　） A． B． C． D． 5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有5个大容器和1个小容器可以装3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大容器、5个小容器可以装2斛．问：大容器、小容器分别可以装多少斛？设1个大容器装x斛，1个小容器装y斛，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 7．若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2024 8．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除阴影D，E外，其余3块都是正方形，若阴影E周长为8，下列说法中正确的是（　　） ①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 9．若关于x、y的方程组的解满足方程，那么k的值为（    ） A． B． C． D． 10．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 11．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（    ） A． B． C． D． 12．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 13．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺． 14．若是二元一次方程，则 ． 15．已知，，满足，且，则 ． 16．若，则_________； 17．某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度米分，平路速度米分，下坡速度米分，那么他从家到学校需要分钟，从学校回家需要分钟．则该同学家到学校全程是 米． 18．解方程组： (1) (2) 19．已知关于的二元一次方程组的解是，求的值． 20．关于的方程组与的解相同， (1)求这个相同解． (2)求的平方根． 21．某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作共加工小麦26吨． (1)台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ (2)该厂现有450吨小麦需要加工，计划使用台大面粉机和台小面粉机同时工作，能否全部加工完？请你帮忙计算一下． 22．阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”． (1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组 的解是______． (2)迁移：请用换元法解方程组：； (3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组 的解． 23．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题：    (1)求一张凳子中凳脚、凳面的高度； (2)当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二元一次方程组 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、二元一次方程(组）的定义 2、二元一次方程（组）的解 3、解二元一次方程（组） 4、由实际问题抽象出二元一次方程（组） 5、二元一次方程组的应用 6、同解方程组 7、解三元一次方程组 8、三元一次方程组的应用 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 二元一次方程的解 2023·浙江衢州·中考真题 二元一次方程组的应用 2023·浙江绍兴·中考真题 解二元一次方程组 2023·浙江台州·中考真题 由实际问题抽象出二元一次方程 2023·浙江温州·中考真题 二元一次方程的应用 2022·浙江杭州·中考真题 二元一次方程组的应用 2023·浙江嘉兴·中考真题 一．二元一次方程（组）的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． （2）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 二．二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 三．解二元一次方程（组） 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 四．由实际问题抽象出二元一次方程（组） （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 五．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 六．同解方程组 同解方程组定义：如果两个方程组的解相同，那么这两个方程组就是同解方程组． 关于两个方程组同解的问题，要知道两个方程组四个二元一次方程都有同一组公共解，即随便把其中两个方程联立成方程组，解仍然相同． 七．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 八．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 1.整体消元法解方程组 1)整体代入消元法：代入消元法常规作法是当未知数系数为±1时，进行代入从而起到消元的目的。我们可以从整体入手，当两个方程中都存在相同的部分时，可以把它们视作一个整体。这样的话，就符合代入消元法的特征，从而实现消元。具体见下列实例： 2) 整体加减消元法：当两个方程之间有的字母系数有一定的规律，可以尝试用整体加减消元法，会得到一个比较特殊的式子，将这个式子和原来的式子在进行加减消元会比较容易。该方法技巧性比较强，读者需注意平时多积累尝试。 3) 整体换元法：把某一部分看作一个整体进行消元，达到转化为一元一次方程的方法 2.二元一次方程组同解问题 方法一：将不含参数的方程组组成新的方程组，求解方程的解；在将方程解代入含有参数方程中，组成另一组方程。若2组方程组中，都存在无参数的方程，则该方法比较简单。 方法二：将参数看做常数，直接求解出方程组的解。因为两个方程组同解，所以所得含参数的解相同。利用这个条件，再来求解参数。方法二相对比较麻烦，若2组方程组中的方程都含有参数，则只能用该方法。 真题感知 1．（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可． 【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷， 由题意，得：， 即： 故选B． 【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 2．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程． 【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为， 则：，即， 故选A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 3．（2022·浙江宁波·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出方程组即可； 【详解】原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则； 已知谷子出米率为，则来年共得米； 则可列方程组为， 故选A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列出二元一次方程组，题目较简单，根据题意正确列出方程即可． 4．（2021·浙江金华·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】∵是方程的一个解， ∴6+2m=10， 解得m=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键． 5．（2021·浙江丽水·中考真题）解方程组：． 【答案】 【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 把①代入②，得， 解得． 把代入①，得． ∴原方程组的解是． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键． 6．（2018·浙江嘉兴·中考真题）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：                   解法二：由②，得，③   由①-②，得．           把①代入③，得． （1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误?若有误，请在错误处打“”． （2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答． 【答案】（1）解法一中的计算有误；（2）原方程组的解是 【分析】利用加减消元法或代入消元法求解即可． 【详解】（1）解法一中的计算有误（标记略）； （2）由①-②，得：，解得：， 把代入①，得：， 解得：， 所以原方程组的解是． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 7．（2023·海南·中考真题）2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功．为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元．问甲、乙两种型号客车各租多少辆？ 【答案】甲型号客车租辆，乙型号客车租辆 【分析】设甲型号客车租辆，乙型号客车租辆，根据题意列二元一次方程组求解，即可得到答案． 【详解】解：设甲型号客车租辆，乙型号客车租辆， 由题意得：， 解得：， 答：甲型号客车租辆，乙型号客车租辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题关键． 提升专练 1．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把代入方程组检验即可． 【详解】解：A、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； B、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； C、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； D、将代入方程组， 可得：， 即是方程组的解，符合题意； 故选：D． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义等知识点，根据含有两个未知数，且未知数的最高次数为1次的两个整式方程组成二元一次方程组，逐个判断即可，能熟记二元一次方程组的定义是解此题的关键， 【详解】A．原方程组为三元一次方程组，故该选项不符合题意； B．原方程组为二元一次方程组，故该选项符合题意； C．原方程组为二元二次方程组，故该选项不符合题意； D．原方程组不是整式方程，即不是二元一次方程组，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴， ∴， ∴，，，． 故☆表示的方程可能是． 故选C． 4．已知 是方程的一个解，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程的解，把代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 故选：A． 5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有5个大容器和1个小容器可以装3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大容器、5个小容器可以装2斛．问：大容器、小容器分别可以装多少斛？设1个大容器装x斛，1个小容器装y斛，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意，利用不同数量的大容器和小容器的总容量，分别列出两个方程，从而得到方程组． 【详解】解：设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积为y斛，则根据题意可列方程组为： ． 故选：C． 6．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用二元一次方程的定义（含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）分析得出答案． 【详解】解：A、含有未知数的项的最高次数为2，不符合二元一次方程定义，故此选项不合题意； B、只含有1个未知数，不符合二元一次方程定义，故此选项不合题意； C、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，所以不是二元一次方程，故此选项不合题意． 故选：C． 7．若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得方程的解，联立含有含a、b的两个方程，把方程的解代入，两方程相加可求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】∵和有相同的解， ∴可以把四个二元一次方程重新组合成方程组， ∵解方程组，得， ∴的解也为， 把代入， 得：， 两个方程相加，得， 整理，得， ∴ 故选：C. 8．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除阴影D，E外，其余3块都是正方形，若阴影E周长为8，下列说法中正确的是（　　） ①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，则，，阴影的长为，宽为，阴影的长为，宽为，由阴影的周长为8可求解值判定①；由阴影周长为6可求解值，即可求，进而判定②；由大长方形的面积为24，可求，假设三个正方形的周长为24，可求得，不成立，故可判定③． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ，， 阴影的长为，宽为， 阴影的长为，宽为， 阴影的周长为8， ， ， 即，故①正确； 阴影周长为6， ， 解得， ， ， 即正方形的面积为1，故②正确； 大长方形的面积为24， ， ， ， ， 假设三个正方形的周长为24， ， ， （不成立）， 若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24不成立．故③错误， 故选：B． 9．若关于x、y的方程组的解满足方程，那么k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组．解方程组得出，的值，再代入求解即可得到答案． 【详解】解：解方程组，得：， ∵方程组的解满足， ∴， 解得：， 故选：B． 10．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 把解代入方程组进行计算可得，再将所求方程组变形得，由此可得，根据解方程即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ①②得， ， ③④得，， ∴⑤得，， ∴， 解得，， 故选：A ． 11．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程法解法，加减消元法，即可． 【详解】A、得，，不符合题意； B、得，，不符合题意； C、得，，不符合题意； D、得，，符合题意； 故选：D． 12．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等.列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】由题意得： ， 解得： ， 故答案为： 13．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺． 【答案】15 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长 尺，竿长 尺， 根据题意得： ． 解得： 故答案为15． 14．若是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义确定出与的值，即可求出的值，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 15．已知，，满足，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查三元一次方程组的解法，设，则整理得出，，，，代入求得t，进一步代入求得x的值． 【详解】解：设， 则，，， 代入得： 解得：， ， 故答案为：． 16．若，则_________； 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质可得，解方程组求出的值即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 17．某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度米分，平路速度米分，下坡速度米分，那么他从家到学校需要分钟，从学校回家需要分钟．则该同学家到学校全程是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设上坡路的长度为，平路长，然后根据时间路程速度结合已知条件列出方程组求解即可． 【详解】解：设上坡路的长度为，平路长， 由题意得， ， 解得， ∴上坡路的长度为，平路长， ∴该同学家到学校全程是， 故答案为：． 18．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练进行计算是解题的关键． （1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：把①代入②得，， 解得， 把代入①得，， ∴原方程组的解为； （2）解：得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为． 19．已知关于的二元一次方程组的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．把代入方程组求得a、b的值，即可求得的值． 【详解】解：把代入二元一次方程组得，， 解得， ∴． 20．关于的方程组与的解相同， (1)求这个相同解． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同解方程组，加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确的计算是解题的关键． （1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的没有参数的方程联立，解方程组即可求解． （2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组，求解即可． 【详解】（1）由方程组，解得， ∴这个相同解是． （2）把代入与， 得， 解得， ∴，它的平方根是． 21．某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作共加工小麦26吨． (1)台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ (2)该厂现有450吨小麦需要加工，计划使用台大面粉机和台小面粉机同时工作，能否全部加工完？请你帮忙计算一下． 【答案】(1)1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨 (2)不能全部加工完 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准各数量间的关系列出方程组是解题的关键． （1）设1台大面粉机每小时加工小麦x吨，1台小面粉机每小时加工小麦y吨，根据2台大面粉机和5台小面粉机同时工作共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作共加工小麦26吨，列方程组求解即可得； （2）根据（1）中求得的值求出8台大面粉机和10台小面粉机同时工作加工的量进行比较即可得． 【详解】（1）解：设1台大面粉机每小时加工小麦x吨，1台小面粉机每小时加工小麦y吨， 根据题意得： ， 解得：， 答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨； （2）解：（吨）， ∵， ∴不能全部加工完． 22．阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”． (1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组 的解是______． (2)迁移：请用换元法解方程组：； (3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组 的解． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组．理解题目中阅读材料：代入法解一元二次方程是解题的关键． （1）由题意，得，解得∶ 即可． （2）先将原方程变形为，再设， ，得到，解得：，则有，银之即可． （3）先将方程组，变形为 则，解之即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得∶ ， 故答案为：． （2）解：变形，得， 设， ， 则， 解得： ∴ 解得∶ ． ∴原方程组的解为． （3）解：先将方程组，变形为 ∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴． ∴关于m，n的方程组的解为：． 23．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题：    (1)求一张凳子中凳脚、凳面的高度； (2)当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？ 【答案】(1)一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是； (2)总高度是99.2厘米． 【分析】（1）设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是，由题意得等量关系：①一张凳子腿的高度+3张凳面的高度=，②一张凳子腿的高度+5张凳面的高度=，根据等量关系列出方程求解即可． （2）根据一张凳子腿的高度+20张凳面的高度即可求出20张塑料凳整齐地叠放在一起时的总高度． 本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组． 【详解】（1）设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是， 根据题意得：， 解得：． 答：一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是； （2）根据题意得： 答：总高度是99.2厘米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$