复习04复数（八大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

复习04 复数 一、复数的定义及其分类 1.定义：形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定 2.复数的分类： 复数的分类 充要条件 集合表示 实数 虚数 纯虚数 且 3.复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且 二、复平面 1.定义：实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 2．复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 三、复数的四则运算 1.复数的四则运算：设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 2．复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3．共轭复数 （1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. （2）表示：z的共轭复数用表示，即若，则 考点01 复数的分类 【方法点拨】判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 【例1】指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？. 【例2】已知复数， (1)当 z是虚数，求的取值范围； (2)当z是纯虚数，求的取值． 【变式1-1】已知为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-2】为何实数时，复数是： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？ 【变式1-3】已知复数，则实数x取什么值时，z是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 考点02 复数的运算 【例3】复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 【变式2-1】已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 【变式2-2】已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，则（    ） A． B． C．5 D． 考点03 复数相等 【方法点拨】解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. 【例5】设复数的共轭复数为，且满足，则可以是（   ） A． B． C． D． 【例6】已知复数满足，则 . 【变式3-1】若复数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ． 【变式3-3】已知为虚数单位，且，则（    ） A． B． C． D． 考点04 复数与复平面内点的关系 【方法点拨】（1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据.（2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 【例7】已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例8】已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ． 【变式4-1】已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 考点05 复数与复平面内向量的关系 【方法点拨】解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【例9】复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【例10】设z是虚数，在平面直角坐标系xOy中，z，，对应的向量分别为，，. (1)证明：O，B，C三点共线； (2)若，求向量的坐标. 【变式5-1】设非零复数和在复平面内对应的向量分别为和，其中O为原点，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-3】已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是实数，求的值； (2)设复数，对应的向量分别是，，若，求的值． 考点06 复数的模 【方法点拨】（1）复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解. （2）表示所表示的两点间的距离,表示以原点为圆心,以为半径的圆. 【例11】已知复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B．2 C． D． 【例12】已知，则（    ） A． B． C．4 D．2 【变式6-1】在复平面内，已知复数满足，且，则 ． 【变式6-2】已知复数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 考点07 在复数范围内解方程 【方法点拨】利用复数相等的定义求解：设方程的根为将此根代入方程,化简后利用复数相等的定义求解 【例13】（多选）已知是关于的方程的两个根，其中，则（    ） A． B． C． D． 【例14】已知关于的实系数二次方程的一根为(其中是虚数单位)，则 ． 【变式7-1】设，，为虚数单位，若是关于的二次方程一个虚根，则 ． 【变式7-2】在复数范围内，方程的解集为 . 【变式7-3】已知复数． (1)求； (2)若复数是关于的实系数方程的一个根，求的值． 考点08 复数模的最值问题 【方法点拨】（1）表示复数的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式；（2）表示以对应的点为圆心,为半径的圆；（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解. 【例15】已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例16】已知复数z满足，则复数 的模的最大值是 . 【变式8-1】已知复数z满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】若复数，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知复数满足，则的最小值为 . 一、单选题 1．设为虚数单位，复数z满足，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D．3 2．已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（    ） A． B．为纯虚数 C． D． 3．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．是虚数单位，复数满足，其中. ：“复数在复平面内对应的点在第一象限”，则下列条件是的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 6．若虚数是关于x的方程的一个根，且，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 二、多选题 7．已知复数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的虚部为2 D． 8．已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 9．已知是复数，则下列说法一定正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则至少有一个是虚数 三、填空题 10．已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 11．复数的虚部为 “”是虚数单位 12．已知复数，满足，则 ． 四、解答题 13．复数 (1)若是虚数，求实数的取值范围； (2)若所对应的点在第四象限，求实数的取值范围； (3)若，求 14．已知复数，，其中，． (1)若是纯虚数，求的值． (2)、能否为某实系数一元二次方程的两个虚根？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 15．已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍. (1)求； (2)若复数使得为纯虚数，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习04 复数 一、复数的定义及其分类 1.定义：形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定 2.复数的分类： 复数的分类 充要条件 集合表示 实数 虚数 纯虚数 且 3.复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且 二、复平面 1.定义：实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 2．复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 三、复数的四则运算 1.复数的四则运算：设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 2．复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3．共轭复数 （1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. （2）表示：z的共轭复数用表示，即若，则 考点01 复数的分类 【方法点拨】判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 【例1】指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？. 【答案】实数为；虚数为； 纯虚数为 【详解】实数为； 虚数为； 纯虚数为. 【例2】已知复数， (1)当 z是虚数，求的取值范围； (2)当z是纯虚数，求的取值． 【答案】(1)且，且 (2) 【详解】（1）若是虚数，则且， 所以且且； （2）若是纯虚数，则， 解得：. 【变式1-1】已知为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】若复数为纯虚数，则且，即， 故“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-2】为何实数时，复数是： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？ 【答案】（1）或；（2）且；（3） 【详解】解：   ． （1）由得或， 即或时，为实数． （2）由得且， 即且时，为虚数． （3）由得， 即时，为纯虚数． 【变式1-3】已知复数，则实数x取什么值时，z是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1)； (2)且； (3)或. 【详解】（1）依题意，由，解得，所以当时，z是实数. （2）依题意，由，解得且， 所以当且时，z是虚数. （3） 依题意，由，解得或， 所以当或时，z是纯虚数. 考点02 复数的运算 【例3】复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 【例4】已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 【变式2-1】已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】∵，， 因为为纯虚数， 故选：D 【变式2-2】已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】, 则. 故选：C. 【变式2-3】已知，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【详解】解：由复数，所以故． 故选：C． 考点03 复数相等 【方法点拨】解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. 【例5】设复数的共轭复数为，且满足，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则由得：，即，得， 故选：A. 【例6】已知复数满足，则 . 【答案】 【详解】令，则有，即，， 解得，即，. 故答案为：. 【变式3-1】若复数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，所以， 由，得，则， 所以，解得. 故选：B. 【变式3-2】已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ． 【答案】 【详解】设，则， 因为，则， 解得或， 又因为在复平面内对应的点不在第一象限，可知，可知， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】已知为虚数单位，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 因此，而，所以， 故选：C 考点04 复数与复平面内点的关系 【方法点拨】（1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据.（2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 【例7】已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由复数满足，可得，则， 则复数 对应的点为位于第四象限. 故选：D. 【例8】已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由于， 故点位于第四象限，因此，解得， 即的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-1】已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为， 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得. 故选：D. 【变式4-2】在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由复数的运算法则，可得复数， 复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 【变式4-3】已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【答案】C 【详解】复数在复平面内对应的点为， 代入直线，可得，即， 则，在复平面内对应的点为. 故选：C 考点05 复数与复平面内向量的关系 【方法点拨】解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【例9】复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：C. 【例10】设z是虚数，在平面直角坐标系xOy中，z，，对应的向量分别为，，. (1)证明：O，B，C三点共线； (2)若，求向量的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，，则，a，， 所以. ，所以， 所以. 又因为O为公共点，所以O，B，C三点共线. （2）因为，则， 又因为z是虚数，所以. ，所以. 【变式5-1】设非零复数和在复平面内对应的向量分别为和，其中O为原点，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，， 其中a，b，c，d，，且a，b不同时为0，c，d不同时为0，， 由题意， 所以， 所以，故A错误； ，无法比较的大小，故B错误； ， 由B选项得，无法判断的关系，故C错误； ， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式5-2】在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由已知可得，，， 则， 所以，复数对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A. 【变式5-3】已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是实数，求的值； (2)设复数，对应的向量分别是，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． 因为为实数，所以，即， 又，故，则， 故； （2）复数，对应的向量分别为． 因为，所以． 故， 故，即， 又因为，所以， 则． ． 考点06 复数的模 【方法点拨】（1）复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解. （2）表示所表示的两点间的距离,表示以原点为圆心,以为半径的圆. 【例11】已知复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 【例12】已知，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】由题意可得，则， 所以. 故选：A. 【变式6-1】在复平面内，已知复数满足，且，则 ． 【答案】 【详解】    在复平面内，分别作出复数对应的向量,如图所示，则对应的向量为, 由题意是边长为2的正三角形，以为一组邻边，作出,则有, 于是 ，故得. 故答案为：. 【变式6-2】已知复数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由得即， ，由得，得， 所以，， 故选：A. 【变式6-3】已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则由，得， 由，得，即， 所以，化简整理得，得， 所以，得， 所以， 故选：D 考点07 在复数范围内解方程 【方法点拨】利用复数相等的定义求解：设方程的根为将此根代入方程,化简后利用复数相等的定义求解 【例13】（多选）已知是关于的方程的两个根，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为是关于的方程的两个根，其中， 所以，故A正确； ，，所以，故B错误； 因为，所以，故C不正确； 又，故D正确. 故选：AD. 【例14】已知关于的实系数二次方程的一根为(其中是虚数单位)，则 ． 【答案】0 【详解】由二次方程求根公式可知虚根是成对出现的，故都是方程的解， 所以. 故答案为：0. 【变式7-1】设，，为虚数单位，若是关于的二次方程一个虚根，则 ． 【答案】7 【详解】因为是关于的二次方程一个虚根， 所以， 即，可得， 解得， 则. 故答案为：7. 【变式7-2】在复数范围内，方程的解集为 . 【答案】 【详解】由，得，得或，则或. 故答案为：. 【变式7-3】已知复数． (1)求； (2)若复数是关于的实系数方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知：， 所以， 所以. （2）将代入方程，得 ， 所以，，因为， 所以，且 ， 解得，， 则. 考点08 复数模的最值问题 【方法点拨】（1）表示复数的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式；（2）表示以对应的点为圆心,为半径的圆；（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解. 【例15】已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，， 则复数对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上， 如图， 的几何意义是点到点的距离， 的最小值是复数对应的点到原点的距离减去半径1， 即. 故选：B. 【例16】已知复数z满足，则复数 的模的最大值是 . 【答案】 【详解】设，，则，， 则， 即，表示点是在以为圆心，半径为的圆上， ，表示点到原点的距离， 又圆心到原点的距离为，故的最大值为． 故答案为：. 【变式8-1】已知复数z满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故选：B    【变式8-2】若复数，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知在复平面中对应的点为以原点为圆心的单位圆上一点， 而在复平面中对应的点不妨设为， 所以， 易知. 故选：B 【变式8-3】已知复数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设，由两边平方整理得：， 即而， 作出复数对应的点的轨迹的图形如图. 易得，因在定义域内为增函数， 故， 即当且仅当时，取最小值. 故答案为:. 一、单选题 1．设为虚数单位，复数z满足，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为. 故选：B 2．已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（    ） A． B．为纯虚数 C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，设，则. A：，故A正确； B：，当时，为纯虚数，故B错误； C：，，所以，故C正确； D：，， 所以，则，故D正确. 故选：B 3．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】设，因为，所以， 所以，即，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 4．已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为， 所以，故复数在复平面中对应的点为，位于第一象限. 故选：A 5．是虚数单位，复数满足，其中. ：“复数在复平面内对应的点在第一象限”，则下列条件是的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 若复数在复平面内对应的点在第一象限，则，解得， 即：， 因为选项中只有为的真子集， 所以选项中只有是的充分不必要条件. 故选：D. 6．若虚数是关于x的方程的一个根，且，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【详解】设（且），代入原方程可得． 所以，解得，因为，所以． 故选：C． 二、多选题 7．已知复数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的虚部为2 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为， 所以，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，因为，所以， 所以的虚部为，C错误； 对于D，因为，所以， 又，所以，D正确. 故选：ABD 8．已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】当时，满足，故A错误； ，B错误； 设，， 若，则， 化简得：， 故，所以，C正确； 设，， 则，， 若， 则， 所以， 则，D正确. 故选：CD 9．已知是复数，则下列说法一定正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则至少有一个是虚数 【答案】BD 【详解】A：设，满足，但不满足，故A错误； B：∵，∴都是实数，移项得，故B正确； C：设，则满足，但不满足，故C错误； D：假设中没有一个虚数（即全为实数）， 则有，与矛盾，所以假设错误，原命题正确，故D正确. 故选：BD． 三、填空题 10．已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 【答案】 1 【详解】由题意，得，解得， 故答案为：1；-1 11．复数的虚部为 “”是虚数单位 【答案】0 【详解】 ，，  复数. 其虚部为  故答案为： 12．已知复数，满足，则 ． 【答案】 【详解】依题意，设， 则， 所以，，， 则，即， 则 . 故答案为：. 四、解答题 13．复数 (1)若是虚数，求实数的取值范围； (2)若所对应的点在第四象限，求实数的取值范围； (3)若，求 【答案】(1)且 (2) (3) 【详解】（1）由题意，是虚数，得：， 解得：且； （2）因为所对应的点在第四象限， ， 解得：， 所以实数的取值范围是 （3）若，则， 解得，即，所以. 14．已知复数，，其中，． (1)若是纯虚数，求的值． (2)、能否为某实系数一元二次方程的两个虚根？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1). (2)不能，理由见详解. 【详解】（1）由，，可得. 因为是纯虚数，所以，解得. （2）不能.假设、是实系数一元二次方程的两个虚根，则， 根据求根公式，不妨令，，显然、互为共轭复数，所以，无实数解． 所以、不能为某实系数一元二次方程的两个虚根． 15．已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍. (1)求； (2)若复数使得为纯虚数，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？ 【答案】(1) (2)直线去掉点 【详解】（1）因为的虚部是实部的2倍， 所以设， 又，即， 所以， 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，即， 所以； （2）设复数， 因为为纯虚数， 所以， 当时，解得， 所以等价于且， 所以复数在复平面内的图象为去掉一个点的直线. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$