13.4 最短路径问题-【优课堂给力A+】2023-2024学年八年级数学上册课后作业（人教版）

]优课堂A·八年级数学(上) 第10课时 13.4最短路径问题 A组/夯实基础 3.下图均是4×4的正方形网格,格点A,B和 一、将军饮马问题 直线/的位置如图所示,点P在直线/上. 1.如图,已知点A、点B和直线/ (1)请分别在图1和图2中作出点P,使 (1)在直线/上求作一点P,使PA+PB PA+PB最短; 最短; (2)请分别在图3和图4中作出点P,使PA (2)请在直线/上任取一点Q(点Q与点P不 -PB最长. _K霜 重合),连接QA和QB,试说明PA+PB <QA+QB. 1.....i.. 图1 B. _。 行。 图2 A. _... 。4 4.如图,山娃星期天从A处赶了几只羊到草地 1.放羊,然后赶羊到小河/。饮水,之后再回 2.在一条公路旁有A,B两个工厂,要在公路 到B处的家,假设山娃赶羊走的都是直路 旁修一个汽车站,请分别按如下要求确定汽 请你为他设计一条最短的路线,标明放羊与 车站M的位置 饮水的位置. (1)在图1中,要求车站M到A,B两厂的距 离相等: (2)在图2中,要求车站M到A.B两厂的距 草地 1 离之和AM士BM最短 ,A .B . B. A. A. 图1 图2 ·55. 第13章 轴对称 B组提升能力 C组 思维拓展 5.如图,在四边形ABCD中,C=62^{*, B 8.已知点P在MON内: = D=90{*}.点M.N分别为BC,CD边上 (1)如图1,点P关于射线OM的对称点是 的动点,连接AM,AN,MN,当△AMN的 点G,点P关于射线ON的对称点是点H, 周长取得最小值时,MAN的度数为 连接OG.OH.QP. ①若 MON=50{,则 GOH= ②若PO-5,连接GH.请说明当 MON为 多少度时,GH-10. (2)如图2,若 MON=60{},A.B分别是射 线OM,ON上的任意一点,当△PAB的周 长最小时,求之APB的度数 6.如图,XOY内有一点P,试在射线OX上 找出一点M,在射线OY上找出一点N,使 PM+MN+NP最短. H 图1 图2 .P 7.如图,在Rt△ABC中, ACB=90^{*},AC=3. BC=4,AB=5,AD是 BAC的平分线,若 P.Q分别是AD和AC上的动点,求PC+ PQ的最小值 .56.解答图 ∵△ABC是等边三角形, ∴ ∠A＝ ∠ABC＝ ∠C＝６０°, ∵DF∥AB,∴ ∠CDF＝ ∠A＝６０°,∠DFC＝ ∠ABC ＝６０°,∠DFP＝ ∠EBP, ∴△CDF是等边三角形,∴CD＝DF, ∵点P 为DE 的中点,∴PD＝PE, 在△PDF和△PEB中, ∠PFD＝ ∠PBE, ∠DPF＝ ∠EPB, PD＝PE, ì î í ïï ï ∴△PDF≌△PEB(AAS), ∴DF＝BE,∴CD＝BE; (２)解:∵DE⊥AC, ∴ ∠ADE＝９０°,∴ ∠E＝９０°－ ∠A＝３０°, ∴AD＝１２AE ,∠BPE＝ ∠ABC－ ∠E＝３０°＝ ∠E, ∴BP＝BE, 由(１),得CD＝BE,∴BP＝BE＝CD, 设BP＝x,则BE＝CD＝x,AD＝１２－x, ∵AE＝２AD,∴１２＋x＝２(１２－x), 解得x＝４, 即BP 的长为４cm． 第１０课时　１３􀆰４最短路径问题 １．解:(１)如解答图,作点A 关于直线l的对称点A′,连接 A′B 交直线l于点P, 解答图 则点P 即为所求; (２)在直线l上任取另一点Q,连接PA,QA,QB,QA′, 如解答图,∵点A 与点A′关于直线l对称,点P,Q 在 直线l上,∴PA＝PA′,QA＝QA′, ∵QA′＋QB＞A′B,∴QA＋QB＞A′B, 即QA＋QB＞A′P＋BP,∴PA＋PB＜QA＋QB． ２．解:(１)如解答图１,作线段AB 的垂直平分线交直线l 于点M,此时 MA＝MB; 解答图１　　　　　　　　解答图２ (２)如解答图２,作点B 关于直线l的对称点B′,连接 AB′,与直线l交于点M,此时 MA＋BM 最短． ３．解:(１)如解答图１,解答图２; (２)如解答图３,解答图４． ４．解:如解答图,作出点A 关于l１ 的对称点E,点B 关于 l２ 的对称点F,连接EF,分别交于l１,l２ 于点C,点 D, 则AC,CD,BD 是他走的最短路线． 解答图 ５．５６° ６．解:如解答图,作点P 关于射线OX 的对称点A,关于 射线OY 的对称点B,连接 AB,分别交 OX,OY 于点 M,N,则 M,N 两点即为所求． 解答图 ７．解:∵AD 是 ∠BAC的平分线, ∴点Q关于直线AD 的对称点Q′在AB 上,如解答图, 解答图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７３ 这时PQ＝PQ′, 则当C,P,Q′三点共线,且CP⊥AB时,PC＋PQ最小． ∵S△ABC ＝１２ ×AC×BC＝ １ ２ ×AB×CQ′ , ∴３×４＝５×CQ′,解得CQ′＝１２５ , ∴PC＋PQ的最小值是１２５． ８．解:(１)①１００° ②∵PO＝５,∴GO＝HO＝５, 当 ∠MON＝９０°时,∠GOH＝１８０°, ∴点G,O,H 在同一直线上, ∴GH＝GO＋HO＝１０． (２)如解答图,分别作点P 关于OM,ON 的对称点P′, P′′,连接OP′,OP′′,P′P′′,P′P′′分别交OM,ON 于点 A,B, 连接PA,PB,则AP＝AP′,BP＝BP′′,此时△PAB 周 长的最小值等于P′P′′的长, 由轴对 称 性 质,可 得 OP′ ＝OP′′ ＝OP,∠P′OA ＝ ∠POA,∠P′′OB＝ ∠POB, ∴ ∠P′OP′′＝２∠MON＝２×６０°＝１２０°, ∴ ∠OP′P′′＝ ∠OP′′P′＝(１８０°－１２０°)÷２＝３０°, ∴ ∠APO＝ ∠AP′O＝３０°, 同理,可得 ∠BPO＝ ∠OP′′B＝３０°, ∴ ∠APB＝３０°＋３０°＝６０°． 解答图 第１１课时　«轴对称»复习 １．A　２．D　３．B　４．(０,０)　５．５ ６．解:(１)如解答图,△A１B１C１ 即为所求; 解答图 (２)(２,－１) (３)△A１B１C１ 的面积为:３×５－１２ ×２×５－ １ ２ ×３×３ －１２ ×１×２＝４􀆰５． ７．C　８．１５ ９．(１)证明:连接OA,如解答图, 解答图 ∵AC＝BC,点F为AB 的中点, ∴CF垂直平分AB,∴OA＝OB, ∵DE垂直平分AC,∴OA＝OC,∴OB＝OC, ∴△OBC为等腰三角形; (２)解:∵CA＝CB,CF⊥AB, ∴CF平分 ∠ACB, ∴ ∠BCF＝ ∠ACF＝２３°, ∵OB＝OC,∴ ∠OBC＝ ∠OCB＝２３°, ∵ ∠EDC＝９０°∴ ∠DEC＝９０°－ ∠DCE＝４４°, ∵ ∠OEC＝ ∠OBE＋ ∠BOE, ∴ ∠BOE＝４４°－２３°＝２１°． １０．D　１１．１５２　１２．( － １１ ２ ,３) 　１３．１２０°　１４．４或１６ １５．解:如解答图所示． 解答图 １６．证明:在 AC 取一点E,使 AE＝AB,连接 ED,如解 答图, 解答图 在△ABD 和△AED 中, AB＝AD, ∠BAD＝ ∠EAD, AD＝AD, ì î í ïï ï ∴△ABD≌△AED,∴ ∠B＝ ∠AED,BD＝DE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８３