13.3.2 等边三角形-【优课堂给力A+】2023-2024学年八年级数学上册课后作业（人教版）

优课堂A·八年级数学(上) 第8课时 13.3.2等边三角形(1) A组 夯实基础 二、等边三角形的判定 一、等边三角形的性质 6. 下列三角形,不一定是等边三角形的是 ( 1.如图,△ABC为等边三角形,延长CB到点 ) D.使BD=BC,延长BC到点E,使CE A.三个外角都相等的三角形 BC,连接AD,AE,则DAE C ) B.顶角和底角相等的等腰三角形 D.100* A.130* C.110* B.120* C.边上的高也是这边的中线的三角形 D.有一个外角等于120{的等腰三角形 7.在\ABC中,AB=AC,请你再添加一个条 件使得△ABC成为等边三角形,这个条件可 以是 (只要写出一个即可). 1题图 2题图 2.如图,AD是等边△ABC的中线,AE一AD. 8.如图,在等边△ABC的边BC上任取一点 ( 则乙EDC的度数为 ) D.作 ADE=60{*,DE交 ACB的外角平 A.30{ C.25 D.15* B.20* 分线于点E,判断△ADE的形状,并说明 3.如图,直线n/n.△ABC是等边三角形,顶 理由. 点B在直线n上,直线交AB于点E,交 AC于点F,若 1=140{*},则 2= ) C.120* A.80。 B.100* D.140* 3题图 4题图 4.如图,在等边三角形ABC中,AB=2,BD是 AC边上的高,延长BC至点E,使CE-CD. 则BE的长为 5.如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别在 AB,AC上,F是BE和CD的交点,已知 BFC-120{*,求证:AD=CE. ·51. 第13章 辅对称 B红提升能力 C组 思维拓展 9.如图,AOB=120{,OP平分 AOB,且 12.如图,点O是等边△ABC内一点,D是 OP=1.若点M,N分别在OA,OB上,且 △ABC外的一点:AOB-110*, B0C APMN为等边三角形,则满足上述条件的 .△BOC△ADC. OCD=60*,连接OD △PMN有 ( ) (1)求证:△OCD是等边三角形; A.1个 B.2个 (2)当。三150{时,试判断\AOD的形状。 C.3个 D.无数个 并说明理由; (3)探究;当a为多少度时,△AOD是等腰 三角形. 9题图 10题图 10.如图,已知 MON=30{},点A,A,A,. 110 在射线OM上,点B.B.B....在射线ON 上,A B B.ABB.ABB...均 。 为等边三角形,若OB -1,则△ABB。的 边长为 _. 11.在等边△ABC中 (1D)如图1,P,Q是BC边上两点,AP AQ. BAP=20*,求 AQB的度数; (2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与 B.C两点重合):点P在点Q的左侧:且 AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为 M,连接AM,PM ①依题意将图2补全 ②求证:PA-PM. 图1 图2 ·52. 优课堂A·八年级数学(上) 第9课时 13.3.2等边三角形(2) A组 夯实基础。 二、简单应用 一、含30{角的直角三角形的性质 6.某商场大厅一楼到二楼的手扶电梯如图所 1. 如图,在Rt/ABC中,C=90{},A=30* 示,其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的 ) AB+BC-12cm,则AB等于 C 水平线, ABC-150{*},大厅两层楼之间的 A.6cm C.8cm D.9cm B.7cm 高度h=6m,则顾客乘电梯从B点到C点 的距离是 ( ) C.6/③m A.33m B.6m D.12m 150 1题图 2题图 B 6题图 2.如图,在△ABC中, C-90{},DE是AB的 7题图 垂直平分线,DE-3, B-30^{*},则BC 7.如图是“人字形”钢架,其中斜梁AB三AC,顶 ( ) 角 BAC=120*,跨度BC=10m,AD为支柱 A.9 C.7 B.8 D.6 (即底边BC的中线),两根支撑架DE AB 3.如图,在Rt△ABC中,BAC-90*,B= DF1AC,则DE+DF等于 () 30{,AD1BC.则下列等式成立的是( A.10m B.5m C.2.5m ) D.9.5m A. BD-3DC B.AD-2DC 8.如图是某超市入口的双翼间门示意图,当它 C.AB-4DC D. BD-2AC 的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间 的距离为10cm,双翼的边缘AC=BD 54cm,且与间机侧立面夹角PCA 之BDQ-30{*,当双翼收起时,求可以通过间 机的物体的最大宽度 3题图 4题图 行 4.如图,在△ABC中, ABC=60{*,BC=20 点D在边AB上,CA=CD,BD-8,则AD 的长是 问机箱 河机箱 5.如图,在△ABC中, B=C=60{,点D为 AB边的中点,DE 1BC于点E,若BE=1. 求AC的长 , ·53. 第13章 辅对称 B红提升能力 C组 思维拓展 9.如图,在四边形ABCD中,AD=8,BC 13.如图,等边△ABC的边长为12cm,D为 $$. B-90*, A-30{*}, ADC-120* 则$$$ AC边上一动点,E为AB延长线上一动 CD的长为 点,DE交CB干点P,点P为DE的中点 (1)求证:CD-BE: C (2)若DE1AC,求BP的长. 10. 如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是 △ABC内的两点,AE平分BAC,D = DBC=60*,若BD-5 cm.DE-3cm$ 则BC的长是 cm. 10题图 11题图 11.如图,在△ABC中,AB=AC,BAC 30{*,D为BC上任意一点,过点D作DE AB,DF1AC,垂足分别为E,F,且DE+ DF- .连接AD,则AB= 12.如图,在△ABC中,ABC=90*},A= 60*.ABC与ACB的平分线相交于点 D,过点D作AB,AC的平行线,交BC于 E,F两点,若BE=10,求CF的长 .54.在△ABC中,∠A＝３６°, ∴ ∠C＝ ∠ABC＝１８０°－３６°２ ＝７２° , ∴ ∠CBD＝３６°, ∴ ∠BDC＝１８０°－３×３６°＝７２°; (２)∵ ∠C ＝ ∠ABC ＝ ∠BDC ＝ ∠BDC′ ＝ ∠BC′D ＝７２°, ∴AB＝AC,BC＝BD＝BC′, ∴△ABC,△BCD,△BC′D 是等腰三角形, ∵ ∠ABC＝ ∠BDC＝ ∠BDC′＝ ∠BC′D ＝７２°, ∴ ∠ABD＝ ∠ADC′＝ ∠A＝３６°, ∴AD＝BD,AC′＝DC′, ∴△ABD,△ADC′是等腰三角形, ∴等腰三角形有△ABC,△ABD,△BCD, △BDC′,△ADC′． ８．D　９．B　１０．４ １１．解:如解答图,∵ 在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,∠BAC ＝３０°, 解答图 ∴当AB＝BP１ 时,∠AP１B＝ ∠BAP１ ＝３０°, 当AB＝AP２ 时,∠AP２B＝ ∠ABP２ ＝ １２ × (１８０°－ ３０°)＝７５°, 当AB＝AP３ 时,∠AP３B＝ ∠ABP３ ＝１２ ∠BAC ＝１２ ×３０°＝１５° , 当AP４ ＝BP４ 时,∠BAP４ ＝ ∠ABP４, ∴ ∠AP４B＝１８０°－３０°×２＝１２０°, ∴ ∠APB的度数可能为１５°,３０°,７５°或１２０°． １２．解:选择小敏的证明思路,如图２,在AC上截取AE＝ AB,连接DE, ∵AD 是 ∠BAC的平分线, ∴ ∠BAD＝ ∠EAD, 在△ABD 和△AED 中, AB＝AE, ∠BAD＝ ∠EAD, AD＝AD, ì î í ïï ï ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴BD＝DE,∠ABD＝ ∠AED, ∵ ∠AED＝ ∠EDC＋ ∠C,∠B＝２∠C, ∴ ∠EDC＝ ∠C,∴DE＝EC, 即AB＋BD＝AC; 选择小捷的证明思路,如图３,延长CB 至点E,使BE ＝AB,连接AE, 则 ∠E＝ ∠BAE, ∵ ∠ABC＝ ∠E＋ ∠BAE, ∴ ∠ABC＝２∠E, ∵ ∠ABC＝２∠C, ∴ ∠E＝ ∠C, ∴△AEC是等腰三角形, ∵AD 是 ∠BAC的平分线, ∴ ∠BAD＝ ∠DAC, ∵ ∠ADE＝ ∠DAC＋ ∠C, ∠DAE＝ ∠BAD＋ ∠BAE, ∴ ∠ADE＝ ∠DAE, ∴EA＝ED＝AC, ∴AB＋BD＝AC． 第８课时　１３􀆰３􀆰２等边三角形(１) １．B　２．D　３．B　４．３ ５．证明:∵ ∠BFC＝１２０°, ∴ ∠ECF＝ ∠BFC－ ∠CEB＝１２０°－ ∠CEB, 又∵△ABC是等边三角形, ∴ ∠EBC＝１８０°－６０°－ ∠CEB＝１２０°－ ∠CEB, ∴ ∠ECF＝ ∠EBC,即 ∠DCA＝ ∠EBC, ∵ ∠CAD＝ ∠BCE＝６０°,AC＝CB, ∴△ACD≌△CBE,∴AD＝CE． ６．C　７．∠A＝６０° ８．解:过点D 作AC 的平行线,交AB于点P,如解答图, 解答图 ∴△BDP 为等边三角形,BD＝BP, ∴AP＝CD, ∵ ∠BPD 为△ADP 的外角, ∴ ∠ADP＋ ∠DAP＝ ∠BPD＝６０°, 而 ∠ADP＋ ∠EDC＝１８０°－ ∠BDP－ ∠ADE＝６０°, ∴ ∠ADP＋ ∠DAP＝ ∠ADP＋ ∠EDC＝６０°, ∴ ∠DAP＝ ∠EDC,在△ADP 和△DEC中, ∠DAP＝ ∠EDC, AP＝DC, ∠APD＝ ∠DCE, ì î í ïï ï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５３ ∴△ADP≌△DEC(ASA),∴AD＝DE, ∵ ∠ADE＝６０°, ∴△ADE是等边三角形． ９．D　１０．１２８ １１．解:(１)∵△ABC为等边三角形,∴ ∠B＝６０°, ∴ ∠APC＝ ∠BAP＋ ∠B＝８０°, ∵AP＝AQ,∴ ∠AQB＝ ∠APC＝８０°; (２)①补全图形如解答图所示; 解答图 ②证明:过点A 作AH ⊥BC于点H,如解答图． ∵△ABC为等边三角形,AP＝AQ, ∴ ∠PAB＝ ∠QAC, ∵点Q,M 关于直线AC 对称, ∴ ∠QAC＝ ∠MAC,AQ＝AM, ∴ ∠MAC＋ ∠PAC＝ ∠PAB＋ ∠PAC＝６０°, ∴△APM 为等边三角形,∴PA＝PM． １２．(１)证明:∵△BOC≌△ADC,∴OC＝DC, ∵ ∠OCD＝６０°, ∴△OCD 是等边三角形． (２)解:△AOD 是直角三角形,理由如下: ∵△OCD 是等边三角形,∴ ∠ODC＝６０°, ∵△BOC≌△ADC,α＝１５０°, ∴ ∠ADC＝ ∠BOC＝α＝１５０°, ∴ ∠ADO＝ ∠ADC－ ∠ODC＝１５０°－６０°＝９０°, ∴△AOD 是直角三角形; (３)解:∵△OCD 是等边三角形, ∴ ∠COD＝ ∠ODC＝６０°． ∵ ∠AOB＝１１０°,∠ADC＝ ∠BOC＝α, ∴ ∠AOD ＝３６０°－ ∠AOB－ ∠BOC－ ∠COD ＝３６０° －１１０°－α－６０°＝１９０°－α, ∠ADO＝ ∠ADC－ ∠ODC＝α－６０°, ∴ ∠OAD＝１８０°－ ∠AOD－ ∠ADO＝１８０°－(１９０°－ α)－(α－６０°)＝５０°． ①当 ∠AOD＝ ∠ADO时,１９０°－α＝α－６０°, ∴α＝１２５°; ②当 ∠AOD＝ ∠OAD 时,１９０°－α＝５０°, ∴α＝１４０°; ③当 ∠ADO＝ ∠OAD 时,α－６０°＝５０°, ∴α＝１１０°． 综上所述,当α＝１１０°或１２５°或１４０°时,△AOD 是等腰 三角形． 第９课时　１３􀆰３􀆰２等边三角形(２) １．C　２．A　３．A　４．４ ５．解:∵DE⊥BC,∠B＝ ∠C＝６０°, ∴ ∠BDE＝３０°,∴BD＝２BE＝２, ∵点D 为AB 边的中点, ∴AB＝２BD＝４, ∵ ∠B＝ ∠C＝６０°,∴△ABC为等边三角形, ∴AC＝AB＝４． ６．D　７．B ８．解:如解答图所示,过点A 作AE ⊥CP 于点E,过点B 作BF⊥DQ于点F,则 解答图 在 Rt△ACE中,AE＝１２AC＝ １ ２ ×５４＝２７ (cm), 同理,可得BF＝２７cm, 又∵点A 与B 之间的距离为１０cm, ∴通过闸机的物体的最大宽度为 ２７＋１０＋２７＝６４(cm)． ９．４　１０．８　１１．１４３ １２．解:∵△ABC中,∠ABC＝９０°,∠A＝６０°, ∴ ∠BCA＝３０°, ∵ ∠ABC＝９０°,BD 是 ∠ABC的角平分线, ∴ ∠ABD＝ ∠DBE＝４５°, ∵DE∥AB,∴ ∠BDE＝ ∠ABD＝４５°, ∴BE＝DE,∠DEB＝９０°, 又∵DF∥AC,∠BCA＝３０°, ∴ ∠EFD＝ ∠BCA＝３０°, ∴DF＝２DE＝２BE, ∵CD 是 ∠ACB的平分线, ∴ ∠FCD＝１２ ∠BCA＝１５° , 又∵ ∠EFD＝ ∠FCD＋ ∠FDC＝１５°＋ ∠FDC＝３０°, ∴ ∠FDC＝ ∠FCD＝１５°, ∴FC＝FD＝２BE＝２０． １３．(１)证明:过点D 作DF∥AB,交BC于点F,如解答图 所示, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６３ 解答图 ∵△ABC是等边三角形, ∴ ∠A＝ ∠ABC＝ ∠C＝６０°, ∵DF∥AB,∴ ∠CDF＝ ∠A＝６０°,∠DFC＝ ∠ABC ＝６０°,∠DFP＝ ∠EBP, ∴△CDF是等边三角形,∴CD＝DF, ∵点P 为DE 的中点,∴PD＝PE, 在△PDF和△PEB中, ∠PFD＝ ∠PBE, ∠DPF＝ ∠EPB, PD＝PE, ì î í ïï ï ∴△PDF≌△PEB(AAS), ∴DF＝BE,∴CD＝BE; (２)解:∵DE⊥AC, ∴ ∠ADE＝９０°,∴ ∠E＝９０°－ ∠A＝３０°, ∴AD＝１２AE ,∠BPE＝ ∠ABC－ ∠E＝３０°＝ ∠E, ∴BP＝BE, 由(１),得CD＝BE,∴BP＝BE＝CD, 设BP＝x,则BE＝CD＝x,AD＝１２－x, ∵AE＝２AD,∴１２＋x＝２(１２－x), 解得x＝４, 即BP 的长为４cm． 第１０课时　１３􀆰４最短路径问题 １．解:(１)如解答图,作点A 关于直线l的对称点A′,连接 A′B 交直线l于点P, 解答图 则点P 即为所求; (２)在直线l上任取另一点Q,连接PA,QA,QB,QA′, 如解答图,∵点A 与点A′关于直线l对称,点P,Q 在 直线l上,∴PA＝PA′,QA＝QA′, ∵QA′＋QB＞A′B,∴QA＋QB＞A′B, 即QA＋QB＞A′P＋BP,∴PA＋PB＜QA＋QB． ２．解:(１)如解答图１,作线段AB 的垂直平分线交直线l 于点M,此时 MA＝MB; 解答图１　　　　　　　　解答图２ (２)如解答图２,作点B 关于直线l的对称点B′,连接 AB′,与直线l交于点M,此时 MA＋BM 最短． ３．解:(１)如解答图１,解答图２; (２)如解答图３,解答图４． ４．解:如解答图,作出点A 关于l１ 的对称点E,点B 关于 l２ 的对称点F,连接EF,分别交于l１,l２ 于点C,点 D, 则AC,CD,BD 是他走的最短路线． 解答图 ５．５６° ６．解:如解答图,作点P 关于射线OX 的对称点A,关于 射线OY 的对称点B,连接 AB,分别交 OX,OY 于点 M,N,则 M,N 两点即为所求． 解答图 ７．解:∵AD 是 ∠BAC的平分线, ∴点Q关于直线AD 的对称点Q′在AB 上,如解答图, 解答图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７３