13.3.1 等腰三角形-【优课堂给力A+】2023-2024学年八年级数学上册课后作业（人教版）

已」优课堂作勒A+·八年级数学（上） 第7课时 13.3.1等腰三角形(2) A组/夯实其础 6.如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上 一、等腰三角形的判定 一点，过点D作DF⊥AC,垂足为F,交BC 1.△ABC中，若∠A=70°，∠B=40°，则( 于点E,且BD=BE.求证：△ABC是等腰三 A.AB=AC B.AC=BC 角形. C.AB=BC D.AB=AC=BC 2.如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD于点D, DE∥AC,则图中的等腰三角形的个数为 ( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2题图 3题图 3.如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角 7.如图，将△ABC沿直线BD对折，使点C落 形的是 ( 在AB上的点C'处，且∠C=2∠CBD,已 A.∠B=∠C 知∠A=36 B.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD (1)求∠BDC的度数： C.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD (2)写出图中所有的等腰三角形.（不用证明） D.AD⊥BC,BD=CD 4.如图，下列4个三角形中，均有AB=AC,则 经过三角形的一个顶点的一条直线能够将 这个三角形分成两个小等腰三角形的是 108 ① ② ④ 5.如图，在△AOB中，点C在OA上，点E,D 在OB上，且CD∥AB,CE∥AD,AB=AD. 求证：△CDE是等腰三角形. ·49· 第13章轴对称 B红提升能力 C组思维拓展 8.如图所示，在三角形ABC中，AB=AC, 12.徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出了这 ∠BAC=108°，在BC上分别取点D,E, 样一个问题：如图1，在△ABC中，∠B= 使∠BAD=∠B,∠CAE=∠C,则图中的等 2∠C,AD是∠BAC的平分线.求证：AB+ 腰三角形有 () BD=AC. A.3个B.4个 C.5个 D.6个 小敏的证明思路是在AC上截取AE=AB, 连接DE(如图2) 小捷的证明思路是延长CB至点E,使 BE=AB,连接AE,可以证得AE=DE(如 图3). D 请你任意选择一种思路继续完成下一步的 8题图 9题图 证明」 9.如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1 的正方形，A,B两点都在小方格的格点上， 请在图中找一个格点C,使△ABC为等腰三 角形，这样的格点有 () 图 图2 图3 A.8个B.9个 C.10个D.11个 10.如图，在直线PQ上有一点O,点A为直线 外一点，连接OA,在直线PQ上找一点B, 使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最 多有 个 P O 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC 30°，在直线AC上找一点P,使△ABP是 等腰三角形，求∠APB的度数. ·50(－y,－x), ∴(kx,２x)－(１＋y,２)＝(１,－ky＋１)＋(y,－x), ∴(kx－１－y,２x－２)＝(１＋y,－ky＋１－x), ∵(a,c)＝(b,d)时,a＝b且c＝d, ∴kx－１－y＝１＋y,２x－２＝ －ky＋１－x, ∴(k２ ＋６)x＝２k＋６,(k２ ＋６)y＝３k－６, ∵坐标P(x,y)在第四象限, ∴x＞０,y＜０, ∴２k＋６＞０,３k－６＜０, ∴ －３＜k＜２, ∵k是正整数, ∴k＝１． 第６课时　１３􀆰３􀆰１等腰三角形(１) １．B　２．B　３．３０°　４．７０° ５．解:∵AB＝AC,AD＝AE, ∴ ∠B＝ ∠C,∠AED＝ ∠ADE, 在△ABE中,∠AEC＝ ∠BAE＋ ∠B, ∴ ∠AED＝ ∠AEC－ ∠CED＝４０°＋ ∠B－ ∠CED, 在△CED 中,∠ADE＝ ∠CED＋ ∠C, ∴４０°＋ ∠B－ ∠CED＝ ∠CED＋ ∠C, 解得 ∠CED＝２０°． ６．D　７．C　８．３　９．８ １０．解:∵AB＝AC,M 是边BC 的中点, ∴ ∠AMB＝９０°,∠BAM＝ ∠CAM, ∵ ∠BEM＝ ∠AED＝６４°, ∴ ∠EBM＝２６°, ∵BD 平分 ∠ABC,∴ ∠ABC＝２∠EBM＝５２°, ∴ ∠BAM＝９０°－ ∠ABM＝３８°, ∴ ∠BAC＝２∠BAM＝７６°． １１．５８°或３２°　１２．３０°　１３．４ １４．１８０°＋α２ 　 (２n －１)１８０°＋α ２n １５．证明:∵AB＝AC,∴ ∠B＝ ∠C, 在△BDE和△CEF中, BD＝CE, ∠B＝ ∠C, BE＝CF, ì î í ïï ï ∴△BDE≌△CEF(SAS),∴DE＝FE, ∵M 是DF 的中点, ∴EM⊥DF． １６．解:(１)∵ ∠BAC＝９０°,∠B＝４５°, ∴ ∠ACB＝４５°, ∵CE＝AC, ∴ ∠CAE＝ ∠E, ∵ ∠ACB＝ ∠CAE＋ ∠E＝４５°, ∴ ∠E＝２２􀆰５°, ∵AB＝DB, ∴ ∠ADB＝１２ (１８０°－４５°)＝６７􀆰５°, ∴ ∠DAE＝ ∠ADB－ ∠E＝４５°; (２)∠DAE＝４５°; (３)设 ∠BAC＝α,∠B＝β, ∴ ∠ACB＝１８０°－α－β, ∵CE＝AC, ∴ ∠CAE＝ ∠E, ∵ ∠ACB＝ ∠CAE＋ ∠E＝１８０°－α－β, ∴ ∠E＝９０°－１２α－ １ ２β , ∵AB＝DB, ∴ ∠ADB＝１２ (１８０°－β)＝９０°－ １ ２β , ∴ ∠DAE＝ ∠ADB－ ∠E ＝９０°－１２β－ (９０°－ １ ２α－ １ ２β) ＝ １ ２α , ∴ ∠BAC＝２∠DAE． 第７课时　１３􀆰３􀆰１等腰三角形(２) １．C　２．C　３．C　４．①③④ ５．证明:∵CD∥AB, ∴ ∠CDE＝ ∠B, 又∵CE∥AD, ∴ ∠CED＝ ∠ADB, 又∵AB＝AD,∴ ∠B＝ ∠ADB, ∴ ∠CDE＝ ∠CED, ∴△CDE是等腰三角形． ６．证明:∵BD＝BE, ∴ ∠BDE＝ ∠BED, 又∵ ∠BED＝ ∠CEF, ∴ ∠BDE＝ ∠CEF, 又∵DF⊥AC, ∴ ∠A＋ ∠BDF＝９０°,∠C＋ ∠CEF＝９０°, ∴ ∠A＝ ∠C, ∴AB＝BC, ∴△ABC是等腰三角形． ７．解:(１)由折叠的性质,可得 ∠CBD＝ ∠C′BD, ∴ ∠ABC＝２∠CBD, ∵ ∠C＝２∠CBD, ∴ ∠C＝ ∠ABC, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４３ 在△ABC中,∠A＝３６°, ∴ ∠C＝ ∠ABC＝１８０°－３６°２ ＝７２° , ∴ ∠CBD＝３６°, ∴ ∠BDC＝１８０°－３×３６°＝７２°; (２)∵ ∠C ＝ ∠ABC ＝ ∠BDC ＝ ∠BDC′ ＝ ∠BC′D ＝７２°, ∴AB＝AC,BC＝BD＝BC′, ∴△ABC,△BCD,△BC′D 是等腰三角形, ∵ ∠ABC＝ ∠BDC＝ ∠BDC′＝ ∠BC′D ＝７２°, ∴ ∠ABD＝ ∠ADC′＝ ∠A＝３６°, ∴AD＝BD,AC′＝DC′, ∴△ABD,△ADC′是等腰三角形, ∴等腰三角形有△ABC,△ABD,△BCD, △BDC′,△ADC′． ８．D　９．B　１０．４ １１．解:如解答图,∵ 在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,∠BAC ＝３０°, 解答图 ∴当AB＝BP１ 时,∠AP１B＝ ∠BAP１ ＝３０°, 当AB＝AP２ 时,∠AP２B＝ ∠ABP２ ＝ １２ × (１８０°－ ３０°)＝７５°, 当AB＝AP３ 时,∠AP３B＝ ∠ABP３ ＝１２ ∠BAC ＝１２ ×３０°＝１５° , 当AP４ ＝BP４ 时,∠BAP４ ＝ ∠ABP４, ∴ ∠AP４B＝１８０°－３０°×２＝１２０°, ∴ ∠APB的度数可能为１５°,３０°,７５°或１２０°． １２．解:选择小敏的证明思路,如图２,在AC上截取AE＝ AB,连接DE, ∵AD 是 ∠BAC的平分线, ∴ ∠BAD＝ ∠EAD, 在△ABD 和△AED 中, AB＝AE, ∠BAD＝ ∠EAD, AD＝AD, ì î í ïï ï ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴BD＝DE,∠ABD＝ ∠AED, ∵ ∠AED＝ ∠EDC＋ ∠C,∠B＝２∠C, ∴ ∠EDC＝ ∠C,∴DE＝EC, 即AB＋BD＝AC; 选择小捷的证明思路,如图３,延长CB 至点E,使BE ＝AB,连接AE, 则 ∠E＝ ∠BAE, ∵ ∠ABC＝ ∠E＋ ∠BAE, ∴ ∠ABC＝２∠E, ∵ ∠ABC＝２∠C, ∴ ∠E＝ ∠C, ∴△AEC是等腰三角形, ∵AD 是 ∠BAC的平分线, ∴ ∠BAD＝ ∠DAC, ∵ ∠ADE＝ ∠DAC＋ ∠C, ∠DAE＝ ∠BAD＋ ∠BAE, ∴ ∠ADE＝ ∠DAE, ∴EA＝ED＝AC, ∴AB＋BD＝AC． 第８课时　１３􀆰３􀆰２等边三角形(１) １．B　２．D　３．B　４．３ ５．证明:∵ ∠BFC＝１２０°, ∴ ∠ECF＝ ∠BFC－ ∠CEB＝１２０°－ ∠CEB, 又∵△ABC是等边三角形, ∴ ∠EBC＝１８０°－６０°－ ∠CEB＝１２０°－ ∠CEB, ∴ ∠ECF＝ ∠EBC,即 ∠DCA＝ ∠EBC, ∵ ∠CAD＝ ∠BCE＝６０°,AC＝CB, ∴△ACD≌△CBE,∴AD＝CE． ６．C　７．∠A＝６０° ８．解:过点D 作AC 的平行线,交AB于点P,如解答图, 解答图 ∴△BDP 为等边三角形,BD＝BP, ∴AP＝CD, ∵ ∠BPD 为△ADP 的外角, ∴ ∠ADP＋ ∠DAP＝ ∠BPD＝６０°, 而 ∠ADP＋ ∠EDC＝１８０°－ ∠BDP－ ∠ADE＝６０°, ∴ ∠ADP＋ ∠DAP＝ ∠ADP＋ ∠EDC＝６０°, ∴ ∠DAP＝ ∠EDC,在△ADP 和△DEC中, ∠DAP＝ ∠EDC, AP＝DC, ∠APD＝ ∠DCE, ì î í ïï ï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５３