12.3 角平分线的性质-【优课堂给力A+】2023-2024学年八年级数学上册课后作业（人教版）

尺」优课堂作，A+·八年级数学（上） 第9课时 12.3角平分线的性质(2) A组夯实其础 一、角平分线的判定 1.如图，一把直尺压住射线OB,另一把完全一 样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交 5题图 6题图 于点P,小明说：“射线OP就是∠BOA的角 6.三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图 平分线.”这样说的依据是 () 的三角形区域，如果在这个区域内修建一个 A.角平分线上的点到这个角两边的距离 集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离 相等 相等，那么这个集贸市场应建的位置是 B.三角形三条角平分线的交点到三条边的 距离相等 7.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥ C.在一个角的内部，到角的两边距离相等的 AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF 点在这个角的平分线上 求证：AD是△ABC的角平分线. D.以上均不正确 1题图 2题图 2.下列各点中，到∠AOB两边距离相等的是 ( 8.如图，已知点D,E,F分别是△ABC的三边上 A.点PB.点QC.点M D.点N 的点，CE=BF,且△DCE的面积与△DBF的 3.如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点 面积相等.求证：AD平分∠BAC. P,则下列结论正确的是 () A.BP平分∠APC B.BP平分∠ABC C.BA=BC D.PA-PC 3题图 4题图 4.如图，在△ABC中，O是在△ABC内一点， 且点O到在△ABC三边的距离相等， ∠BOC=126°，则∠A的度数为 () A.72°B.27°C.54 D.108 5.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C,QD⊥OB 于点D,若QC=QD,则∠AOQ= ·33+∵ ∠BCA＝９０°,∴ ∠BCE＋ ∠ACF＝９０°, ∵ ∠BCE＋ ∠CBE＝９０°,∴ ∠ACF＝ ∠CBE, ∵AC＝BC,∴△BCE≌△CAF, ∴BE＝CF,CE＝AF, ∵CF＝CE＋EF, ∴EF＝CF－CE＝BE－AF; ②α＋ ∠BCA＝１８０° (２)EF＝BE＋AF,理由如下: ∵ ∠BEC＝ ∠CFA＝α＝ ∠BCA, 又∵ ∠EBC＋ ∠BCE＝１８０°－α, ∠BCE＋ ∠ACF＝１８０°－α, ∴ ∠EBC＝ ∠ACF, 在△BEC和△CFA 中, ∠EBC＝ ∠FCA, ∠BEC＝ ∠CFA, BC＝CA, ì î í ïï ï ∴△BEC≌△CFA(AAS), ∴CE＝AF,BE＝CF, ∵EF＝CE＋CF, ∴EF＝BE＋AF． 第８课时　１２􀆰３角平分线的性质(１) １．A　２．C　３．D　４．B　５．１０cm ６．解:过点D 作DE ⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点F,如解 答图, 解答图 ∵AD 为 ∠BAC的平分线, ∴DE＝DF,AB＝６,AC＝４,且S△ABD ＝９, ∴S△ABD ∶S△ACD ＝ ( １２AB􀅰DE) ∶ ( １ ２AC 􀅰DF) ＝AB∶AC＝６∶４＝３∶２, 则S△ACD ＝６． ７．解:CE＝FG,CE∥FG． 理由:∵AF平分 ∠BAC, ∠ACB＝９０°,FG⊥AB于点G, ∴CF＝GF,∠CAF＝ ∠BAF, ∵CD⊥AB,∴CE∥GF, ∵ ∠CFE＋ ∠CAF＝９０°,∠AED＋ ∠BAF＝９０°, ∴ ∠CFE＝ ∠AED＝ ∠CEF, ∴CE＝CF,∴CE＝GF． ８．３∶４∶５　９．２０°　１０．１２０１３ １１．证明:(１)∵AD 是 ∠BAC 的平分线,DE ⊥AB,DC ⊥AC, ∴DE＝DC, 在 Rt△CFD 和 Rt△EBD 中, DF＝BD, CD＝ED,{ ∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL), ∴CF＝EB; (２)在△ACD 和△AED 中, ∠ACD＝ ∠AED＝９０°, ∠CAD＝ ∠EAD, AD＝AD, ì î í ïï ï ∴△ACD≌△AED(AAS),∴AC＝AE, ∴AB＝AE＋EB＝AC＋EB＝AF＋FC＋EB＝AF ＋２EB． １２．解:(１)DE＝DF．理由如下: 过点D 作DM ⊥AB 于点M,DN ⊥AC 于点N,如解 答图１, ∵AD 平分 ∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC, ∴DM＝DN, ∵ ∠AED＋ ∠AFD＝１８０°, ∠AFD＋ ∠DFN＝１８０°, ∴ ∠DFN＝ ∠AED, ∴△DME≌△DNF(AAS),∴DE＝DF; 解答图１ 　　 解答图２ (２)不一定成立． 如解答图２,若DE,DF 在点D 到角的两边的垂线段 与顶点A 的同侧,则一定不成立, 经过(１)的证明,若在垂线段上或两侧,则成立,所以 不一定成立． 第９课时　１２􀆰３角平分线的性质(２) １．C　２．B　３．B　４．A　５．３５° ６．∠A,∠B,∠C的角平分线的交点处 ７．证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ ∠BED＝ ∠CFD＝９０°, ∵D 是BC 的中点,∴BD＝CD, 而BE＝CF, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８２ ∴DE＝DF, 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD 平分 ∠BAC,即AD 是△ABC的角平分线． ８．证明:过D 作DM ⊥AB 于点M,DN ⊥AC 于点N,如 解答图, 解答图 ∵△DCE的面积与△DBF的面积相等, ∴BF 􀅰DM ２ ＝ CE􀅰DN ２ , ∵CE＝BF,∴DM＝DN, ∴点D 在 ∠BAC的平分线上, 又∵A 点也在 ∠BAC的平分线上, ∴AD 平分 ∠BAC． ９．A １０．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 １１．解(１)△ACD 和△BCE 都是等边三角形,且 A,C,B 三点共线, ∴ ∠ACE＝ ∠DCB＝１２０°, 在△ACE和△DCB中, AC＝DC, ∠ACE＝ ∠DCB, CE＝CB, ì î í ïï ï ∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE＝DB; (２)如解答图,过点C 作CM ⊥AE 于点M,CN ⊥DB 于点N, 解答图 由(１)可得△ACE≌△DCB,S△ACE ＝S△DCB , ∴１２AE 􀅰CM＝１２DB 􀅰CN, ∵AE＝DB,∴CM＝CN, ∴FC平分 ∠AFB． １２．解:(１)OE＝OD (２)AE＋DC＝AC (３)S１ ＋S２ ＝S３,理由如下: 如解答图,在AC上截取AF＝AE,连接OF, 解答图 ∵ ∠B＝６０°,∠BAC＋ ∠ACB＝１２０°, ∴ ∠AOE＝ ∠COD＝ ∠OAC＋ ∠OCA ＝１２ (BAC＋ ∠ACB)＝６０°, 在△AOE和△AOF中, AE＝AF, ∠EAO＝ ∠FAO, AO＝AO, ì î í ïï ï ∴△AOE≌△AOF(SAS), ∴S△AOF ＝S△AOE ＝S２, ∴ ∠AOF＝ ∠AOE＝６０°, ∴ ∠COF＝１８０°－ ∠AOF－ ∠COD＝６０°, ∴ ∠COF＝ ∠COD, 在△COD 和△COF中, ∠COD＝ ∠COF, CO＝CO, ∠DCO＝ ∠FCO, ì î í ïï ï ∴△COD≌COF(ASA),∴S△COF ＝S△COD ＝S１, ∴S△AOC ＝S△AOF ＋S△COF ＝S△AOE ＋S△COD , 即S１ ＋S２ ＝S３． 第１０课时　«全等三角形»复习 １．B　２．２或５ ３．(１)证明:∵AD⊥BC,∠ACB＝４５°, ∴ ∠ADB＝ ∠CDE＝９０°, ∴AD＝CD,∠CAD＝ ∠ACD＝４５°, 在△ABD 与△CED 中, AD＝CD, ∠ADB＝ ∠CDE, BD＝ED, ì î í ïï ï ∴△ABD≌△CED(SAS); (２)解:∵CE为 ∠ACD 的角平分线, ∴ ∠ECD＝１２ ∠ACD＝２２􀆰５° , 由(１),得△ABD≌△CED, ∴ ∠BAD＝ ∠ECD＝２２􀆰５°, ∴ ∠BAC＝ ∠BAD＋ ∠CAD＝２２􀆰５°＋４５°＝６７􀆰５°． ４．解:如解答图,过点F作FG⊥AB于点G, 解答图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９２