第1章 二次函数章末重难点检测卷-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第1章 二次函数 章末重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【详解】解：顶点式，顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是； 故选：A． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）点在二次函数的图象上，则的值是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 根据所给函数解析式可得出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可解决问题． 【详解】 解：由题知， 抛物线的对称轴是直线， 又， 则所给的两个点是关于直线对称的， 所以它们的纵坐标相等， 即． 所以． 故选：B． 3．（2024九年级下·浙江·专题练习）将抛物线通过以下平移能得到抛物线的是（　　） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象平移，左加右减，上加下减是解题的关键． 根据“上加下减”进行解答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴将抛物线向上平移2个单位能得到抛物线， 故选：C． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，则一元二次方程的根的说法正确的是（    ） A．有两个负根 B．有两个正根 C．有一正一负的两根 D．无实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据函数图象可知一次函数与二次函数图象的两个交点的横坐标都大于0，则对应方程的解为两个正根，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，且这两点均在第一象限， ∴方程有两个正根， ∴一元二次方程有两个正根， 故选：B． 5．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，当时，函数y的最大值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定函数的对称轴和开口方向是解题关键． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵，函数图象开口向上， 又 ∴当时，函数有最大值，此时， 故选：D 6．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球从飞出到落地要用4s C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D．小球的飞行高度可以达到25m 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间；求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根，，即时所用的时间， 小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误； ， 对称轴为直线，最大值为20，故D错误； 时，，此时小球继续下降，故C错误； 当时，，， ， 小球从飞出到落地要用4s，故B正确． 故选：B． 7．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为轴是解题的关键． 由题意可知对称轴为轴，则函数为，利用待定系数法求得，由当时，该函数有最大值和最小值，即可得出，，进一步求的， 得到的最小值为，无最大值． 【详解】二次函数的图象经过点，，， 对称轴为直线， ，， ， 把，代入得， 解得：． 当时，该函数有最大值和最小值， 时，取最大值， 时，取最小值， ， 又， 的最小值为，无最大值． 故选B． 8．（2023·四川泸州·二模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到的取值范围． 方法二：根据且时，都有，可以得到，然后利用分类讨论的方法，即可得到的取值范围． 本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：方法一：抛物线， 该抛物线的对称轴为直线， 当且时，都有， 当时， ， 解得； 当时， ， 此时无解； 由上可得，的取值范围为， 故选：A． 方法二：由可得， ， 整理，得：， 且， 当时，则， 即， 解得， ； 当时，则，此时无解； 由上可得，， 故选：A． 9．（2024·浙江杭州·一模）定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，新定义，一次函数的性质，当时，则，可求出当时，，据此利用一次函数的性质求解即可；当或时，，则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，则， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组，可知不等式组无解； 解不等式组得， ∴当时，， ∴此时的最大值为； 当或时，，则， ∴； 综上所述，的最大值为2， 故选：B． 10．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的综合应用，通过函数解析式求出抛物线顶点坐标，可得抛物线运动轨迹，然后通过数形结合求解，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握求二次函数顶点运动轨迹的方法，通过数形结合方法求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线顶点所在图象解析式为， 当抛物线经过点时，如图， ∴，整理得 解得：； 当抛物线经过点时， ∴， 解得：或， ∴当或时，与线段只有一个公共点， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当直线的解析式与抛物线只有一个交点时， 即， 整理得：， 即有，解得：， 综上可知：的取值范围是或或， 故选：． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果函数是关于x的二次函数，那么m的值一定是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ，且， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，把点代入求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【详解】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线 所以当时，函数取得最小值，且 则当时， 当时， ∴在中，函数的最大值为， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）对于一个函数，自变量取时，函数值y也等于，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数． （1）若3是此函数的不动点，则m的值为 ． （2）若此函数有两个相异的不动点，，且，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数结合． （1）根据不动点定义当，代入解一元一次方程即可得到答案； （2）根据不动点定义列方程解出一元二次方程的解，结合及判别式大于0即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 当，，代入可得， ， 解得：； 设函数不动点为n，由题意可得， ，且有两个解，， 解得：，， 且，解得：， ∵， ∴，， 解得：， 故答案为：；． 15．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点A为x轴上一点，点B的横坐标为6，以、为边构造．过点O，C，B的抛物线与x轴交于点D．连接，交边于点E．若，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识，利用平行四边形的性质证明，得出，则A为中点，设点，由抛物线的对称轴可列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， ∴A点为中点， 设点， ∴，，， ∵点B的横坐标为6， ∴点C的横坐标为， ∵ ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵点B与点C关于对称轴对称， ∴点B与点C到对称轴的距离相等， ∴ ∴， 故答案为：． 16．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角边紧靠轴上．将一条不可伸缩的（与等长）绳子的一端固定于点处，另一端固定在轴正半轴上的点处，铅笔笔尖紧靠着三角板边把绳子绷紧，当三角板沿着轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知，，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了，则新抛物线的表达式为 ．    【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，先找到抛物线的顶点，然后求得点能到达的最左边的位置点，进而待定系数法求解析式，根据题意新抛物线的开口最大宽度增加了，结合图形，即可求解． 【详解】解：当与轴重合时， ∵，， ∴， 设抛物线解析式为 当重合时，则，如图所示，过点作轴于点    又∵的纵坐标为，则， ∴ ∴ 代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 如图所示，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了， 设 ∴，， ∴ 解得：， ∴新的抛物线的顶点坐标为 设新抛物线解析式为， 将点代入得， 解得： ∴新的抛物线解析式为 故答案为：． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴当时，． 18．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题． x … 0 … y … 0 4 … (1)求出该二次函数的表达式； (2)写出向下平移2个单位后，图象所对应的二次函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图象的平移，注意计算的准确性． （1）将和代入，即可求解； （2）上下平移改变因变量的值：上加下减． 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的表达式为： （2）解：向下平移2个单位后，二次函数得表达式为： ， 即： 19．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，抛物线经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点坐标． (2)点是抛物线上一点，且当时，的最大值为3，求的面积． 【答案】(1)，点为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求抛物线的表达式以及与面积有关的综合问题. （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，以及当当时，即可求出C点的坐标． （2）根据时，的最大值为3，可确定m的值，进而可求出答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得：， ； 当时，， ∴点为． （2）由题意得，二次函数经过点 由（1）得，，，； ， 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次函数的总和运用，待定系数法求解析式，面积问题； （1）由一次函数的解析式可求出点和点坐标．再代入抛物线解析式中即可求出和的值，即得出抛物线解析式； （2）过作轴，交直线于，设，，则，，则可用表示出的长，最后利用三角形面积公式即可求出的值，再利用二次函数的性质即得出答案； 【详解】（1）当时，， ， 当时，， 解得：， ， 把和代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： ； （2）如图，过作轴，交直线于， 设，则，， ， ， ， 有最大值，此时； 21．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，吴兴区某中学在校园内建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． 问题解决 任务1 确定函数关系 求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式． 任务2 设计种植方案 设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值． 任务3 预计下降率 学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为2892元？ 【答案】任务一：； 任务二：当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小值为4200元； 任务三：当a为20时，2026年的总种植成本为2892元 【分析】本题主要考查题二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识． 任务一：当时，由待定系数法求出一次函数关系式； 任务二：当时，由二次函数的性质得当时，W有最小值，最小值为4200元，此时乙种蔬菜的种植面积为． 任务三：根据2026年的总种植成本为2892元列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：当时， 设甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为， 将和 代入得：， 解得：， ∴； 任务二：当时，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，W有最小值，最小值为4200元， 此时，， ∴当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小值为4200元； 任务三：由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为4200元， 乙种蔬菜的种植成本为（元）， 则甲种蔬菜的种植成本为（元）， 由题意得：， 设， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：当a为20时，2026年的总种植成本为2892元． 22．（2024·浙江杭州·三模）在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数（是常数）的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，已知． (1)若，求该二次函数的最小值． (2)求证：． (3)若点A位于点之间，求证：． 【答案】(1)二次函数的最小值为； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点和的坐标代入即可求出解析式，然后配方得到最小值即可； （2）将点B的坐标代入得到，然后代入关系式为，然后求出点A和点C的坐标即可解题； （3）由题可得整理相加即可得到结论． 【详解】（1）解：把点和代入得： ，解得， ∴， ∴二次函数的最小值为； （2）证明：把代入得：， ∴， ∴， 令，则，解得或， ∴点A的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴； （3）解：由题可知：，即 两式相加得． 23．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求a和b的关系式； (2)当时，函数y有最小值，求a的值； (3)若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)5 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键． （1）将点代入，即可求得a和b的关系式； （2）根据第（1）问得到的结果，二次函数即为，对称轴为直线，分别讨论当时，对称轴直线在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出；当时，在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出； （3）若时，则二次函数为，平移后的解析式为，设，则，则，可求出、坐标，代入即可求出m． 【详解】（1）∵ 的图象经过点． ， ； （2）∵ 对称轴为直线， ①当时，对称轴直线在范围内， 当时，函数取得最小值，即， ， ②当时，在范围内， 当时，函数取得最小值，即， ， 或 （3）若时，则二次函数为，将函数图象向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式为， 设，则． ， ， ，， 将或代入，得， 解得． 24．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数 章末重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）点在二次函数的图象上，则的值是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 3．（2024九年级下·浙江·专题练习）将抛物线通过以下平移能得到抛物线的是（　　） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，则一元二次方程的根的说法正确的是（    ） A．有两个负根 B．有两个正根 C．有一正一负的两根 D．无实数根 5．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，当时，函数y的最大值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．19 6．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球从飞出到落地要用4s C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D．小球的飞行高度可以达到25m 7．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 8．（2023·四川泸州·二模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 9．（2024·浙江杭州·一模）定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 10．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果函数是关于x的二次函数，那么m的值一定是 ． 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线经过点，则 ． 13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 14．（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）对于一个函数，自变量取时，函数值y也等于，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数． （1）若3是此函数的不动点，则m的值为 ． （2）若此函数有两个相异的不动点，，且，则m的取值范围为 ． 15．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点A为x轴上一点，点B的横坐标为6，以、为边构造．过点O，C，B的抛物线与x轴交于点D．连接，交边于点E．若，则点D的坐标为 ． 16．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角边紧靠轴上．将一条不可伸缩的（与等长）绳子的一端固定于点处，另一端固定在轴正半轴上的点处，铅笔笔尖紧靠着三角板边把绳子绷紧，当三角板沿着轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知，，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了，则新抛物线的表达式为 ．    三、解答题（8小题，共68分） 17．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 18．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题． x … 0 … y … 0 4 … (1)求出该二次函数的表达式； (2)写出向下平移2个单位后，图象所对应的二次函数表达式． 19．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，抛物线经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点坐标． (2)点是抛物线上一点，且当时，的最大值为3，求的面积． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标； 21．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，吴兴区某中学在校园内建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． 问题解决 任务1 确定函数关系 求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式． 任务2 设计种植方案 设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值． 任务3 预计下降率 学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为2892元？ 22．（2024·浙江杭州·三模）在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数（是常数）的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，已知． (1)若，求该二次函数的最小值． (2)求证：． (3)若点A位于点之间，求证：． 23．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求a和b的关系式； (2)当时，函数y有最小值，求a的值； (3)若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值． 24．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$