第02讲 二次函数的图象（5个知识点+7大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第02讲 二次函数的图象（5个知识点+7大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.二次函数y＝ax2的图象和性质 2.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 1.会画出各二次函数图象的简图； 2.掌握各二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴和顶点坐标； 3、经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质． 知识点01二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 【即学即练1】 1．已知二次函数，则其图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．抛物线与相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴 知识点02 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【即学即练3】 3．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 【即学即练4】 4．如果二次函数的值恒大于，那么必有（ ） A．，取任意实数 B．， C．， D．，均可取任意实数 知识点03 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【即学即练5】 5．二次函数的图像的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【即学即练6】 6．已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 知识点04 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【即学即练7】 7．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【即学即练8】 8．已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 知识点05 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即学即练9】 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线，若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【即学即练10】 10．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 题型01 二次函数y=ax2的图象与性质 【典例1】关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【典例2】如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】 已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【变式2】二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【变式3】函数 与直线交于点 (1)求a，b的值. (2)x取何值时，y随x的增大而增大? 题型02 二次函数y=ax2+k的图象与性质 【典例1】下列图象中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】对于抛物线，若y的最小值是5，则（    ） A． B． C．5 D． 【变式1】 对于抛物线，当时，随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【变式2】对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 【变式3】已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 题型03 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质 【典例1】已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．开口大小相同 D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大 【变式1】 已知函数图象上两点，，其中，则 ． 【变式2】已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【变式3】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 题型04 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质 【典例1】二次函数图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例2】关于的图象，下列叙述正确的是（    ） A．其图像开口向左 B．其最小值为20 C．当时随增大而减小 D．其图像的对称轴为直线 【变式1】 已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是 .（用“”、“”或“”填空） 【变式2】当时，函数的最大值是 ． 【变式3】已知二次函数． (1)二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______． (2)当______时，y有最小值是_____． (3)当时，____． (4)当x______时，y随x的增大而减小． 题型05 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例1】已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例2】抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式1】 已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小： （填“”、“”或“”）． 【变式2】已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 【变式3】在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值． 题型06 二次函数图象与各系数的关系 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】如图为二次函数的图象，有下列四个结论：若，分别是抛物线上的两个点，则；；；．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 二次函数的图象如图所示，下列四个结论： ①； ②； ③； ④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4． 其中正确结论是 ．（填写序号） 【变式2】二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论①；②；③；④无实数根，其中错误的是 ． 【变式3】在平面直角坐标系中，点，为抛物线上两个不同的点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若，求m的取值范围． 题型07 两个二次函数图象综合判断 【典例1】函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式1】 已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 【变式2】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【变式3】已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． A夯实基础 1．二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 2．二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 3．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 4．已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是 （填＞，＜或＝）． 5．已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴． 6．探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． B能力提升 1．关于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．与轴交于点 C．与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小 2．已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 3．一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为 ． 4．已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 5．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 6．观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． C综合素养 1．二次函数（，h，k为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则h的值可能为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．点在抛物线上，则的大小关系是 （用“<”连接）． 4．如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 5．已知点在开口向上的抛物线上，若点也在此抛物线上，将抛物线在点之间的部分记为图象（含点）． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数的值． 6．二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图象（5个知识点+7大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.二次函数y＝ax2的图象和性质 2.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 1.会画出各二次函数图象的简图； 2.掌握各二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴和顶点坐标； 3、经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质． 知识点01二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 【即学即练1】 1．已知二次函数，则其图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】解：A、当时，，故二次函数图象经过点，符合题意； B、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； C、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； D、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； 故选：A． 【即学即练2】 2．抛物线与相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质分析即可． 【详解】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点； 故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 知识点02 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【即学即练3】 3．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，故A错误； ∵当时，函数的最大值是，故B正确； ∵抛物线的对称轴是y轴，故C错误； ∵， ∴抛物线与x轴没有交点，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键． 【即学即练4】 4．如果二次函数的值恒大于，那么必有（ ） A．，取任意实数 B．， C．， D．，均可取任意实数 【答案】B 【分析】二次函数的值恒大于，则该函数开口向上，顶点在x轴上方，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的值恒大于， ∴二次函数开口向上，顶点在x轴上方， ∴，． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 知识点03 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【即学即练5】 5．二次函数的图像的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点式可直线得出抛物线的对称轴． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线． 故选C． 【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式方程是解题的关键，即在中其顶点坐标为． 【即学即练6】 6．已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为， ∴在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧y随着x的增大而减小， ∵当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴； 故选D． 知识点04 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【即学即练7】 7．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 【即学即练8】 8．已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质和二次函数的解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数开口向下， ∴函数的最大值是， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 知识点05 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即学即练9】 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线，若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵， ∵， ∴两点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得：， 故选：． 【即学即练10】 10．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和 ∴对称轴为直线， ∵， ∴点比点更靠近对称轴， ∴，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 题型01 二次函数y=ax2的图象与性质 【典例1】关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的性质即可作答． 【详解】根据二次函数和的图象，可得两图象都关于轴对称，两图象的顶点相同，两图象的开口方向不同，的图象开口向上，的图象开口向下，点只在抛物线上，所以①③④正确． 故选：B． 【典例2】如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 【变式1】 已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据二次函数解析式可得二次函数开口向下，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，由此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故答案为：． 【变式2】二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【答案】 抛物线 轴 向下 【分析】本题考查二次函数的性质．熟记知识点是关键． 【详解】图像为抛物线；对称轴为轴；顶点坐标为；，开口向下； 故答案为：抛物线；轴；；向下． 【变式3】函数 与直线交于点 (1)求a，b的值. (2)x取何值时，y随x的增大而增大? 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握函数图象交点的坐标满足每个函数解析式是解题的关键． （1）把已知点代入直线解析式可求得，再代入抛物线解析式可求得的值； （2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，则可求得答案． 【详解】（1）解：把代入可得：， 点的坐标为， 把代入可得，即 则 ∴ （2）解：由（1）可得， ∴物线开口向下，且对称轴为轴， 当时，随的增大而增大． 题型02 二次函数y=ax2+k的图象与性质 【典例1】下列图象中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 【典例2】对于抛物线，若y的最小值是5，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，确定，问题随之得解． 【详解】∵，且， ∴， ∵y的最小值是5， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】 对于抛物线，当时，随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据题目中的函数解析式以及二次函数的图象和性质，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，随的增大而增大． 故答案为：增大． 【变式2】对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到，由抛物线的性质得到，由此求得m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大， ∴，， 整理得：，且， 解得：． 故答案为：． 【变式3】已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 题型03 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质 【典例1】已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 【典例2】关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．开口大小相同 D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴是直线，当，y随x的增大而减小； 二次函数的开口向下，对称轴是直线，当，y随x的增大而增大； 故选项A符合题意，选项B、C，D不符合题意． 故选：A． 【变式1】 已知函数图象上两点，，其中，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数解析式得到其增减性，再根据其增减性即可判断、的大小． 【详解】解：函数解析式为，其中， 函数图象开口向下， 函数的对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【变式2】已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， 故答案为：． 【变式3】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； (4)见解析 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象； （2）根据二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的平移可进行求解； （4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型04 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质 【典例1】二次函数图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此求解即可. 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为， 故选：C。 【典例2】关于的图象，下列叙述正确的是（    ） A．其图像开口向左 B．其最小值为20 C．当时随增大而减小 D．其图像的对称轴为直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式得出开口向上，最小值，对称轴以及增减性，即可求解． 【详解】解：关于的图象， ，则抛物线开口向上，对称轴为直线，最小值为，当时随增大而增大， 故选：D． 【变式1】 已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是 .（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴，再根据开口方向向上，可得抛物线上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越小，反之越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越小，反之越大， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】当时，函数的最大值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得出当时，函数最大值，即可求解． 【详解】解：, 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，函数最大值，最大值为， 故答案为：2． 【变式3】已知二次函数． (1)二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______． (2)当______时，y有最小值是_____． (3)当时，____． (4)当x______时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)向上，， (2)4， (3)7 (4) 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的所有的图象和性质才能比较熟练解决问题． （1）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标； （2）根据抛物线的顶点式即可回答； （3）将代入函数关系式求y的值； （4）根据二次函数的图象与性质回答即可． 【详解】（1）二次函数， 图象开口方向上，对称轴为，顶点坐标为， 故答案为：向上，，； （2）二次函数， ∴当时，y有最小值是， 故答案为：4，； （3）将代入函数关系式得：， 故答案为：7； （4）二次函数，图象开口方向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小． 故答案为：． 题型05 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例1】已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【详解】解：， 二次函数的开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而减小， ， ， 故选：C 【典例2】抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对进行判断；根据抛物线与一元二次方程的关系，可对进行判断；根据抛物线的对称轴可对C进行判断；根据当时，可对D进行判断． 【详解】解：抛物线开口方向向上，对称轴为， ，， ，， 故选项C不符合题意； 抛物线轴的交点在轴负半轴， ， ， 故选项A不符合题意； 抛物线与x轴有两个交点， 一元二次方程有两个根， 即， 故选项B不符合题意； ∵抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为， ∴当时，， 故选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】 已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 比较两个点离直线的远近即可得到、的大小关系． 【详解】∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近， ∴． 故答案为：． 【变式2】已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由抛物线，可知抛物线开口向上，与轴的交点为，由抛物线经过，，三点，得出对称轴为直线，然后根据点的坐标特征得出或，解不等式（组即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向上，与轴的交点为， 抛物线经过，，三点， 对称轴为直线， ， 或， 解得或． 故的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式3】在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值． 【答案】(1)直线 (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式： （1）：把代入中得，再根据对称轴计算公式求解即可； （2）根据题意可得，再由抛物线开口向上，得到离对称轴越远函数值越大，则当时，，当时，，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线对称轴为直线； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴抛物线开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵当，y的取值范围是， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴， 解得或（舍去）． 题型06 二次函数图象与各系数的关系 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线可知：， 对称轴， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 抛物线过点， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故④正确； 故正确的有：①②③④． 故选：D． 【典例2】如图为二次函数的图象，有下列四个结论：若，分别是抛物线上的两个点，则；；；．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断． 【详解】解：∵若，分别是抛物线上的两个点， ∵对称轴为，开口向下， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴； ∴；故②正确； ∵对称轴为，开口向下， ∴当时，为最大值 ∴ ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴ 由图象可得，当时， ∴ ∴，故④正确； 综上所述，正确的说法是：①②③④． 故选D． 【变式1】 二次函数的图象如图所示，下列四个结论： ①； ②； ③； ④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4． 其中正确结论是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质．由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则；在时，，即，由，得到，，代入到，即可得出；根据二次函数的最值问题得到时，y有最大值，则，变形得到；根据图象的对称与翻折可得结论． 【详解】解：：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， 所以①错误； 根据抛物线在时，，即， ∵，， ∴，即， 故②正确． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，y有最大值， ∴， ∴， 故③正确． 将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线有四个交点即可． 由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4． 故④正确 故答案为：②③④． 【变式2】二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论①；②；③；④无实数根，其中错误的是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；时，，可对②进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，无交点，可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，，即， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根，故④正确． 故答案为：② 【变式3】在平面直角坐标系中，点，为抛物线上两个不同的点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)m的取值范围是：或． 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用二次函数求不等式的解集及熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）由二次函数的对称轴公式即可解决问题． （2）根据题意列出不等式组即可． 【详解】（1）解：由题知， 所以抛物线的对称轴为直线； （2）解：将点点，坐标代入函数解析式得， ， ， 又因为， 所以， 解得或． 所以m的取值范围是：或 题型07 两个二次函数图象综合判断 【典例1】函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 【典例2】如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可. 【详解】∵二次函数的图像为抛物线， ∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键. 【变式1】 已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】k=0或k＞2． 【分析】先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围． 【详解】解：∵当ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方， ∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c， ∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方部分的图象． ∵当ax2＋bx＋c＜0时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴下方， ∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)， ∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象． ∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点纵坐标是－2， ∴函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2， ∴y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图． ∵观察图象可得当k≠0时， 函数图象在直线y＝2的上方时，纵坐标相同的点有两个， 函数图象在直线y＝2上时，纵坐标相同的点有三个， 函数图象在直线y＝2的下方时，纵坐标相同的点有四个， ∴若|ax2＋bx＋c|＝k有两个不相等的实数根， 则函数图象应该在y＝2的上边， 故k＝0或k＞2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，根据图象得出k的取值范围． 【变式3】已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 【答案】(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据x值的取值判断函数表达式和用顶点式求函数最大值是解本题的关键． A夯实基础 1．二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴函数有最大值7． 故选A． 2．二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的的顶点坐标为，即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：A 3．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 4．已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是 （填＞，＜或＝）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴； 故答案为：． 5．已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴． 【答案】抛物线解析式为，对称轴为y轴 【分析】把已知点的坐标代入中求出a，从而得到抛物线解析式，然后利用二次函数的性质得到对称轴． 【详解】解：把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为，对称轴为y轴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握：顶点在原点的抛物线的对称轴为y轴． 6．探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【答案】①向上；②；③；④3， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． B能力提升 1．关于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．与轴交于点 C．与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图像和性质，根据二次函数的图像与性质即可得出答案． 【详解】解：A．对称轴为直线，原说法错误，故该选项不符合题意； B．另，，与轴交于点，原说法错误，故该选项不符合题意； C．当时，即，化为，且，方程两个不相等的实数根，∴抛物线与轴有两个交点，故该选项不符合题意； D．∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2．已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围． 【详解】解：令，整理得， 解得，， 直线与抛物线的交点的横坐标为5，0， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 把代入， 解得， 若，，则，， ， 故选：A． 3．一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握其顶点式是解题的关键．设抛物线解析式为，根据抛物线的顶点坐标为，得，于是抛物线解析式为，取的值即可. 【详解】解：设抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线解析式为， 取，此时二次函数的函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 4．已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线，抛物线关于原点中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 5．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是，抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 【详解】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向下 直线 向下 直线 6．观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 C综合素养 1．二次函数（，h，k为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则h的值可能为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，代入已知的点，可得，进而可得，即有，问题随之得解． 【详解】∵当时，；当时，， ∴， 即，可得：， 整理得：， ∵二次函数图像开口向下， ∴， ∴， 故选：D． 2．若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 3．点在抛物线上，则的大小关系是 （用“<”连接）． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中变化时，抛物线的开口方向以及对称轴的位置对的影响是解题的关键．根据可求出函数的对称轴，点、在对称轴右侧，函数图形开口向上，随增大而增大，可以判断的大小，而点点离对称轴最远，故的值最大，据此即可判断． 【详解】解：∵的开口向上，且对称轴为， ∵、点在抛物线右侧，， ∴， ∵离对称轴最远，值最大，离对称轴最近，值最小， ∴ 故答案为：． 4．如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质．由点、的坐标结合抛物线的顶点位于第一象限且在线段的垂直平分线上，即可得出值以及，分点在线段下方及点在线段上方两种情况考虑抛物线与线段无公共点，当点在线段下方时，根据点的坐标即可得出；当点在线段上方时，由抛物线过点及当时值大于3，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出，进而得解． 【详解】解：抛物线的顶点位于第二象限且在线段的垂直平分线上，且点，， ，． 抛物线与线段无公共点分两种情况： ①当点在线段下方时， 点的坐标为， ． ②当点在线段上方时， 有， 解得：． 综上所述：的取值范围为或． 故答案为：或． 5．已知点在开口向上的抛物线上，若点也在此抛物线上，将抛物线在点之间的部分记为图象（含点）． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）由点在开口向上的抛物线上，得抛物线的对称轴为直线，从而得，进而即可求解； （2）由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上及得，从而得．进而得，于是有，解得（舍去），进而即可得解． 【详解】（1）解： 点在开口向上的抛物线上， 抛物线的对称轴为直线， ， ． 当时，， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上． ， ． 图象上任意两点纵坐标差的最大值为2， ， ， 解得（舍去）， ， ∴整数的值为1． 6．二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点，得，即可求解； （2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解； （3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】（1）解：图像过点，， ； 故答案：； （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； （3）解：由（1）得 ， 整理得：， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令，画出图象如图所示： 由图象得：或， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴， 则有 同理由图象求得， 或， 综上：a的取值范围为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 $$