13.4 最短路径问题-【优课堂给力A+】2023-2024学年八年级数学上册课前课中（人教版）

优课堂A·八年级数学(上) 第10课时 13.4最短路径问题 课预习 作点A关于直线的对称点A',连接PA', 则PA'-PA,所以PA+PB=PA'$+P$B$ 1.涉及知识点;(1)轴对称;(2)两点之间,线段 B军营 将军A 最短;(3)三角形两边之和大于第三边;两边 之差小于第三边;(4)垂线段最短;(5)小学 的平移. 2.数学思想:转化、数形结合 当A,P,B三点共线的时候,PA'+PB A'B,此时为最小值(两点之间线段最短) 课堂导入 二、模型变化一:一定两动之点点 1.如图1,连接A,B两点的所有连线中,哪条 问题:在OA,OB上分别取点M,N,使得 最短?为什么? △PMN的周长最小. 图2 图1 【思路点拨】此处M,N均为折点,分别作点P 关于OA(折点M所在直线),OB(折点N所在直 2.如图2,点P与直线/上各点连接的所有线 线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P'M 段中,哪条最短?为什么? MN+NP”.当P'.M,N.P"共线时,△PMN的周 课堂探究 长最小. 三、模型变化二:两定两动之点点 一、模型原型:将军饮马问题 问题:在OA,OB上分别取点M,N,使得 如图1,将军在图中点A处,现在他要带 四边形PMNO的周长最小 ##一# 马去河边喝水,之后返回军营B处,问:将军怎 么走能使得路程最短? 营 B营 将军4 将军4 河 河 【思路点拨】考虑PQ是条定线段,故只需考虑 PM+MN+NQ的最小值即可,类似,分别作点P. 图1 图2 Q关于OA,OB的对称点,化折线段PM+MN+ 【思路点拨】先把这个问题转化为:在直线上 NQ为P'M+MN+NQ'.当P',M,N,Q共线时. 找一点P,使得PA+PB最小. 四边形PMNQ的周长最小. 四、模型变化三:一定两动之点线 这个问题的难点在于PA+PB是一段折 线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小 问题:在OA,OB上分别取点M,N,使得 PM+MN最小. 值,我们知道“两点之间,线段最短”“点到直线 的连线中,垂线段最短”等,所以此处,需转化 问题,将折线段变为直线段.作端点(点A或点 B)关于折点(上图P点)所在直线的对称点,化 折线段为直线段 .33. 第13章 轴对称 【思路点拨】此处M点为折点,作点P关于 解:作点A关于直线/的对称点A',连接AB并 OA对称的点P',将折线段PM+MN转化为PM 延长,交直线/于点P +MN,即过点P作OB的垂线,分别交OA,OB于 针对训练 点M,N,得PM+MN的最小值(点到直线的连线 中,垂线段最短). 1.如图是一个台球桌,上面有一个白球A,红 球B,和黑球C,三球在一条直线上,现在 五、模荆变化四·建桥问题 问题:如图,直线/,/。表示一条河的两 要用球杆击中自球,并让自球撞击桌边反 岸,且 /,现要在这条河上建一座桥,桥建 弹后击中红球,且不能碰到黑球,请你设计 在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路 一下白球的运动路线. 线最短?画出示意图,并说明理由。 A. C 8 .B ·/ 【思路点拨】先确定AA'与河等宽,且AA'1 河岸,连接BA',与河岸的交点就是点C,过点C作 CD垂直河岸,交另一河岸于点D.CD就是所求的 桥的位置. 2.如图,在△ABC的一边AB上有一点P. 厕1如图,正方形ABCD中,M是DC上 (1)能否在另外两边AC和BC上各找一 的一个定点,N是AC边上的一个动点,画图 点M,N,使得△PMN的周长最短?若 说明△DMN的周长取得最小值时点N的 能,请画出点M,N的位置,若不能,请说 位置. 明理由; 【思路点拨】考虑DM为定值,故求△DMN周 (2)若 ACB=50{},在(1)的条件下,求出 长的最小值即求DN+MN的最小值,点N为折 MPN的度数 点,按照将军饮马问题的解法即可画出。 解答图 解:作点D关于AC的对称点,即点B,连接BM 交AC于点N,此时△DMN的周长最小. 例2已知:点A,B位于直线/的两侧,在 直线/上求作点P,使 PA一PB 的值最大. 【思路点拨】作点A关于直线/的对称点A'. 则PA-PA',因而|PA-PB -|PA'-PB ,则当 A',B,P在一条直线上时,|PA一PB|的值最大. B 解答图 .34.AB＝CA, ∠BAE＝ ∠C, AE＝CD, ì î í ïï ï ∴△ABE≌△CAD(SAS); (２)解:∵ ∠BFD＝ ∠ABE＋ ∠BAD, 又∵△ABE≌△CAD, ∴ ∠ABE＝ ∠CAD, ∴ ∠BFD＝ ∠CAD＋ ∠BAD＝ ∠BAC＝６０°． ３．B　４．AB＝BC或AC＝BC(答案不唯一) ５．等边　６．①②③ ７．证明:∵CE⊥AB于点D,且DE＝DC, ∴BC＝BE, ∵AC＝BC,∠ACB＝１２０°,CE⊥AB于点D, ∴ ∠ECB＝６０°, ∴△CEB为等边三角形． ８．证明:∵BF＝AC,AB＝AE, ∴FA＝EC, ∵△DEF是等边三角形, ∴EF＝DE,又∵AE＝CD, ∴△AEF≌△CDE(SSS), ∴ ∠FEA＝ ∠EDC, ∵ ∠BCA ＝ ∠EDC ＋ ∠DEC ＝ ∠FEA ＋ ∠DEC ＝ ∠DEF,△DEF是等边三角形, ∴ ∠DEF＝６０°,∴ ∠BCA＝６０°, 由△AEF≌△CDE,得 ∠EFA＝ ∠DEC, ∵ ∠DEC＋ ∠FEC＝６０°, ∴ ∠EFA＋ ∠FEC＝６０°, ∴ ∠BAC＝ ∠EFA＋ ∠FEC＝６０°, ∵△ABC中,∠BCA＝６０°,∠BAC＝６０°, ∴△ABC是等边三角形． 第９课时　１３􀆰３􀆰２等边三角形(２) 课前预习 １．斜边的一半 针对训练 １．A　２．３　３．５　４．１５ 第１０课时　１３􀆰４最短路径问题 针对训练 １．解:作A 关于桌边MF 的对称点D,连接BD,交MF于 点E,连接AE,EB,A－E－B即为其运动路径． 解答图 ２．解:(１)存在,如解答图,点 M,N 即为所求; 解答图 (２)∵PD⊥AC,PG⊥BC, ∴ ∠PEC＝ ∠PFC＝９０°, ∴ ∠C＋ ∠EPF＝１８０°, ∵ ∠C＝５０°,∴ ∠EPF＝１３０°, ∵ ∠D＋ ∠G＋ ∠EPF＝１８０°, ∴ ∠D＋ ∠G＝５０°, 由对称可知:∠G＝ ∠GPN,∠D＝ ∠DPM, ∴ ∠GPN＋ ∠DPM＝５０°, ∴ ∠MPN＝１３０°－５０°＝８０°． 第１１课时　«轴对称»复习 知识回顾 ３．相等　４．相同　相同　互为相反数 ５．(１)两个底角　(２)互相重合 (３)两条边相等　两个角相等 ６．(１)相等　６０° (２)都相等　等于６０°　等于６０° (３)斜边长的一半 针对训练 １．C　２．A ３．解:(１)如图所示, △A１B１C１即为所求; (２)△ABC的面积为: ３×４－１２ ×２×３－ １ ２ ×２×２－ １ ２ ×１×４＝５ ; (３)如图所示,点P 即为所求的点． ４．C　５．３２° ６．解:(１)∵MP,NQ分别是AB,AC的垂直平分线, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７