精品解析：浙江省杭州市萧山城区8校联考2023-2024学年九年级下学期4月期中考试数学试题

2024年初中毕业升学模拟检测数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由7个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（ ），使得▱ABCD是菱形． A. AB＝AC B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AC＝BD 5. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，反比例函数为常数，且的图象与正比例函数为常数，且的图象相交于，两点，点的横坐标为．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，点、点分别在线段，上，线段与交于点，且满足．下列添加的条件中不能推得的是（ ） A. B. C. D. 8. 某班有40名学生，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计，由于小滨没有参加本次测试，算得39人测试成绩数据平均数，中位数．后来小滨进行了补测，成绩为29分，得到40人测试成绩数据的平均数，中位数，则（ ）． A. B. C D. 9. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 10. 如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式_____． 12. 圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为2cm，则圆锥的侧面积为_______. 13. 如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则______度． 14. 小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是______．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将______．（填“增加”“减小”或“不变”） 15. 如图，为半圆直径，，点C为半圆上一点，点D和点B关于直线对称，连接交于点E，连接．设，则y关于x的函数关系式为______． 16. 小江同学在学习勾股定理后，用两对全等的直角三角形（，）和正方形拼成如图所示的（无重叠也无缝隙），其中，，．记，的面积分别为，．则______，若，则正方形的面积=______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 以下是小滨计算的解答过程： 解：原式 ． 小滨解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 18. 随机抽取某校七年级部分同学的跳高测试成绩，得到如下频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）． （1）该组数据中，中位数所在组的频数是多少？请写出该组的边界值． （2）若该校七年级总共有360名学生，那么跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的大约有多少人？ 19. 一次函数，为常数，且的图象和反比例函数为常数，的图象交于点和点． （1）求的值及一次函数的表达式． （2）点为反比例函数图象上一点，点关于轴的对称点再向下平移4个单位得到点，点恰好落在反比例函数图象上，求点的坐标． 20. 如图，在中，，点D为边上一点，且满足． （1）求证：． （2）若，，求的值． 21. 如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 22. 已知二次函数（b为常数）． （1）若该函数图象顶点为，求证：； （2）若点，在该二次函数图象上，且满足，当时，比较，的大小，并说明理由． 23. 【综合与实践】 【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明． 如图（2），和的面积相等，求证：． 证明：分别过点、点作和底边上的高线，． 【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由． 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：如图（4），______． 求证：______． 证明： 24. 如图，在正方形中，以为直径作半圆，点为半圆上一点，连结并延长交边于点，连结并延长交边于点，连结． （1）求证：； （2）当时，求的最小值； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中毕业升学模拟检测数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据负数0小于和正数，得到最小的数在和中，然后比较它们的绝对值即可得到答案，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：根据负数小于0和正数，得到最小的数在和中， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同类项的定义以及合并同类项、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则．根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项；把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减逐项分析即可求解． 【详解】解：A、，原式计算正确，A选项符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，B选项不符合题意； C、，原式计算错误，C选项不符合题意； D、，原式计算错误，D选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图是由7个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看下面一层是2个正方形，上面、中间一层分别是一个正方形．即： 故选：A． 4. 如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（ ），使得▱ABCD是菱形． A. AB＝AC B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AC＝BD 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的判定可直接求解． 【详解】解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定、，解决本题的关键是掌握菱形的判定． 5. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，由旋转性质得，，进而，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴，，又， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，反比例函数为常数，且的图象与正比例函数为常数，且的图象相交于，两点，点的横坐标为．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题．根据反比例函数的中心对称性质，点的横坐标为1，结合函数图象和，可得自变量的取值范围． 【详解】解：根据反比例函数的中心对称性质，点的横坐标为1， 根据函数图象结合， 自变量取值范围为：． 故选：C． 7. 如图，点、点分别在线段，上，线段与交于点，且满足．下列添加的条件中不能推得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定．利用全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、若添加，能证明，故不符合题意； B、若添加，连接，先证得出，利用证明，故不符合题意； C、若添加，可得出，则可利用证明，故不符合题意； D、若添加，则不能证明，故符合题意； 故选：D． 8. 某班有40名学生，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计，由于小滨没有参加本次测试，算得39人测试成绩数据的平均数，中位数．后来小滨进行了补测，成绩为29分，得到40人测试成绩数据的平均数，中位数，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式和中位数的定义即可得出答案．本题考查算术平均数和中位数，掌握中位数的定义和算术平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：人测试成绩数据的平均数是28，第40个学生的成绩是29分， 平均数比原先大，即， 中位数， 当小滨的成绩为29分时，所得的中位数要大于或等于28， ． 故选：C． 9. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象的顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意可得抛物线的对称轴是直线，再根据抛物线的性质可得时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，继而得，可判断①②③，时，，可得，即可判断④． 【详解】根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线， ∴二次函数图象在时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，③错误； ∴，即抛物线开口向下，①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴该函数图象的顶点坐标不为，②错误； ∵时，， ∴， ∴是方程的一个根，④正确； 综上，①④正确， 故选：D． 10. 如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和的面积，即可求解． 【详解】解：作于，设正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ∵ ， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键． 12. 圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为2cm，则圆锥的侧面积为_______. 【答案】cm2 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为2cm， ∴圆锥的底面圆的周长， ∴圆锥的侧面积（cm2）． 故答案为：cm2． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，理解圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长是解答关键． 13. 如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则______度． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键也考查了平行线的性质；利用基本作图得到，再根据平行线的性质得到即可求解． 【详解】 由作法得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：64． 14. 小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是______．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将______．（填“增加”“减小”或“不变”） 【答案】 ①. ##0.5 ②. 不变 【解析】 【分析】本题考查的是统计与概率，正确找出可能出现的结果数是解题的关键． 甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片时，找出所有等可能的结果数以及成绩为负数的结果数，再利用概率公式可得该场游戏小江获胜的概率；在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变时，找出等可能得结果数以及乘积为负数结果数，再利用概率公式可得此时小江获胜的概率，再作比较即可． 【详解】共有4种等可能得结果，分别为：（正数，负数）、（负数，正数）、（正数，正数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（负数，正数）共2种，所以该场游戏小江获胜的概率是； 乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，共有6种等可能的结果，分别为：（正数，正数）、（正数，负数）、（正数，负数）、（负数，正数）（负数，负数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（正数，负数），（负数，正数），共三种，所以该场小江获胜的概率是，所以小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将不变． 故答案为：；不变 15. 如图，为半圆直径，，点C为半圆上一点，点D和点B关于直线对称，连接交于点E，连接．设，则y关于x的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，由轴对称的性质可得， ，则，，再证明，进而证明，根据相似三角形的性质列出比例式即可得到答案． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16. 小江同学在学习勾股定理后，用两对全等的直角三角形（，）和正方形拼成如图所示的（无重叠也无缝隙），其中，，．记，的面积分别为，．则______，若，则正方形的面积=______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质．如图，由题意知，，四边形为正方形，则，，，，，设，，正方形边长，则，，则①，②，推出，设小正方形的边长是，的长是，，根据，得出，则，根据，得出，进而计算即可． 【详解】解：如图，由题意知，，四边形为正方形， ，，，，， 设，，正方形边长， ，， ①， ②， ①②得， 即， ， 设小正方形的边长是，的长是，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 以下是小滨计算的解答过程： 解：原式 ． 小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误； 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把和化简，再化为，接着把除法运算转化为乘法运算，然后根据二次根式的乘法法则运算． 【详解】解：小滨的解答过程有错误； 正确的解答过程: ． 18. 随机抽取某校七年级部分同学的跳高测试成绩，得到如下频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）． （1）该组数据中，中位数所在组的频数是多少？请写出该组的边界值． （2）若该校七年级总共有360名学生，那么跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的大约有多少人？ 【答案】（1）20；边界值为：这一组的边界值是； （2）跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的大约有220人． 【解析】 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力． （1）根据中位数的定义可得答案；根据每组的前一个边界值和后一个边界值可得组距，即可得边界值； （2）用360乘样本中跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数比例即可解答． 【小问1详解】 解：参加测试的总人数为（人， 把这54人的成绩从小到大排列，排在中间的两个数落在这一组， 故中位数所在组的频数是20； 组距为， 这一组边界值是； 【小问2详解】 解：（人）， 答：跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的大约有220人． 19. 一次函数，为常数，且的图象和反比例函数为常数，的图象交于点和点． （1）求的值及一次函数的表达式． （2）点为反比例函数图象上一点，点关于轴的对称点再向下平移4个单位得到点，点恰好落在反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征计算出、，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点坐标为，根据对称平移性质得到点代入反比例函数解析式求出值即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：点和点在反比例函数图象上， ， ，则， ，在一次函数解析式上， ， 解得， 一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 由（1）可知，反比例函数解析式为，根据题意设点坐标为， 点关于轴的对称轴为， 将向下平移4个单位得到点， 点在反比例函数图象上， ， 解得， ． 20. 如图，在中，，点D为边上一点，且满足． （1）求证：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定， （1）根据题意证明出，得到，进而得到； （2）作于H，首先求出，然后根据三角函数求出，，然后利用正切值的概念求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 作于H， ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴，即 ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴． 21. 如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】（1）四边形为正方形，理由见解析 （2）平方厘米 【解析】 【分析】本题考查与圆有关的计算，正方形的判定和性质，掌握正方形的性质，圆面积、正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理以及正方形的判定方法进行解答即可； （2）根据圆面积，正方形的面积与阴影部分面积之间的关系进行计算即可． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形，理由如下： 如图，连接，，，，则， 由题意可知，， ，， ， ， 四边形是正方形； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 平方厘米． 答：阴影部分面积为平方厘米． 22. 已知二次函数（b为常数）． （1）若该函数图象的顶点为，求证：； （2）若点，在该二次函数图象上，且满足，当时，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，解一元一次不等式组，求得、的取值范围，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由顶点坐标公式可得，，即可证； （2）解方程组求得，由，得到，，然后根据二次函数的性质即可得出． 【小问1详解】 证明：二次函数图象的顶点坐标为， ，， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 解方程组，得， ， ，， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ， ， ． 23. 【综合与实践】 【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明． 如图（2），和的面积相等，求证：． 证明：分别过点、点作和底边上的高线，． 【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由． 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：如图（4），______． 求证：______． 证明： 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别过点、点作和底边上的高线，，利用三角形的面积公式与已知条件得到，则，再利用平行四边形的判定与性质解答即可； （2）利用平行线之间的距离相等，同底等高的三角形面积相等的性质解答即可； （3）连接，，过点作于点，过点作于点，利用等底同高的三角形的面积相等的性质得到，由（1）的证明过程可知：；利用等底同高的三角形面积相等的性质得到，则，化简即可得出结论． 【详解】证明：分别过点、点作和底边上的高线，，如图， 的面积，的面积，和的面积相等， ， ． ，， ∴， 四边形为平行四边形， ∴； （2）1．连接， 2．过点作，交的延长线于点， 3．连接， 则为所画的三角形．如图， 理由：∵， 与为同底等高的三角形， ，， ． 四边形改成一个以为一边三角形，并保持面积不变； 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：中，点为的中点，点为的中点． 求证：，． 证明：连接，，过点作于点，过点作于点，如图， 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ． 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ， ． 由（1）的证明过程可知：，． 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，四边形的面积，平行四边形的判定与性质，平行线之间的距离相等，三角形的中位线定理的证明，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 24. 如图，在正方形中，以为直径作半圆，点为半圆上一点，连结并延长交边于点，连结并延长交边于点，连结． （1）求证：； （2）当时，求的最小值； （3）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的最小值为； （3）． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，，由是的直径，得，可证明，进而证明，得； （2）连接、，由，得，，则，由，得，则，所以的最小值为； （3）取中点，以为半径作，连接、，则，所以、、、四点都在上，而，则，可证明，，则，所以，则，求得的值为． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 是的直径， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图1，连接、， 是的直径，且， ，， ， ， ， ， 的最小值为； 【小问3详解】 解：如图2，连接，取的中点，以为半径作，连接、， ， ， 、、、四点都在上， ， ， 由（1）得， ，， ， ， ， 整理得， 或（不符合题意，舍去）， ， 的值为． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$