第08讲 基本不等式（十一大考点）-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第08讲 基本不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握基本不等式. 2、能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题. 3、进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值. 4、能够利用基本不等式解决实际问题. 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 考点一：对基本不等式的理解及简单应用 【典例1-1】（多选题）（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 【答案】AD 【解析】对于A，由于，所以，当时等号成立正确； 对于B，正具备，但不为定值，故错误；对于C，当且仅当时等号成立，但方程无解，最小值2取不到，故错误；对于D，一正，二定，三相等都具备，故正确. 故选：AD 【典例1-2】（多选题）（2024·高一·河北秦皇岛·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，，则 C．对任意、，，均成立 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A选项，若，且，则，所以，，A对； 对于B选项，若，，由基本不等式可得，则， 当且仅当时，等号成立，B对； 对于C选项，对任意、，，恒成立， 当，时，，C错； 对于D选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，D错. 故选：AB. 【变式1-1】（多选题）（2024·高一·江苏宿迁·期中）下列各式最小值正确的有（    ） A． 的最小值为2 B．当时，的最小值为2 C．当时，的最小值为4 D．的最小值为2 【答案】BC 【解析】对于A：当时，，故A不正确； 对于B，因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，故B正确； 对于C，当时，，当且仅当，即时，取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当取等号，而等价于，此方程无解，故不能得到最小值为2，故D不正确， 故选：BC. 考点二：利用基本不等式比较大小 【典例2-1】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A，因为，则， 所以，故选项A正确； 因为，所以，，又，得到 故，所以选项B和D正确， 对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误， 故选：ABD. 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·广东珠海·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】∵，∴，∴，故A正确； 取，则，此时，故B错误； ∵，∴，故C错误； ∵，，∴， ∴，故D正确. 故选：AD. 【变式2-1】（多选题）（2024·高一·广东茂名·期末）小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设甲，乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为 所以， 因为，由基本不等式可得， ， 另一方面， ， 所以，则 故选：AD 【变式2-2】（多选题）（2024·高一·浙江金华·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A项，， 因为，所以，即A正确； 对于B项，，由上可知，即B正确； 对于C项，，即C错误； 对于D项，，当且仅当时取得等号， 又，所以，即D正确. 故选：ABD 考点三：利用基本不等式证明不等式 【典例3-1】（2024·高一·全国·专题练习）（1）已知，求的取值范围； （2）设，，均为正数，且，证明：； 【解析】（1），， ，且， ， 的取值范围为； （2）由， 得， 又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，， 当且仅当时，上述不等式等号均成立， 所以， 即， 所以，当且仅当时等号成立. 【典例3-2】（2024·高一·全国·课堂例题）设，为正数，证明下列不等式： (1)； (2)． 【解析】（1）因为，均为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立． （2）因为，为正数，所以，也为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立． 【变式3-1】（2024·高一·广西河池·阶段练习）已知，求证. 【解析】∵，① ，② ，③ ①+②+③得；. ∴(当且仅当等号成立). 【变式3-2】（2024·高三·江苏·专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证： 【解析】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）； （当且仅当时取等号）， 即. 考点四：直接法求最值 【典例4-1】（2024·高一·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 【典例4-2】（2024·高一·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正实数、满足，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【变式4-1】（2024·高一·云南昆明·期末）已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 【变式4-2】（2024·高一·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意可知，， ，当且仅当，即时，等号成立， 即取最小值时的取值为． 故选：． 【变式4-3】（2024·广西桂林·高一统考期末）设x，，且，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D．18 【答案】D 【解析】，当且仅当时，等号成立. 故选：D. 考点五：常规凑配法求最值 【典例5-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 【典例5-2】（2024·高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 【变式5-1】（2024·高一·上海·专题练习），则的最小值是 ，此时a＝ ． 【答案】 2； 0 【解析】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． 【变式5-2】（2024·高一·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，则，则， 当且仅当时，等号成立， 所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 考点六：消参法求最值 【典例6-1】（2024·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为. 故选：C. 【典例6-2】（2024·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为负实数、满足，则，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：A. 【变式6-1】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】正实数满足，故，所以， 则，又，解得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【变式6-2】（2024·高一·江苏常州·阶段练习）已知，且，则最大值为 ． 【答案】 【解析】由且，可得，代入， 又， 当且仅当，即， 又，可得，时，不等式取等， 即的最大值为， 故答案为：． 考点七：换元求最值 【典例7-1】（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）. 【解析】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取等号） 的最小值为3； （2）令，则， 当且仅当即t=3时取等号 y的最小值为10 【典例7-2】（2024·上海·高一专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【解析】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 【变式7-1】（2024·全国·高一单元测试）若正数a，b满足，则的最小值是__． 【答案】 【解析】设，则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，取得最小值． 故答案为：． 【变式7-2】（2024·高一·全国·专题练习）函数 的最小值为 ． 【答案】7 【解析】令，；则 (当且仅当，即时，等号成立)， 故函数 ，的最小值为 故答案为：7 考点八：“1”的代换求最值 【典例8-1】（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 【典例8-2】（2024·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 【变式8-1】（2024·高一·云南昭通·期末）已知实数，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为实数，，， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【变式8-2】（2024·高一·河北张家口·开学考试）设且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【变式8-3】（2024·高一·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因，则， 则，当且仅当，即时取等号. 故答案为： 【变式8-4】（2024·高三·陕西·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 考点九：条件等式求最值 【典例9-1】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）设为正实数，且，则的最小值为 【答案】 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【典例9-2】（2024·高一·江苏无锡·期末）已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由，可得，即， 因为，可得， 整理得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式9-1】（2024·高一·贵州六盘水·阶段练习）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】4 【解析】，则， 解得，则的最大值为4，当且仅当时等号成立， 故答案为：4. 【变式9-2】（2024·高一·河南·开学考试）设正实数满足，则的最小值是 ；当取得最小值时，的最小值为 . 【答案】 3 -4 【解析】因为，所以. 因为为正实数，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为3； 此时，则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：3；. 考点十：利用基本不等式求解恒成立问题 【典例10-1】（2024·高一·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】不等式恒成立，即， 因为正实数满足，所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 则实数的取值范围. 故答案为：. 【典例10-2】（2024·高一·云南昆明·期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 【答案】1或2 【解析】当时，，当且仅当时，取得等号； ，若恒成立，即，又为正整数，故或. 故答案为：或. 【变式10-1】（2024·高三·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则的最大值为 ． 【答案】1 【解析】正实数满足， ，， 又恒成立，，即的最大值为1． 故答案为：1. 【变式10-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，x＞0，y＞0， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立， 所以，即k的取值范围为. 故答案为：. 【变式10-3】（2024·高一·江苏·专题练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】，，，恒成立， （当且仅当，即时取等号）， ，解得：，则的最大值为. 故答案为：. 考点十一：基本不等式在实际问题中的应用 【典例11-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克， ，解得， ，当且仅当时，取到等号， 由于，所以. 故选：B 【典例11-2】（2024·高一·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 【变式11-1】（2024·高一·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【解析】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【变式11-2】（2024·高一·河南·阶段练习）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【解析】（1）（1）由题意可得，， 所以， 即. （2）当时，； 当时，，对称轴，； 当时，由基本不等式知， 当且仅当，即时等号成立，故， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 1．（2024·高一·安徽·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【解析】，，， ，即，， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8. 故选：D. 2．（2024·高一·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【答案】B 【解析】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 故选：B. 3．（2024·高一·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由可知，则，代入得：， 当时等号成立，即当时，取得最小值. 故选：D. 4．（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【解析】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 5．（2024·高一·全国·期中）小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设矩形菜园中平行于墙的边长度为，垂直于墙的边长度为，菜园面积， 则，当且仅当时取等号. 故选：A. 6．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 【答案】ABD 【解析】对于A，为正实数，有，且，又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，A正确； 对于B，，当时，，且，显然不存在大于3的正数a使成立，所以，B正确； 对于C，因为，则，不符合均值不等式成立的条件，C错误； 对于D，，则，且， 又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，D正确. 故选：ABD 7．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】AC 【解析】根据图形，在中， 由射影定理得，所以， 由得：（，）， 当且仅当时取等号，即选项A正确. 在中，同理得， 所以， 又，所以（，）， 当且仅当时取等号，即选项C正确. 故选：AC. 8．（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确； 对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误． 故选：ABC. 9．（多选题）（2024·高一·河北沧州·期中）已知都是正实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为都是正实数，所以 ，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误；，故C正确；，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：AC. 10．（多选题）（2024·高一·江苏南通·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，若，，则， 所以，，B错； 对于C选项，因为，则， 所以，，C对； 对于D选项，若，则，， 则，故，D对. 故选：ACD. 11．（2024·高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是 【答案】 【解析】，则， 所以，， 当且仅当时，因为，即当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 12．（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 13．（2024·高一·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为 ． 【答案】/0.25 【解析】由题意，，所以， 所以等号成立当且仅当，即的最大值为. 故答案为：. 14．（2024·高一·天津西青·期中）若函数（）在= 时取得最小值，则最小值为 【答案】 3 5 【解析】由题设，， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴时，函数最小值为. 故答案为：，. 15．（2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由正数，满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 16．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】/1.8 【解析】因为，所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 17．（2024·高一·浙江·期中）已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为正实数a，b满足， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最大值为， 所以. 故答案为： 18．（2024·高一·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】，不等式恒成立，即， 由于函数，当且仅当，即时等号成立， 故，即，则， 故答案为： 19．（2024·高一·天津红桥·期中）已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式 恒成立，所以，则， 所以实数m的最小值为. 故答案为：. 20．（2024·高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为 ． 【答案】－4 【解析】∵当时，恒成立， ∴恒成立， 又当时，，当且仅当x＝2时取等号． ∴， ∴，故a的最小值为－4. 故答案为：. 21．（2024·高一·河南新乡·阶段练习）若，且恒成立，则的最大值是 ． 【答案】/ 【解析】由题意知，恒成立，即为恒成立， 又， 当且仅当即时，等号成立， 所以，即m的最大值为. 故答案为：. 22．（2024·高一·上海·期中）已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，故，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 即有，所以，即a的最小值为， 故答案为： 23．（2024·高一·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 【解析】（1）证明：由，得， 所以， 当且仅当即，时等号成立， 所以； （2）证明：由题意知，，且， 所以， 即. 同理可得， 所以， 即证. 24．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 【解析】（1）因为，为正数， 所以，当且仅当时取等号， 所以. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以. 25．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【解析】设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 26．（2024·高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【解析】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 27．（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【解析】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. （3）做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 基本不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握基本不等式. 2、能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题. 3、进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值. 4、能够利用基本不等式解决实际问题. 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 考点一：对基本不等式的理解及简单应用 【典例1-1】（多选题）（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 【典例1-2】（多选题）（2024·高一·河北秦皇岛·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，，则 C．对任意、，，均成立 D．若，则 【变式1-1】（多选题）（2024·高一·江苏宿迁·期中）下列各式最小值正确的有（    ） A． 的最小值为2 B．当时，的最小值为2 C．当时，的最小值为4 D．的最小值为2 考点二：利用基本不等式比较大小 【典例2-1】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·广东珠海·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选题）（2024·高一·广东茂名·期末）小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选题）（2024·高一·浙江金华·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 考点三：利用基本不等式证明不等式 【典例3-1】（2024·高一·全国·专题练习）（1）已知，求的取值范围； （2）设，，均为正数，且，证明：； 【典例3-2】（2024·高一·全国·课堂例题）设，为正数，证明下列不等式： (1)； (2)． 【变式3-1】（2024·高一·广西河池·阶段练习）已知，求证. 【变式3-2】（2024·高三·江苏·专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证： 考点四：直接法求最值 【典例4-1】（2024·高一·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【典例4-2】（2024·高一·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高一·云南昆明·期末）已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-3】（2024·广西桂林·高一统考期末）设x，，且，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D．18 考点五：常规凑配法求最值 【典例5-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【变式5-1】（2024·高一·上海·专题练习），则的最小值是 ，此时a＝ ． 【变式5-2】（2024·高一·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ． 考点六：消参法求最值 【典例6-1】（2024·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【变式6-2】（2024·高一·江苏常州·阶段练习）已知，且，则最大值为 ． 考点七：换元求最值 【典例7-1】（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）. 【典例7-2】（2024·上海·高一专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【变式7-1】（2024·全国·高一单元测试）若正数a，b满足，则的最小值是__． 【变式7-2】（2024·高一·全国·专题练习）函数 的最小值为 ． 考点八：“1”的代换求最值 【典例8-1】（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 【典例8-2】（2024·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ． 【变式8-1】（2024·高一·云南昭通·期末）已知实数，，且，则的最小值是 ． 【变式8-2】（2024·高一·河北张家口·开学考试）设且，则的最小值为 ． 【变式8-3】（2024·高一·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 【变式8-4】（2024·高三·陕西·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 考点九：条件等式求最值 【典例9-1】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）设为正实数，且，则的最小值为 【典例9-2】（2024·高一·江苏无锡·期末）已知，且，则的最大值为 . 【变式9-1】（2024·高一·贵州六盘水·阶段练习）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【变式9-2】（2024·高一·河南·开学考试）设正实数满足，则的最小值是 ；当取得最小值时，的最小值为 . 考点十：利用基本不等式求解恒成立问题 【典例10-1】（2024·高一·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【典例10-2】（2024·高一·云南昆明·期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 【变式10-1】（2024·高三·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则的最大值为 ． 【变式10-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【变式10-3】（2024·高一·江苏·专题练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 考点十一：基本不等式在实际问题中的应用 【典例11-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【典例11-2】（2024·高一·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024·高一·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【变式11-2】（2024·高一·河南·阶段练习）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 1．（2024·高一·安徽·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 2．（2024·高一·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 3．（2024·高一·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 5．（2024·高一·全国·期中）小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 7．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 8．（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高一·河北沧州·期中）已知都是正实数，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高一·江苏南通·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 11．（2024·高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是 12．（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 13．（2024·高一·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为 ． 14．（2024·高一·天津西青·期中）若函数（）在= 时取得最小值，则最小值为 15．（2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 16．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 17．（2024·高一·浙江·期中）已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是 . 18．（2024·高一·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 19．（2024·高一·天津红桥·期中）已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 . 20．（2024·高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为 ． 21．（2024·高一·河南新乡·阶段练习）若，且恒成立，则的最大值是 ． 22．（2024·高一·上海·期中）已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为 ． 23．（2024·高一·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 24．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 25．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 26．（2024·高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      27．（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$