3.2.1 基本不等式的证明 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该教案聚焦高中数学“基本不等式的证明”，以天平称重的生活情境导入，通过物理杠杆原理构建实际质量与称得质量的关系，结合作差比较法，搭建从生活问题到数学抽象的学习支架，衔接初中知识与不等式证明。 其特色在于情境化探究与数形结合，借助天平问题（数学抽象）、圆中半弦与半径关系（直观想象）、赵爽弦图面积证明（逻辑推理），对比分析法与综合法，培养学生抽象、推理和直观能力，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率与学生数学思维。

第3章 不等式 3.2 基本不等式（） 3.2.1 基本不等式的证明 ▍教学目标 1. 探索基本不等式的发现过程； 2. 理解基本不等式的代数和几何意义，体会数形结合的数学思想方法 3. 了解综合法与分析法在证明基本不等式中的作用． 数学抽象：从生活情境中提炼出基本不等式． 逻辑推理：证明基本不等式． 直观想象：理解基本不等式的几何意义． ▍情境设置 【问题1】 一个小商贩在集市上卖苹果，吸引了一位阿姨，阿姨想买千克的苹果．于是，商贩用天平称量苹果的质量．第一次称得苹果的质量为千克，由于天平的两臂长略有不同，第二次称量时交换了苹果与砝码的位置，称得苹果的质量为千克．于是商贩对阿姨说：“那这堆苹果就当作千克卖给你吧！”阿姨有些摸不着头脑，请你帮忙想一想，阿姨到底是亏了还是赚了呢？ (1) 假设天平的两臂成分别为，，苹果的实际质量为千克，你能用与的关系式表示出实际质量吗？ (2) 阿姨亏还是赚取决于什么？ (3) 如何比较其大小呢？ [学生活动] (1) 运用初中物理中的杠杆平衡条件有． (2) 取决于和的大小． [教师引导] 根据如下基本事实： 我们可以采用作差比较法来判断其大小． [学生活动] (3) ∵， 当时，；当时，． 通过刚才的分析，我们发现是阿姨亏了． ▍概念的探究与建构 [教师引导] 如果，是正数，那么（当且仅当时等号成立）． 我们把不等式（，）称为基本不等式．其中叫作两个正数，的算术平均数，叫作两个正数，的几何平均数，当且仅当时，上述等号成立． 【问题2】 基本不等式（，）用文字语言如何描述？ [学生活动] 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当这两个正数相等时，两者相等． 【问题3】 刚才我们得到这个不等式的过程，就是它的证明方法．除了比较法，还有没有其他的证明方法？ [教师引导] 可以从要证明的目标出发，一步步寻找它成立的充分条件． [学生活动] 方法一： 要证＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿① 只要证＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿② 要证②，只要证＿＿＿＿＿＿③ 要证③，只要证＿＿＿＿＿＿④ 而④显然成立，所以原不等式成立． 方法二： 既然，则有，即有，即． 形成知识 以上［学生活动］的“方法一”其实是分析问题的过程，所以我们称这种方法为“分析法”，带有强烈的“执果索因”的意味．但是书写要求很严格，所以往往一般用于分析．“方法二”实则是将“分析法”倒着呈现，这样更符合由条件到结论的推理逻辑，我们称之为“综合法”．我们平时证明的书写较多采用的是“综合法”，分析问题思路时较多使用“分析法”． 【问题4】 我们为什么把称为“几何平均数”，这里面是否存在着某种几何意义？ [教师引导] 如图所示，是圆的直径，是圆弧上任一点，过点作的垂线段，交于点，连接，不妨设，． (1) 如何用，表示？ (2) 如何用，表示？ (3) 和的大小关系怎样？ [学生活动] (1) ； (2) 因为，所以，即，即． (3) 不管在圆弧上如何运动，，当且仅当与圆重合时，即时，． 【问题5】 你能利用这个图形得出基本不等式的几何意义吗？ [学生活动] 圆的半弦长不大于它的半径长． 【问题6】 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客． 现在把“风车”抽象成平面图形．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为，，正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为，则： [学生活动] (1) 正方形的边长为　　　　　　　　　　　　　　　； (2) 　　　　　　　　　； (3) 　　　　　　　　　； (4) 由图可知，　　　　，即　　　　　　　　　　　　； (5) 通过几何图形面积之间的不等关系，得出重要不等式：　　　　　． 形成知识 （，），当且仅当时，其中的等号成立． 【问题7】 重要不等式（，）与基本不等式（，）之间有何关系？ [学生活动] 若用，替换重要不等式（，）中的，，得到，即为基本不等式（，）． [教师引导] 通过已学不等式，利用代换思想，导出新不等式，让学生体会知识与知识之间的联系以及数学方法的重要性． 【问题8】 如果脱离实际背景这个载体，从数学的角度来看，基本不等式中的，的范围能否再扩大？ [教师引导] 基本不等式的结构形式我们，当和至少有一个为0时，该不等式仍然成立． [学生活动] 当把和抽象成任意非负数时，基本不等式仍成立． 形成知识 我们把不等式（，）称为基本不等式，当且仅当时，其中的等号成立． 数学史简介 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合方法给出了勾股定理的详细证明． 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的．每个直角三角形的面积为；中间的小正方形边长为，则面积为．于是可得如下的式子：，化简即得． 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既严密，又直观，为中国古代以形证数、形数统一的独特风格树立了一个典范．之后的中国数学家大多继承了这一风格并且代有发展．例如刘徽在证明勾股定理时也用了以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同． ▍知识的运用与升华 【例题1】 设，为正数，证明下列不等式成立： (1) ； (2) ． [解析] (1) 因为，为正数，所以，也为正数， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，取得等号．所以原不等式成立． (2) 因为，为正数，所以，也为正数． 由基本不等式，得，， 所以， 当且仅当，，即时，取得等号． 因此，原不等式成立． 说明：教师板书小题(1)的解题过程，师生共同完成小题(2)． 方法归纳 利用基本不等式证明常见不等式时： 首先，判断不等式中的，是否都是正数（非负数）； 其次，根据代换，利用基本不等式构造和； 最后，验证等号成立的条件． ▍课堂反馈 1. 计算下列两个数的算术平均数与几何平均数（其中）： (1) 2，8； (2) 3，12； (3) ，； (4) 2，． ［答案］ (1) 5，4； (2) ，6； (3) ，； (4) ，． 2. 求证： (1) 当，时，，当且仅当时，等号成立； (2) ． ［解析］ (1) 因为当，时，由，得， 所以，即有， 所以．当且仅当时等号成立． (2) 因为，所以，，由基本不等式， 得，即， 当且仅当，即时等号成立． ▍课堂总结 【问题9】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [教师引导] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 形成知识 1. 知识与技能层面： (1) 基本不等式（，），当且仅当时等号成立； (2) 重要不等式（，），当且仅当时等号成立； (3) 重要不等式（，），当且仅当时等号成立． 2. 思想与方法层面：研究问题涵盖的思想与方法，数形结合、替换、转化与化归…… 学科网（北京）股份有限公司 $