第12讲 函数的概念和图象（八大考点）-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第12讲 函数的概念和图象 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2、体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 3、了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 4、会判断两个函数是否为同一函数. 5、能正确使用区间表示数集. 6、会求一些简单函数的值域. 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 知识点二：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点三：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 考点一：函数的概念 【典例1-1】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. 【典例1-2】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 【变式1-1】（2024·高一·安徽芜湖·阶段练习）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（    ） A．9 B．10 C．31 D．32 【答案】C 【解析】由题意可知，是集合A到集合B的函数， 令，得，令，得，令，得， 所以集合是集合的非空子集，并且非空子集的个数为个. 故选：C 【变式1-2】（2024·高一·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（    ） A．   B． C．   D． 【答案】C 【解析】对于A：函数的定义域为，但是值域不是，故A错误； 对于B：函数的定义域不是，值域为，故B错误； 对于C：函数的定义域为，值域为，故C正确； 对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误. 故选：C 【变式1-3】（2024·高一·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 考点二：给出解析式求函数的定义域 【典例2-1】（2024·高一·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B. 【典例2-2】（2024·高一·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【答案】D 【解析】由题意得，解得且， 即定义域为. 故选：D. 【变式2-1】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知函数，其定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，所以定义域为， 故选：C. 【变式2-2】（2024·高一·山西临汾·阶段练习）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数有意义， 必须满足，解得， 函数的定义域为. 故选；B. 【变式2-3】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D 考点三：抽象函数求定义域 【典例3-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求的定义域. 【解析】因为函数的定义域为， 即函数中， 所以； 所以函数中， 解得：， 即. 所以的定义域为. 【典例3-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知的定义域为 ，求的定义域. 【解析】令，， 由二次函数的性质可得， 所以的定义域为. 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【解析】∵函数的定义域为 ∴，解之得： 故函数的定义域为： 【变式3-2】（2024·高一·全国·随堂练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【解析】由题意得，解得， 故的定义域为. 【变式3-3】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【解析】的定义域为， 所以的定义域为； 函数有意义， 则， 解得或 所以的定义域为：. 【变式3-4】（2024·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域． 【解析】由函数的定义域为，则要使函数有意义， 则， 解得, ∴函数的定义域为. 考点四：给出函数定义域求参数范围 【典例4-1】（2024·高一·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高一·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得对任意恒成立， 所以， 解得， 所以实数取值范围是. 故答案为： 【变式4-1】（2024·高一·湖南张家界·阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】若函数的定义域为，则的解集为 当时，不等式变为，得不符合题意； 当时，要使得解集为，则，解得 综上可得实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由的定义域为，则恒成立， 当时，，得，不符合要求，故舍去， 当时，有，解得， 综上，. 故答案为：. 【变式4-3】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 【答案】 【解析】由题可得，对恒成立， 当时，不满足题意； 当时，要使对恒成立， 则有，解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为: . 考点五：同一函数的判断 【典例5-1】（2024·高一·北京东城·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确； 对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误. 故选：A. 【典例5-2】（2024·高一·江西新余·期中）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（   ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【解析】① ，两个函数对应法则不一样，不是同一函数； ②，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数； ③，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数； ④，两个函数定义域不一样，不是同一函数. 故选：B. 【变式5-1】（2024·高一·上海闵行·阶段练习）下列四组函数中，与表示同一函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，，的定义域分别为，故A不符题意； 对于B；，的定义域分别为，故B不符题意； 对于C，，的定义域分别为，故C不符题意； 对于D，因为，其定义域、对应法则都是一样的，故D符合题意. 故选：D. 【变式5-2】（2024·高一·四川内江·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） ①，；②与 ③与；④， A．②③ B．①④ C．①② D．②③④ 【答案】A 【解析】对于①，函数与的定义域均为， 但是，则两函数对应关系不同，故不是同一函数，不合题意； 对于②，的定义域为，的定义域为， 且，所以与是同一函数，符合题意； 对于③，与的定义域均为，且两函数对应关系相同， 故它们是同一函数，符合题意； 对于④，的定义域是； ，解得或， 所以的定义域是， 两函数定义域不同，所以不是同一函数，不合题意. 故选：A 考点六：给出自变量求函数值 【典例6-1】（2024·高一·四川乐山·期中）已知，则 ． 【答案】5 【解析】由题意，，则． 故答案为：5 【典例6-2】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）若，的值为 . 【答案】 【解析】因为， 则. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·高一·广东广州·期中）已知，，则 ， ． 【答案】 1 【解析】因为， 所以； 所以， 所以 ， 所以； 故答案为：1； 【变式6-2】（2024·高一·全国·竞赛）如果函数满足，且，那么 . 【答案】7 【解析】. 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高一·广东湛江·开学考试）已知函数，用列表法表示如下： 则 【答案】 【解析】由列表可知. 故答案为：. 考点七：求函数的值域 【典例7-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【解析】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 【典例7-2】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【解析】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 【变式7-1】（2024·高一·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2). 【解析】（1）令，所以， 即， 当时，， 即函数的值域为. （2）由题意得：，即， 所以函数定义域为， ， 由二次函数性质可得， 所以的值域为． 【变式7-2】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【解析】（1）∵，∴, ∴的值域为. （2），显然,所以, 故函数的值域为. （3）由,知. 则, 当且仅当,即时,上式取“”． ∴（）的最小值为8. 故函数（）的值域为. （4）设,则,且, 所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为. 【变式7-3】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4). 【解析】（1），，即，的值域为. （2）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； ，的值域为. （3）， ，，的值域为. （4）令，则且，， 则当时，，的值域为. 考点八：函数的图象 【典例8-1】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）已知函数 (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象： (2)写出此函数的定义域及值域． 【解析】（1）由函数，其图象，如图所示， （2）由（1）中，函数的图象，可得：函数的定义域为，值域为. 【典例8-2】（2024·高一·宁夏固原·阶段练习）已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 【解析】（1）由解得或， 画出的图象如下图所示， 而表示中的较小者，所以函数的图象如下图所示： （2）由，解得或， 结合图象可得的解析式： . 【变式8-1】（2024·高一·湖北荆门·期中）设.    (1)用分段函数的形式表达； (2)在直角坐标系中画出的图象； (3)写出函数的值域． 【解析】（1）当时，， 当时，． 所以，. （2）函数的图象如图所示：（注意端点处的开闭） （3）由（1）（2）知，函数的最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为， 所以，在上的值域为 【变式8-2】（2024·高一·全国·课堂例题）试画出下列函数的图象： (1)； (2)，. 【解析】（1）因为一次函数的图象是直线， 所以取特殊点即可； （2）因为二次函数是抛物线，当时，函数单调递增， 所以取特殊点连线即可，其中是空心点. 【变式8-3】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 【解析】（1）由， ∴， . （2）简图如图所示： （3）简图可知函数的值域为 1．（2024·高一·上海·专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是 （    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【解析】对应关系若能构成从到的函数， 须满足：对中的任意一个数，通过对应关系在中都有唯一的数与之对应， 对于①，，当时，，故不满足题意； 对于②，，当时，，故不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意； 对于④，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意． 故选：C. 2．（2024·高一·山东潍坊·阶段练习）存在函数满足：对任意，都有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，函数的定义域为，不合乎要求； 对于B选项，当时，则有，当时，则有，与函数的定义矛盾； 对于C选项，， 令，则，其中，合乎题意； 对于D选项，当时，则，当时，则，与函数的定义矛盾. 故选：C. 3．（2024·高一·四川资阳·期中）图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（    ）    A．② B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】D 【解析】根据函数的定义，每个都有一个对应的唯一确定的函数值， 故只有③④符合条件. 故选：D. 4．（2024·高一·浙江杭州·期中）下列函数中表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不相同，所以不是同一函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不相同，所以不是同一函数，故B错误； 对于选项C：令，解得或，可知的定义域为， 令，解得，可知的定义域为， 两者定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误； 对于选项D：因为的定义域均为， 且，即的对应关系相同， 所以为同一函数，故D正确； 故选：D. 5．（2024·高一·江苏泰州·期中）下列选项中表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】A选项中，定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以不是同一个函数，A错误； B选项中，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以不是同一个函数，B错误； C选项中，中，，解得：或， 即的定义域为，中，解得， 即的定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，C错误； D选项中，与的定义域均为， 且 ，所以与是同一个函数，所以D正确. 故选：D 6．（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 得恒成立， 当时，恒成立； 当时，，得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 7．（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数的图象由两条射线及两条线段（包括端点）组成，如图所示.的值为 . 【答案】/1.5 【解析】由图知，，且当时，函数图象是一条射线， 所以. 故答案为：. 8．（2024·高一·全国·单元测试）已知的定义域为，求的定义域. 【解析】，， 解得：， 即函数的定义域为. 9．（2024·高一·湖北·阶段练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）设，则，且， 所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的值域为. （3）由知， 整理得. 当时，方程无解； 当时，，即. 故所求函数的值域为. 10．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求函数的值域． 【解析】设， 所以， 则函数 在上单调递增，在单调递减， 又则 ，， 函数的值域是． 11．（2024·高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象： (1)； (2)． 【解析】（1）因为函数，画出其图象如图所示． （2）函数的图象是两段抛物线（部分）与一点，画出其图象如图②所示， 12．（2024·高一·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图像； (2)写出函数的单调区间并指明单调性（不用证明）； (3)当时，求函数的值域. 【解析】（1）由解析式有： 函数图象如下图示： （2）由图知：函数在上为增区间，在上为减区间； （3）由图知： 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，求函数的值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 函数的概念和图象 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2、体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 3、了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 4、会判断两个函数是否为同一函数. 5、能正确使用区间表示数集. 6、会求一些简单函数的值域. 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 知识点二：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点三：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 考点一：函数的概念 【典例1-1】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ） A．B．C． D． 【典例1-2】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一·安徽芜湖·阶段练习）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（    ） A．9 B．10 C．31 D．32 【变式1-2】（2024·高一·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（    ） A．   B． C．   D． 【变式1-3】（2024·高一·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二：给出解析式求函数的定义域 【典例2-1】（2024·高一·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【变式2-1】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知函数，其定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·山西临汾·阶段练习）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点三：抽象函数求定义域 【典例3-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求的定义域. 【典例3-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知的定义域为 ，求的定义域. 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【变式3-2】（2024·高一·全国·随堂练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【变式3-3】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【变式3-4】（2024·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域． 考点四：给出函数定义域求参数范围 【典例4-1】（2024·高一·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【典例4-2】（2024·高一·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 【变式4-1】（2024·高一·湖南张家界·阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【变式4-2】（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【变式4-3】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 考点五：同一函数的判断 【典例5-1】（2024·高一·北京东城·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高一·江西新余·期中）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（   ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【变式5-1】（2024·高一·上海闵行·阶段练习）下列四组函数中，与表示同一函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（2024·高一·四川内江·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） ①，；②与 ③与；④， A．②③ B．①④ C．①② D．②③④ 考点六：给出自变量求函数值 【典例6-1】（2024·高一·四川乐山·期中）已知，则 ． 【典例6-2】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）若，的值为 . 【变式6-1】（2024·高一·广东广州·期中）已知，，则 ， ． 【变式6-2】（2024·高一·全国·竞赛）如果函数满足，且，那么 . 【变式6-3】（2024·高一·广东湛江·开学考试）已知函数，用列表法表示如下： 则 考点七：求函数的值域 【典例7-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【典例7-2】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【变式7-1】（2024·高一·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2). 【变式7-2】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【变式7-3】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4). 考点八：函数的图象 【典例8-1】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）已知函数 (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象： (2)写出此函数的定义域及值域． 【典例8-2】（2024·高一·宁夏固原·阶段练习）已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 【变式8-1】（2024·高一·湖北荆门·期中）设.    (1)用分段函数的形式表达； (2)在直角坐标系中画出的图象； (3)写出函数的值域． 【变式8-2】（2024·高一·全国·课堂例题）试画出下列函数的图象： (1)； (2)，. 【变式8-3】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 1．（2024·高一·上海·专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是 （    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 2．（2024·高一·山东潍坊·阶段练习）存在函数满足：对任意，都有（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·四川资阳·期中）图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（    ）    A．② B．①④ C．②④ D．③④ 4．（2024·高一·浙江杭州·期中）下列函数中表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·江苏泰州·期中）下列选项中表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 7．（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数的图象由两条射线及两条线段（包括端点）组成，如图所示.的值为 . 8．（2024·高一·全国·单元测试）已知的定义域为，求的定义域. 9．（2024·高一·湖北·阶段练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3). 10．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求函数的值域． 11．（2024·高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象： (1)； (2)． 12．（2024·高一·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图像； (2)写出函数的单调区间并指明单调性（不用证明）； (3)当时，求函数的值域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$