精品解析：天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性检测（6月）数学试题

天津市第四十七中学2023—2024第二学期高二年级 第二次阶段性检测 数学试卷 一、选择题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的个数为（ ）个 ①对立事件一定是互斥事件；②在经验回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量减少0.1个单位；③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1；④在回归分析模型中，若相关指数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.14 B. 0.36 C. 0.72 D. 0.86 8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 设定义在上的函数与，若，，且为奇函数，设的导函数为，则下列说法中一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 函数的图象关于点对称 C. D. 点（其中）是函数的对称中心 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 在的展开式中，项的系数为________．（用数字作答） 11. 分别从和中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有__________个. 12. 在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则_____________. 13. 已知，，则的最小值为_______． 14. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 15. 设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 三、解答题（共75分，需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分） 16. 如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形为矩形. （1）若是的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值： （3）若点到平面的距离为，求的长. 17. 2024年世界羽联赛已经开始，同时，也是奥运年，4年一度最精彩赛事即将来临！为了激发同学们的奥运精神，某校组织同学们参加羽毛球比赛，若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求甲以的比分获胜的概率； （2）设表示比赛结束时进行的总局数，求的分布列及数学期望. 18. 今年是中国共产党建党103周年，为庆祝中国共产党成立103周年，某高中决定开展“学党史，知奋进”党史知识竞赛活动，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了选修历史和不选修历史各50人作为样本，设事件“获奖”，“选修历史”，据统计，.统计100名学生的获奖情况后得到如下列联表： 获奖 没有获奖 合计 选修历史 没有选修历史 合计 0150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10828 参考公式：， （1）完成上面列联表，并依据的独立性检验，能否有把握推断认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科有关”；（结果保留三位小数） （2）从选历史且获奖学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望. 19. 已知等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且. （1）求数列和的通项公式； （2）求 （3）在，之间插入1个数，使成等差数列，在，之间插入2个数，，使成等差数列，；在，之间插入个数，使成等差数列. ①求； ②求. 20. 已知函数，. （1）讨论单调区间； （2）当时，令. ①证明：当时，； ②若数列满足，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第四十七中学2023—2024第二学期高二年级 第二次阶段性检测 数学试卷 一、选择题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法和交集的运算得出即可. 【详解】， 所以， 故选：C 2. 已知，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，可得，满足题意， 但，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案. 【详解】对于A， 在处无意义，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：的定义域为， 且，则为偶函数，故C错误； 对于D，满足图中要求，故D正确. 故选：D. 4. 下列说法中正确的个数为（ ）个 ①对立事件一定是互斥事件；②在经验回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量减少0.1个单位；③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1；④在回归分析模型中，若相关指数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件与互斥事件定义、回归直线中回归系数的含义、相关系数的计算公式和回归分析的基本思想依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件未必是对立事件，故①正确； 对于②，根据回归直线方程中回归系数的含义可知：当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加个单位，故②错误； 对于③，根据相关系数的计算公式可知：两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近，故③正确； 对于④，根据回归分析的基本思想可知：相关指数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差，④错误. 故选：B. 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先判断出函数的单调性与的大小，根据函数的单调性即可比较出大小. 【详解】由，且，故； ，，故， 又因为函数在上单调递减，所以， 故选：C 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，比较指数与对数的大小，利用函数的单调性比较函数值的大小， 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以，则. 故选：B. 7. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.14 B. 0.36 C. 0.72 D. 0.86 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质直接求解即可. 【详解】由题意知，，所以， 则， 所以. 故选：A 8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定函数是增函数，由解析式得，这样利用单调性不等式化为，从而转化为在上恒成立，由二次函数知识分类讨论可得． 【详解】，因此在定义域上是增函数， ， 不等式即为，所以， 所以在上恒成立， 若，即，显然成立， 若，即时，由于，因此，，从而也满足题意， 综上，， 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，对函数不等式解题方法一般是利用函数的单调性进行转化，因此本题关键点有两个：一是确定函数的单调性，二是对函数式进行变形：，这由函数解析式分析才能得出． 9. 设定义在上的函数与，若，，且为奇函数，设的导函数为，则下列说法中一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 函数的图象关于点对称 C. D. 点（其中）是函数的对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由为奇函数，可得的图象关于中心对称，由，求得，即可判断；对于B，对两边求导，即可判断；对于D，结合的对称性及，可得的一个对称中心为及的图象关于对称，即可判断；对于C，由已知可得的周期为，再由求解即可判断. 【详解】对于A，因为为奇函数，则， 可知的图象关于中心对称， 令，可得，即， 又因为，可得， 所以一定不是奇函数，故A错误； 对于选项B：因为， 两边求导得，即， 所以的图象关于对称，不一定关于点对称，故B错误； 对于选项D：由可得， 且，则， 即，所以关于对称， 即， 由可得，则， 即，可得， 可知4为的周期， 由，可知4为的周期， 且的图象关于中心对称，可知的图象关于中心对称， 又因为关于对称，可知的图象关于中心对称， 则关于对称，且关于中心对称， 结合周期性可知：点（其中）是函数的对称中心，故D正确； 对于选项C：因为，关于对称，则， 又因为的图象关于中心对称，则， 可得， 且的周期为，，所以， 但的值不确定，故C错误； 故选：D． 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 在的展开式中，项的系数为________．（用数字作答） 【答案】6 【解析】 【分析】化简通项，由指数等于3求出，然后可得系数. 【详解】， 令，解得，所以项的系数为. 故答案为：6 11. 分别从和中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有__________个. 【答案】180 【解析】 【分析】先分两类，含有0和不含0，利用两个原理和排列组合知识可得答案. 【详解】选取的4个数字不含0时，组成的四位数有个； 选取的4个数字含0时，此时0不能在首位上，组成的四位数有个， 共有个. 故答案为:180 12. 在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先由条件得到，再根据等差数列的通项公式，转化为关于公差的方程，即可求解. 【详解】设数列的公差为， 由，得，且， 所以，得， 得或（舍）， 所以. 故答案为： 13. 已知，，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，然后利用四元基本不等式求解. 【详解】因为，，得：， 则：， 当且仅当时，即，时取等号， 故最小值为：. 故答案为：. 14. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】首先根据题意设出对应的事件，以及概率，再代入全概率公式，即可求解；随机变量服从二项分布，代入二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】设事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅，事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅， 由题意可知，，，， 则， ， 所以第2天去餐厅的概率为； 由题意可知，每个人去餐厅的概率为，，所以. 故答案为：； 15. 设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况的的函数图象，函数恰有4个零点，说明的图象与的图象有四个交点，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围. 【详解】因为函数恰有4个零点， 所以的图象与的图象有四个交点， 当时，如图所示， 的图象与的图象仅有两个交点，与题意不符； 当时，如图所示， 在上，当与相切时， 联立，得， 则，得（舍去）， 由图可知，当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符， 所以当时，与在无交点，在有两个交点，与题意不符， 当时，与在无交点，在有三个交点，与题意不符， 当时，与在无交点，在有四个交点，符合题意； 当时，如图所示， 在上，当与相切时， 联立，得， 则，得（舍去）， 由图可知，当 时，与在有两个交点，在有四个交点，与题意不符， 当时，与在有两个交点，在有三个交点，与题意不符， 当时，与在有两个交点，在有两个交点，符合题意， 当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符. 综上所述， 或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的应用，关键在于数形结合与分类讨论的思想，需要通过讨论取值范围的不同，结合范围的限制，判断交点个数，然后推出的范围即可. 三、解答题（共75分，需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分） 16. 如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形为矩形. （1）若是的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值： （3）若点到平面的距离为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）矩形对角线交点即为线段中点，在内应用中位线定理，即可得证；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，先求直线的方向向量，再求平面的法向量，应用线面角的向量求法即可；（3）设定，应用点面距的向量解法求解即可. 【小问1详解】 设，连接， 因为四边形为矩形，所以为中点， 又为中点，则， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，的正方向分别为轴， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量为：， 且，令，解得：； 设直线与平面所成角为，所以. 则直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 ， 设 由平面的法向量为：， 点到平面的距离为：. 解得：，且， 所以. 17. 2024年世界羽联赛已经开始，同时，也是奥运年，4年一度最精彩赛事即将来临！为了激发同学们的奥运精神，某校组织同学们参加羽毛球比赛，若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求甲以的比分获胜的概率； （2）设表示比赛结束时进行的总局数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见详解， 【解析】 【分析】（1）分析可知甲在前3局胜2局输1局，第4局胜利，结合独立重复性实验的概率公式运算求解； （2）由题意可知：X可能的取值为3，4，5，进而求分布列和期望. 【小问1详解】 因为以的比分获胜，则甲在前3局胜2局输1局，第4局胜利， 所以甲以的比分获胜的概率为：. 【小问2详解】 由题意可知：X可能的取值为3，4，5，则有： ；； ； 所以的分布列 X 3 4 5 P 的数学期望. 18. 今年是中国共产党建党103周年，为庆祝中国共产党成立103周年，某高中决定开展“学党史，知奋进”党史知识竞赛活动，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了选修历史和不选修历史各50人作为样本，设事件“获奖”，“选修历史”，据统计，.统计100名学生的获奖情况后得到如下列联表： 获奖 没有获奖 合计 选修历史 没有选修历史 合计 0.150 0.100 0050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：， （1）完成上面列联表，并依据独立性检验，能否有把握推断认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科有关”；（结果保留三位小数） （2）从选历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望. 【答案】（1）有把握认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科”有关 （2）分布列见详解， 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式求相应人数，进而完善列联表，求，并与临界值对比分析； （2）由题意的取值可能为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 设获奖且没选修历史为x人，获奖且选修历史为y人， 则，解得， 可得列联表： 获奖 没有获奖 合计 选修历史 20 30 50 没有选修历史 10 40 50 合计 30 70 100 零假设为：党史知识竞赛获奖与选修历史学科无关， 则， 故依据的独立性检验，推断不成立，即有把握认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科”有关． 【小问2详解】 由题意的取值可能为0，1，2， 则， 故的分布列为： 0 1 2 P 则． 19. 已知等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且. （1）求数列和的通项公式； （2）求 （3）在，之间插入1个数，使成等差数列，在，之间插入2个数，，使成等差数列，；在，之间插入个数，使成等差数列. ①求； ②求. 【答案】（1）； （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式分析求得；根据与之间的关系求得； （2）利用分组求和法结合等差数列求和以及裂项相消法分析求解； （3）①根据等差数列的通项公式分析求解；②根据题意设，结合等差数列求和公式可得，再根据错位相减法分析求解即可. 【小问1详解】 设数列的公差为d， 因为，，则，解得， 所以； 因为数列的前n项和为，且满足， 当时，； 当时，； 验证，当时，，满足上式， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知：，且， 可得， 所以． 【小问3详解】 ①：因为成等差数列，， 所以； ②：设， 则， 设，则， 可得， 两式相减得：， 则， 所以. 20. 已知函数，. （1）讨论的单调区间； （2）当时，令. ①证明：当时，； ②若数列满足，，证明：. 【答案】（1）答案见解析； （2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求出函数的导函数，再讨论的符号即可计算作答. (2)①等价变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性即可； ②由已知证明，由①分析探讨，等价转化，再构造函数，利用递推变换即可作答. 小问1详解】 函数定义域为R，求导得， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，， ①当时，， 令，，恒成立，则在上单调递减， ，因此，成立， 所以当时，. ②由①可知，当时，，由得，即，由，可得， 而，又，即，则， 由于，只需证， 又当时，， 令，，恒成立，则在上单调递增，， 则当时，恒有，而，即成立，不等式成立， 因此成立，即成立， 所以原不等式得证. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$