22.1 二次函数的相关概念（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

22.1 二次函数的相关概念 【考点1列二次函数关系式】 【考点2 二次函数的判断】 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【考点4 二次函数的一般形式】 【考点5 二次函数的函数值】 考点 1 ：二次函数的概念 1. 二次函数的概念: 一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外， 还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。 【考点1列二次函数关系式】 【典例1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 【考点2 二次函数的判断】 【典例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列函数中是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 【变式2-1】（2023九年级上·全国·专题练习）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·福建南平·一模）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【典例3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知函数是关于的二次函数，则的值是(　　) A．0或4 B．0 C．2 D．4 【变式3-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）若是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23九年级上·辽宁大连·期末）是二次函数，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23九年级上·河南许昌·期中）若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 【考点4 二次函数的一般形式】 【典例4】（21-22九年级·全国·假期作业）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ． 【变式4-1】（20-21九年级上·北京房山·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3 【变式4-2】（22-23九年级上·广西玉林·期中）函数的一次项系数是（    ） A． B．1 C．3 D．6 【变式4-3】（22-23九年级上·河南驻马店·期末）二次函数的二次项系数是 ． 考点 2 ：二次函数的值 根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。 【考点5 二次函数的函数值】 【典例5】（2022·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【变式5-1】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 1．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的一次项系数是（　　） A． B．1 C．3 D．6 3．如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 4．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 5．二次函数中，二次项系数是 ． 6．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为 ． 7．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ． 8．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 9．飞机从1200米的高空开始下降，每秒下降150米，则飞机离地面高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为 ． 10．已知函数． (1)当函数是二次函数时，求的值： (2)当函数是一次函数时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.1 二次函数的相关概念 【考点1列二次函数关系式】 【考点2 二次函数的判断】 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【考点4 二次函数的一般形式】 【考点5 二次函数的函数值】 考点 1 ：二次函数的概念 1. 二次函数的概念: 一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外， 还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。 【考点1列二次函数关系式】 【典例1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键． 【变式1-1】（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 【变式1-2】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、，等号右边是分式，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可． 【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【考点2 二次函数的判断】 【典例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列函数中是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、右边不是整式，不符合题意； C、，当时，不是二次函数，不符合题意； D、是二次函数，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握形如（a、b、c是常数，）的函数是二次函数是解题的关键． 【变式2-1】（2023九年级上·全国·专题练习）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数要求化简后有二次项的整式，根据二次函数的定义回答即可． 【详解】解：A、函数化简为，是二次函数，本选项不符合题意； B、是二次函数，本选项不符合题意； C、是二次函数，本选项不符合题意； D、函数化简为，没有二次项，不是二次函数，本选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．形如（a，b，c是常数，）的函数，叫作二次函数． 【变式2-2】（2023·福建南平·一模）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】A项，是二次函数，故本项符合题意；     B项，不是二次函数，故本项不符合题意；     C项，不是二次函数，故本项不符合题意；     D项，不是二次函数，故本项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中 ． 【考点3 利用二次函数的概念含参数取值范围】 【典例3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知函数是关于的二次函数，则的值是(　　) A．0或4 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 故选：B． 【变式3-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）若是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解． 【详解】解：由题意得， 解得； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的定义，由二次函数定义建立不等式是解题的关键． 【变式3-2】（22-23九年级上·辽宁大连·期末）是二次函数，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：是二次函数， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2． 【变式3-3】（22-23九年级上·河南许昌·期中）若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 【答案】A 【分析】 根据二次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键． 【考点4 二次函数的一般形式】 【典例4】（21-22九年级·全国·假期作业）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ． 【答案】 3 -5 1 【分析】形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可． 【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1， 故答案为：3，﹣5，1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键． 【变式4-1】（20-21九年级上·北京房山·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数．其中x，y是变量，是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项作答． 【详解】解：解:二次函数的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是3． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【变式4-2】（22-23九年级上·广西玉林·期中）函数的一次项系数是（    ） A． B．1 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据二次函数的相关概念即可得. 【详解】解：函数的一次项系数是； 故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键. 【变式4-3】（22-23九年级上·河南驻马店·期末）二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】根据二次项系数的定义即可进行解答． 【详解】解：二次函数的二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的相关定义，解题的关键是掌握二次函数中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 考点 2 ：二次函数的值 根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。 【考点5 二次函数的函数值】 【典例5】（2022·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】2019 【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果． 【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0， ∴m2-m=1， ∴-3m2+3m+2022 =-3（m2-m）+2022 =-3+2022 =2019． 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值． 【变式5-1】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 【答案】 【分析】分别当，时，求出()，()的值比较即可． 【详解】解：由题意得 () ， () ， ， ()()， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了求函数值，掌握求法是解题的关键． 1．下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的定义，利用二次函数的定义分别分析得出即可． 【详解】解：A. 是一次函数，不是二次函数，故选项A不符合题意； B. 是正比例函数，不是二次函数，故选项B不符合题意； C. 的自变量次数是3，不是二次函数，故选项C不符合题意； D. 是二次函数，故选项D符合题意； 故选：D 2．函数的一次项系数是（　　） A． B．1 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的基本概念，熟知二次函数的基本知识是关键．一般地，把形如（是常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的相关概念即可获得答案． 【详解】解：函数的一次项系数是． 故选：A． 3．如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c为常数，且）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键． 二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数不为0． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解得或． ， ， 当时，这个函数是二次函数． 故选：A． 4．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 5．二次函数中，二次项系数是 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数的定义，即可求解，本题考查了二次函数的定义，解题的关键是：掌握二次函数的定义． 【详解】解：二次函数，二次项系数是2， 故答案为：2． 6．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1+涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】由题意得：， 故答案为：． 7．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数表达式，由题意可得另一边长为，由此即可得出与的关系，解题的关键是掌握好变量之间的关系． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边， 另一边长为， ， 故答案为：． 8．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 9．飞机从1200米的高空开始下降，每秒下降150米，则飞机离地面高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式和函数自变量的取值范围．根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．根据离地面的高度总高度下降的距离列出代数式．时间是非负数． 【详解】解：依题意，得 ，即． ， ，解得，． 则的取值范围是：． 故答案为：． 10．已知函数． (1)当函数是二次函数时，求的值： (2)当函数是一次函数时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义，一次函数的定义是解题的关键． （1）由题意知，，计算求出满足要求的解即可； （2）由题意知，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得，，，，， ∴； （2）解：∵函数是一次函数， ∴， 解得，，，， ∴． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$