第4章 指数函数与对数函数知识点汇总-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第一册）

《人教A版必修一知识点汇总》 第4章 《 指数函数与对数函数 》知识点汇总 4.1 指 数 1.次幂的概念 个相同因子的连乘积称为的次幂, 记作, 其中称为幂的底数,简称底,称为幂的指数, 即. 注：规定 （1），即“任何一个数的1次幂都等于它本身” （2）当时，，即 “任何一个不为零的数的0次幂等于1” （3） ，即负指数幂满足 “底倒指反”. 例 计算下列各式： （1）; （2） ; （3）; （4） ; （5）; （6）; （7） ; （8）; （9）; 2.次方根 （1）n次方根的概念与分类 一般地,如果数的次方等于 , 即 那么称数为的次方根. ①当为偶数时,正实数的次方根有两个,且它们互为相反数.其中正实数的正的次方根用符号表示（称为的次算术根），负的n次方根用符号表示，且与可以合并写成. 注：负数没有偶次方根. 例如：∵，∴16的4次方根为±2，记作 ， 其中16的4次算术根为2，记作 . ②当为奇数时,实数的次方根只有一个,且它与被开方数符号保持一致（即正数的次方根为正数，负数的次方根为负数），这时实数的次方根用符号表示. 例如：∵，∴32的5次方根为2，记作; ∵，∴-32的5次方根为−2，记作; ③0的任何次方根都是0（∵），记作. 3.根式的概念及性质 (1)根式的定义 形如（）的式子称为根式, 其中“ ”称为次根号，称为根指数, 称为被开方数． （2）根式的性质（据次方根的定义可得） ①性质1（还原性）：(注：还原性的被开方数为) 例如：，. ②性质2：当为奇数时，； 当为偶数时， (注：绝对值性的被开方数为) 例如：， 4.分数指数幂 我们规定， （1）正数的正分数指数幂： 即正数的正分数指数幂满足： ①分数指数幂中的底数与根式中被开方数底数相同； ②分数指数幂中指数的分子为根式中被开方数的指数； ③分数指数幂中指数的分母为根式中的根指数. 例如： （2）正数的负分数指数幂： 即正数的负分数指数幂满足 ：“底倒指反” 例如： （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：特别地，1的任何次幂都为1，即 5.无理数指数幂及其运算性质 一般地，无理数指数幂 (为无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂 (中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数,且实数指数幂是一个确定的实数. 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于都有 （1） ;（2）；（3）；（4）； （5） ； （6）当时，=1；(底倒指反) （7）. 4.2 指数函数 1.指数函数的概念 （1）定义 像 与 这样， 一般地，我们把形如()的函数就叫做指数函数,其中是自变量，定义域是 . 注：①的系数为1； ②的底数为一个常数 反例：没有意义; ,此时 是一个常数函数； ③的指数为自变量且； ④形如“”形式. （2）实例运用 例1 判断下列函数是否为指数函数： （1）; ✔ （2）；✘底数. （3）;✘,底数为自变量,指数为常数4，它是幂函数. （4）；✘不形如形式. （5）；✘的系数为3，不为1. 2.指数函数的图象与性质 （1）底数互为倒数的两个指数函数的图像变换 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象. 例如 利用函数的图象，根据轴对称性就能画出的图象. （2）指数函数的图象与性质 由以上实例,可以归纳得出指数函数()的图像和性质,如表所示 （3）实例运用 例1 比较下列各题中两个值的大小. （1）； 解：∵ 底数 ∴ 指数函数是增函数 又∵ ∴ （2）； 解：∵ 底数 ∴ 指数函数是减函数 又∵ ∴ （3）； 解：∵ 底数 ∴ 指数函数是增函数 又∵ 0＜0.3 ∴ 即 又∵ 底数 ∴ 指数函数 是减函数 又∵ ∴ 即 综上所述，∵ ∴ 4.3 对 数 1.对数的概念、分类及其性质 （1）对数的概念 一般地 , 如果,则称为以为底的对数,记作 , 其中称为对数的底数，称为真数(且). 例如：∵ , ∴ 再如：∵ , ∴ . （2）对数式与指数式的关系 据对数的定义可知：当，时，指数式与对数式的关系为 ①指数式中的指数就是对数式的结果； ②指数式的结果就是对数式中的真数； ③指数式中的底数就是对数式中的底数； 注：由指数与对数的关系可知——指数运算与对数运算互为逆运算. （3）对数的分类 ①普通对数：（底数，且） ； 例如 （ ∵ ） ②常用对数：以10为底的对数称为常用对数，并把记作，即； 例如 （ ∵ ），（ ∵ ） ③自然对数：在科学研究和工程计算中,经常使用以无理数 为底的对数,以为底的对数称为自然对数,简记为，即. 例如 （4）对数的性质 ①性质1： (，且) （即真数为1的对数等于0） ； ②性质2： (，且) （即真数与底数相同的对数等于1） ； ③性质3：对数(，且) 的真数大于0，即（ 注：负数和零没有对数） （5）实例运用 例 求下列对数式的值. ①； 解：∵ 指数式 ， ∴ 对数式 ②； 解：∵ 指数式 ， ∴ 对数式 ③ 解：∵ 指数式 ， ∴ 对数式 ④ ； 解：∵ 指数式 ， ∴ 对数式 2.对数的运算法则 如果 ，且, , 那么 （1）法则1：积化和公式 注：注意运用时公式的逆用（和化积公式） （2） 法则2：商化差公式 注：注意运用时公式的逆用（差化商公式） （3）法则3：幂的对数公式（指数提前性） 注：注意运用时公式的逆用（系数置后指数性） （4）法则4：换底公式 注：注意运用时公式的逆用 （5）法则5：倒数性 , 或 例1 求下列各式的值. ① ② 例2 表示 , 其中 解：∵ 已知, ∴ (商化差公式) （积化和公式） (指数提前性) 4.4 对数函数 1.对数函数的概念 像这样， 一般地，我们把形如 的函数就叫做对数函数,其中是自变量，定义域是 注：（1） 的底数为一个常数 ； （2）的真数为自变量, 且 ； （3） 形如“ ”形式 例1 判断下列函数是否为对数函数： （1） （); ✔ （2） ； ✔ （3） （); ✘,底数 （4） . ✘,底数为自变量,真数为常数2 例2 求下列函数的定义域： （1） ; 解：∵已知 ∴真数 ∴ ∴ ∴ 或 （即） 故函数 的定义域为 （2）（且) 解：∵（且) ∴真数 ∴ 故函数的定义域为. 2.对数函数的图象与性质 （1）底数互为倒数的两个对数函数的图像变换 答：由图可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象. 例如 利用函数的图象，根据轴对称性就能画出的图象 （2）对数函数的图象与性质 由以上实例,可以归纳得出对数函数 的图像和性质,如表所示. （3）实例运用 例 比较下列各题中两个值的大小. ①； 解：∵ 底数 ∴ 对数函数是增函数 又∵ ∴ ②； 解：∵ 底数 ∴ 对数函数 是减函数 又∵ ∴ ③ ()； 解： 可以看作函数的两个函数值， ∵ 已知底数 ∴ 可分如下两种情况来讨论： 情况1：当底数 时 ∵ 对数函数是减函数 又∵ ∴ 情况2：当底数时 ∵ 对数函数是增函数 又∵ ∴ 3.反函数的概念及图象特征 （1）反函数的概念与图象特征 像指数函数与对数函数这样， 一般地，如果一个函数的定义域与值域分别是另一个函数的值域与定义域，那么就称这样的两个函数互为反函数，其中一个函数叫做另一个函数的反函数, 即函数与互为反函数. 为了书写方便，常将函数的反函数记作. 注：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称. 例如：指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称. （2）指数函数与对数函数的关系 由反函数的定义可知： 指数函数()与对数函数()互为反函数，它们的定义域和值域正好互换，且它们的图像关于直线对称. 例 若函数是函数的反函数，则 . 解：∵已知函数是函数的反函数 ∴ 故 4.5 函数的应用（二）——函数的零点与方程的根 1.函数的零点与零点存在定理 （1）函数的零点 像上面问题中二次函数这样， 对于函数当时，使得成立，我们就称 为函数的零点. 注：① 求方程 的实数解，就是确定函数的零点. ②对于不能用公式求解的方程 ，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象与轴的交点找出零点，从而得到方程的解. 例如叫做二次函数的2个零点. （2）零点存在性定理 一般地， ①如果函数在区间[]上的图象是一条连续不断的曲线； ②且有 （即与异号）； 那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得 ，这个也就是方程的解. 注：零点存在定理只能说明函数在区间内有零点，而不能确定函数在区间内零点的个数. （3）实例运用 例1 函数的零点是 ； 解：∵已知 ∴可令，则有 ∴ 故函数的零点是. 例2 函数有零点的区间为（ ） 解：∵已知 ∴的定义域为, 即函数 的图象在上连续不断，据零点存在定理可做如下判断： 又∵ 即 ∴据零点存在性定理可知 函数有零点的区间为 ,故选. 2.用二分法求方程的近似解 （1）用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤 ①确定零点的初始区间 []，验证（即验证是否满足零点存在定理） ②求区间()的中点,且 (区间中点坐标公式) ; ③计算，并进一步确定零点所在的区间: 若，则就是函数的零点; 若 ,则在区间（）上存在零点(即此时零点∈（）)，区间（）舍去； 若 则 ,则在区间（）上存在零点(即此时零点∈())，区间（）舍去； 不断重复的过程，直到区间的中点能使或，则即为函数的零点或零点的近似值. 例 已知函数 在区间()上有一个零点，试求方程在区间()上的根. 解：∵ 区间()的中点为 又 ∴ 据零点存在定理可知的零点在区间（）上 又∵ 区间()的中点为 而 又 ∵ 已知函数 在区间()上只有一个零点 ∴方程在区间()上的根为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$