第04讲 二次根式的运算（二）（3个知识点+5种经典题型+习题试卷）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版）

第04讲 二次根式的运算（二）（3个知识点+5种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 【例1】（2023秋•杨浦区校级期中）的一个有理化因式是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•长宁区校级期末）分母有理化：　　． 【变式2】（2022春•闵行区校级期末）计算． 知识点2．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【例2】（2021秋•浦东新区校级月考）已知，那么的值等于　　 A． B． C． D．3 【变式1】（2023秋•金山区校级月考）当时，代数式的值是 　　． 【变式2】（2024春•青浦区校级月考）化简并求值：，其中． 知识点3.二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【例3】（2023秋•静安区校级期末）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为、、，记，则其面积这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若，，则此三角形面积的值可以是　　 A． B．6 C． D．5 【变式1】（2023秋•普陀区校级期中）不等式的解集是 　　． 【变式2】（2022秋•宝山区校级期中）解不等式：． 经典题型汇编 题型一.分母有理化 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）解不等式：的解集是 ． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 ，求代数式 的值． 题型二.已知字母的值、化简求值 4．（21-22八年级上·上海金山·期中）已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 ． 5．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果，则 ． 6．（23-24八年级上·上海长宁·期中）当，化简代数式，并求值． 题型三.已知条件式、化简求值 7．（八年级·上海·期中）化简（y＜0）的结果是（　　） A．y B．y C．﹣y D．﹣y 8．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）若，则代数式的值是 ． 9．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 题型四.比较二次根式的大小 10．（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 11．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）比较与的大小． 题型五.二次根式的应用 13．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）满足等式的正整数对的个数有 个 15．（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海静安·期中）的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·上海·阶段练习）规定，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 5．（八年级下·全国·单元测试）设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是(　　) A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 6．（八年级下·期末）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 8．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 9．（22-23八年级上·上海·单元测试）比较大小： ． 10．（八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知求的值= . 11．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）设，则 . 12．（22-23八年级上·上海·单元测试）若，则 ． 13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知函数，那么 ． 14．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）比较大小： . 15．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）不等式的解集是 ． 16．（19-20八年级上·上海·阶段练习）已知，则 17．（19-20八年级上·上海徐汇·阶段练习）一个三角形的三边长分别为、、，则它的周长是 18．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2的值也是整数，那么称（a,b）是2的一个“理想数对”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想数对”，请你再写出一个2的“理想数对”： . 三、解答题 19．（八年级上·上海·期中）解不等式： < 20．（19-20八年级上·上海静安·阶段练习）解方程： 21．（19-20八年级上·上海静安·阶段练习）解不等式： 22．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）求满足的最大整数解 23．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知，，求的值． 24．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知，，求的值． 25．（21-22八年级上·上海宝山·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 26．（19-20八年级上·上海·阶段练习）附加题 化简 27．（八年级上·上海·期中）阅读，并回答下列问题： 公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值. （1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确. （2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次根式的运算（二）（3个知识点+5种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 【例1】（2023秋•杨浦区校级期中）的一个有理化因式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理化因式的定义进行判断． 【解答】解：的有理化因式可以为． 故选：． 【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去，确定有理化因式是解决问题的关键． 【变式1】（2023秋•长宁区校级期末）分母有理化：　　． 【分析】根据分母有理化的方法进行解题即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查分母有理化和二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】（2022春•闵行区校级期末）计算． 【分析】先分母有理化，再根据加减法法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的运算，分母有理化等知识，能正确分母有理化是解此题的关键． 知识点2．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【例2】（2021秋•浦东新区校级月考）已知，那么的值等于　　 A． B． C． D．3 【分析】由，进一步化简分式，最后代入求得数值即可． 【解答】解：原式 当时， 原式． 故选：． 【点评】此题考查分式的化简与二次根式的化简求值，注意先化简，再进一步代入求值． 【变式1】（2023秋•金山区校级月考）当时，代数式的值是 　1　． 【分析】将代入计算即可． 【解答】解：当时， 原式 ， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式． 【变式2】（2024春•青浦区校级月考）化简并求值：，其中． 【分析】根据已知条件求出，的值，再将原式化简为，最后代入求值即可． 【解答】解： ， 原式 ． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握相关运算． 知识点3.二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【例3】（2023秋•静安区校级期末）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为、、，记，则其面积这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若，，则此三角形面积的值可以是　　 A． B．6 C． D．5 【分析】由题可知，，把，代入的表达式中，再利用三角形三边关系确定的取值范围，则可以确定的取值范围，从选项中选出符合条件的答案即可． 【解答】解：，，， ， ， ， 又三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ， ， 当时，为最大值，， ， 题目中符合的取值范围的值只有， 故选：． 【点评】解题的关键是用仅有未知数的方程式表达，再结合二次根式的性质，二次函数的性质和三角形三边关系进行分析，即可得出的最大值和最小值． 【变式1】（2023秋•普陀区校级期中）不等式的解集是 　　． 【分析】利用解一元一次不等式的步骤求解即可． 【解答】解：， 移项，得， ． ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解不等式，掌握解一元一次不等式的一般步骤及二次根式的化简是解决本题的关键． 【变式2】（2022秋•宝山区校级期中）解不等式：． 【分析】按照移项、合并同类项、系数化1的顺序依次计算即可，注意最后结果化为最简． 【解答】解：移项得： 合并同类项得：， 即： 系数化1得： 化简得： 【点评】本题考查了二次根式的应用及一元一次不等式的解法，属于基础运算，应该重点掌握． 经典题型汇编 题型一.分母有理化 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）解不等式：的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式，二次根式的运算． 根据解不等式的步骤求解，最后将分母进行有理化，即可解答． 【详解】， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 即． 故答案为： 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先化简代数式，再将进行分母有理化后的值代入，计算即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式． 题型二.已知字母的值、化简求值 4．（21-22八年级上·上海金山·期中）已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 ． 【答案】 【分析】先把x的值代入（x﹣2）2﹣x中，然后利用二次根式的性质计算． 【详解】解：∵x＝2﹣， ∴（x﹣2）2﹣x＝（2﹣﹣2）2﹣（2﹣） ＝2﹣2＋ ＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确进行计算． 5．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 6．（23-24八年级上·上海长宁·期中）当，化简代数式，并求值． 【答案】，+1 【分析】本题考查二次根式的化简求值，首先判断出，然后对二次根式进行化简，代入数值计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， 当时，原式． 题型三.已知条件式、化简求值 7．（八年级·上海·期中）化简（y＜0）的结果是（　　） A．y B．y C．﹣y D．﹣y 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念求出x的符号,根据二次根式的性质化简即可. 【详解】由二次根式的概念可知, ,又, , 化简的结果是, 所以D选项是正确的. 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简,掌握二次根式的性质是解题的关键,注意二次根式的被开方数是非负数. 8．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）若，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】首先将原式变形为，然后将代入求解即可． 【详解】 = 当时，原式= 故答案为：2． 【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的乘法，熟记完全平方公式是本题的关键． 9．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 【答案】或 【分析】根据题意，得，然后根据x，y都是有理数，判断出与也是有理数，据此推出，求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y都是有理数， ∴与也是有理数，且都为0， ∴ 即， 解得或， ∴或． ∴的值为或． 【点睛】本题考查了实数的计算，以及有理数的含义与应用，解题的关键是判断出与都是有理数． 题型四.比较二次根式的大小 10．（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故答案为： 11．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论． 【详解】解：= ∵＞＞ ∴＞＞ ∴ 故选A． 【点睛】此题考查的是二次根式比较大小，掌握分子有理化是解题关键． 12．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】观察得代数式的被开方数的差相等，先将代数式转变为分式的形式，比较分式的大小即可求解． 【详解】解：∵， ， 且， ∴． 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，解题的关键是借助被开方数的差相等，将代数式转化为分式的形式进行比较． 题型五.二次根式的应用 13．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入原式求得，将代入原式求得即可解答． 【详解】解：将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； 将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 14．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）满足等式的正整数对的个数有 个 【答案】8 【分析】先将等式变为，得出，从而得出，写出正整数对即可得出答案． 【详解】解：等式可变为： ， ∵， ∴， 即， ∴， 则正整数对可以是： ，，，，，，，， ∴满足已知等式的正整数对共有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到． 15．（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析； (2)（n为任意自然数，且） 【分析】（1）根据题中所给的式子进行验证即可； （2）根据题中式子的验证过程找出规律即可． 【详解】（1）猜想：， 验证：； （2）（为任意自然数，且），证明如下： （为任意自然数，且）． 【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海静安·期中）的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理化因式的定义：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．根据定义即可求解． 【详解】解：∵， 又 ∴ 故的有理化因式为 故选：A． 2．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式．然后根据题意就可以求出其解． 【详解】由题意，得的有理化因式是：， 故选：A． 【点睛】本题考查有理化因式，单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式． 3．（22-23八年级上·上海·阶段练习）规定，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义，直接将代入后，分母有理化即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及代数式求值、分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解决问题的关键． 4．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分母有理数、二次根式的混合运算等知识点，掌握分母有理化的方法成为解题关键． 先对分母有理化，然后再分别代入各选项计算判断即可． 【详解】解：∵． ∴A.,不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意． 故选C． 5．（八年级下·全国·单元测试）设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是(　　) A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 【答案】D 【详解】a=－=（-1），b=-1；c===×（-1）， ∵＞1＞， ∴a＞b＞c． 故选D． 6．（八年级下·期末）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案． 【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数， ∴m=2，n=5或m=8，n=20， 当m=2，n=5时，原式=2是整数； 当m=8，n=20时，原式=1是整数； 即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度． 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】 本题考查了分母有理化．根据分母有理化的法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】7 【分析】对已知等式两边平方，展开计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，分式的运算，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 9．（22-23八年级上·上海·单元测试）比较大小： ． 【答案】 【分析】首先分别求出、的平方，然后根据实数大小比较的方法，判断出、的平方的大小关系，即可判断出、的大小关系． 【详解】解：解： ， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 10．（八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知求的值= . 【答案】26 【分析】先把两等式相乘和相加可得ab＝240，ab（a＋b）＝8160，则可计算出a＋b＝34，再根据完全平方公式变形得到＝，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a2b＝2400，ab2＝5760， ∴a3b3＝2400×57600＝2403，a2b＋ab2＝2400＋5760， ∴ab＝240，ab（a＋b）＝8160， ∴a＋b＝＝34， ∴＝＝ 故填：26. 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形及整式的运算法则. 11．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）设，则 . 【答案】5 【分析】先将变形配方，再利用非负数的性质求出a，b，c的值，代入计算即可． 【详解】∵， ∴a−2+1+[(b+1)−2 +1]+[(c−1)−2+1]=0， ∴(−1)2+( −1)2+( −1)2=0， ∴−1=0， −1=0， −1=0 ∴a=1，b=0，c=2， ∴a2+b2+c2=5. 故答案为5. 【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知配方法的应用. 12．（22-23八年级上·上海·单元测试）若，则 ． 【答案】0 【分析】根据二次根式的非负性求得a、b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查二次根式的非负性、代数式求值，熟练掌握二次根式非负性是解题的关键． 13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知函数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，根据定义，代入计算即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 14．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）比较大小： . 【答案】< 【分析】把两个根变形为两个根式相加的形式，再进行比较即可得答案. 【详解】=，=， ∵>， ∴<，即<， 故答案为< 【点睛】本题考查实数的大小比较，正确将二次根式变形是解题关键. 15．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）不等式的解集是 ． 【答案】x＜． 【分析】首先判断出＜0，再根据解一元一次不等式的步骤得x＜，最后进行分母有理化即可得到结果． 【详解】解：∵＜0， 解不等式得， x＜， ∴x＜ ， 故答案为：x＜． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，注意要掌握分母有理化的方法． 16．（19-20八年级上·上海·阶段练习）已知，则 【答案】 【分析】根据题意可知a＞0，b＞0，整理得出a，b的关系，代入即可求出. 【详解】根据题意可知a＞0，b＞0， ∵， ∴即， 则， 显然，则，即a=4b， 将a=4b代入中， ∴原式= = = = 【点睛】本题是对二次根式的综合考查，熟练掌握二次根式化简运算是解决本题的关键，难度相对较大. 17．（19-20八年级上·上海徐汇·阶段练习）一个三角形的三边长分别为、、，则它的周长是 【答案】++. 【分析】三角形的周长等于三边之和，即++，化简即可． 【详解】++， =++. 故答案为++. 【点睛】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 18．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2的值也是整数，那么称（a,b）是2的一个“理想数对”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想数对”，请你再写出一个2的“理想数对”： . 【答案】（1，4）（此题答案不唯一，见详解） 【分析】因为2的值也是整数，所以要使、开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2. 【详解】当a=1，b=4时， 2 故成立， 所以答案可以是：（1，4）. 此题答案也可以为（4，1）. 【点睛】此题考查的是材料题，需要读懂材料在解决问题. 三、解答题 19．（八年级上·上海·期中）解不等式： < 【答案】 【详解】试题分析：根据不等式的性质解. 试题解析： 20．（19-20八年级上·上海静安·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】先把方程中的根式化简成最简二次根式，再根据一元一次方程的解法解方程即可得出答案. 【详解】 . 【点睛】本题考查含有二次根式的一元一次方程的解法，在解题过程中需注意先把二次根式化成最简二次根式，这样有利于计算的简便，最后的结果也必须用最简二次根式的形式表示. 21．（19-20八年级上·上海静安·阶段练习）解不等式： 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的方法解此不等式即可得出答案. 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题考查含有二次根式的一元一次不等式的解法，在解不等式的时候需注意系数化为1时，必须要考虑系数的正负，根据不等式左右两边同乘或同除一个正数时，不等号不变，但是不等号两边同乘或同除一个负数时，不等号要变方向. 22．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）求满足的最大整数解 【答案】−4. 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可． 【详解】∵ 解得x<， x<−2−， ∴满足(1−)x>1+的最大整数是−4. 故答案为−4. 【点睛】此题考查解一元一次不等式，二次根式的应用，解题关键在于掌握运算法则. 23．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知，，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的运算，求代数式的值．先把x与y进行化简，然后代入代数式中求解即可． 【详解】解：由于 ， 则 ； 答：的值为13． 24．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】先将，分母有理化，求得和的值，根据完全平方公式求解原式即可． 【详解】解：， ， ∴，， 故原式． 【点睛】本题考查了分母有理化，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 25．（21-22八年级上·上海宝山·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据二次根式的性质，分式的性质，将代数式化简，将的分母有理化，再代入原式即可求解． 【详解】解： ， 且，， ∴原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，平方差公式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 26．（19-20八年级上·上海·阶段练习）附加题 化简 【答案】3 【分析】对两个二次根式下面配成完全平方化简即可. 【详解】解：原式= = = = = =3 【点睛】本题是对二次根式化简的综合考查，熟练掌握配完全平方及二次根式的化简是解决本题的关键，本题难度较大，注意要学会拆分配方. 27．（八年级上·上海·期中）阅读，并回答下列问题： 公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值. （1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确. （2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值. 【答案】（1）；（2）或 ；或 【分析】根据近似公式计算出近似值的过程和方法计算的近似值和确定a和r的值. 【详解】（1）根据近似公式可知：≈ 故答案为； （2）∵ ∴ ∴ ∴ 整理， 解得： 或 ∴或 故答案为或 ；或 【点睛】本题考查二次根式的估算，审清题意，根据题目所给的近似公式计算是解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$