1.4有理数的加减 讲义 2023-2024学年沪科版数学七年级上册

1.4有理数的加减 本节课知识框架： 知识点1： 有理数的加法法则 知识点2： 有理数的减法法则 知识点3： 有理数的加法运算律 知识点4： 有理数的加减混合运算 本节课重难点： 重点： 有理数的加法法则、有理数的加法运算律 难点： 有理数的减法法则、有理数的加减混合运算 本节课学习目标： 1、 理解有理数的加法法则,能熟练进行有理数的加法运算 2、 理解有理数的减法法则,能熟练进行有理数的减法运算 3、 理解有理数加、减法的运算律,能进行有理数加减混合运算,并适当运用运算律简化运算 知识点1：有理数的加法法则 知识点讲解 1.有理数加法法则 (1)同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加 . (2)异号两数相加，绝对值相等时和为 0 ；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 . (3)一个数与 0 相加，仍得这个数 . 2.有理数加法运算的各种情况如下表 加数 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 相加 若 a ＞ 0， b ＞ 0，则a+b=+(|a|+|b|) 若 a ＜ 0， b ＜ 0，则 a+b=－(|a|+|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若 a ＞ 0， b ＜ 0，且 |a| ＞ |b|，则 a+b=+（|a|－|b|） 若 a ＜ 0， b ＞ 0，且 |a| ＞ |b|，则 a+b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若 a ＞ 0， b ＜ 0，且 |a|=|b|，则 a+b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a+0=a 3. 有理数加法运算的步骤 (1)判断加法的类型，即判断两个加数是同号，还是异号，加数中是否有 0. 根据加法的类型确定用加法法则中的哪一条 . (2)确定和的符号 . (3)确定和的绝对值 . 例题1：计算下列各题 . (1) (+20) + (+12) ； (2) (－2) + (－1) ；(3) (－30) +6； (4) ( － ) + ； (5) ( －) + ； (6) 0+ ( － ). 同号相加一边倒： 异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑，绝对值相等“0”正好. 方法总结 例题2： 下列说法正确的是( ) A. 两个有理数的和一定大于任何一个加数 B. 若两个有理数的和为正数，则这两个有理数都是正数 C. 若两个有理数的和为零，则这两个有理数一定互为相反数 D. 异号两个有理数相加，和不是正数就是负数 牛刀小试： 第一题：用“>”或“<”填空: (1)如果a>0, b>0, 那么a＋b________0; (2)如果a<0, b<0, 那么a＋b________0. 第二题：计算9＋(－3)的结果是(　　) A. 6 B. －6 C. 3 D. －3 第三题：有理数c, d在数轴上的对应点如图所示, 则下列式子正确的是(　　) A. c＞d B. |c|＞|d| C. －c＜d D. c＋d＜0 知识点2：有理数的减法法则 知识点讲解 1. 法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数 . 用字母表示： a － b=a+(－b)，其中 a， b 表示任意有理数 . 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数 － 较小的数 = 正数，即若 a>b，则 a － b>0. (2)较小的数 － 较大的数 = 负数，即若 a<b，则 a － b<0. (3)相等的两个数的差为 0，即若 a=b，则 a － b=0. 例题3：计算下列各题： (1)7－3； (2)3－7；(3) (－1)－2； (4)2－ (－1)； (5) (－2)－ (－1)； (6) (－1)－ (－2)；(7)0－5； (8)0－ (－5). 两个有理数相减的方法： 两个有理数相减，一般是应用有理数减法法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，把减法运算转化为加法运算 . 特别地，当相减的两数都是正数，且被减数大于减数时，可直接计算. 方法总结 牛刀小试： 第一题：在下列括号内填上适当的数. (1)(－8)－(－3)＝(－8)＋(　 　)＝(　 　); (2)(－3)－4＝(－3)＋(　 　)＝(　 　); (3)0－(－7. 5)＝0＋(　 　)＝(　 　). 第二题：有理数a, b在数轴上的对应点的位置如图所示, 则下列结论正确的是(　　) A. a＋b＞0 B. －a＞b C. a－b＜0 D. －b＜a 第三题：与－3相等的是(　　) A. －3－　 B. 3－　 C. －3＋　 D. 3＋ 知识点3：有理数的加法运算律 知识点讲解 1.有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a+b) +c=a+(b+c) 2. 加法运算律的运用技巧： (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分数与分数(分母相同或容易通分的分数)先相加——“同形结合法”； (4)几个数相加得到整数的先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法” . 例题4：计算： (－) + (－ )+ + (－) . 例题5：计算：43+(－77)+37+(－23). 例题6：计算： (－3 )+3 +2 + (－1 ) . 例题7：计算：(－3.75)+2.85+(－1 )+(－ )+3.15+(－2.5). 例题8：计算：(－2 024 )+ ( －2 023 ) +4 048 + ( －1 ) . 方法总结 相反数结合法：如果加数中有互为相反数的两个数或和为 0 的几个数，可以分别结合进行运算 , 简称“相反数结合法”. 同号结合法：在有理数的加法运算中，先将所有的正数结合在一起，所有的负数结合在一起，分别相加，符号再求和的计算方法，简称“同号结合法”. 同形结合法：在计算过程中往往把整数与整数、小数与小数、分数与分数、分母相同或容易通分的分数结合在一起，以达到简化运算的效果，简称“同形结合法” . 凑整法：多个有理数相加时，如果既有分数，又有小数，一般将存在数量少的形式转化成存在数量多的形式，把能凑成整数的数结合在一起，可以使计算简便，这种方法简称“凑整法”. 拆项结合法：1.在有理数的加法计算中，可以先把带分数拆分成整数和真分数的和，再把整数和真分数分别结合相加，但拆数时应特别注意符号问题.这种方法简称“拆项结合法” . 2. 一个带分数在拆成一个整数和一个分数时，有两种拆分法，一种拆成同号，一种拆成异号 . 如：－9 =－9+ ( － )或 －9 =－10+ . 方法总结： 牛刀小试： 第一题：能与－相加得0的是(　　) A. －－　　　　　B. ＋ C. －＋ D. －＋ 第二题：计算3＋＋5＋时, 用运算律最为恰当的是(　　) A. ＋ B. ＋ C. ＋ D. ＋ 知识点4：有理数的加减混合运算 知识点讲解 1.有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式 . (2)运用加法交换律、加法结合律进行计算，使运算简便 . 2. 省略和式中的加号和括号 进行有理数的加减混合运算时，利用减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算，为简化书写形式，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写. 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负 20、负 3、正 2、负 5 的和； (2)按运算来读：负 20 减 3 加 2 减 5. 例题9：把下列各式写成省略加号和括号的形式，并说出它们的两种读法 . （1）－6－( －3) +(－2) －( +6) － (－7)； (2) － ＋ (－ ) － (－ ) ＋ (－ ) － (－ ) . 计算有理数的加减混合运算时，要灵活运用加法的运算律进行简便计算 . 在运用加法交换律交换加数的位置时，要连同数前面的符号一起交换 . 方法总结 牛刀小试： 第一题：把6－(＋3)－(－7)＋(－2)统一成加法运算, 下列变形正确的是(　　) A. －6＋(－3)＋(－7)＋(－2) B. 6＋(－3)＋(－7)＋(－2) C. 6＋(－3)＋(＋7)＋(－2) D. 6＋(＋3)＋(－7)＋(－2) 第二题：下列式子可读作“负1、负3、正6、负8的和”的是(　　) A. －1＋(－3)＋(＋6)－(－8) B. －1－3＋6－8 C. －1－(－3)－(－6)－(－8) D. －1－(－3)－6－(－8) 第三题：小红和小明拿到的卡片如图所示, 规定: 正方形表示加, 圆形表示减, 运算结果小的获胜. 已知小红和小明的起始数均为0, 则下列说法正确的是(　　) A. 小红获胜 B. 小明获胜 C. 不分胜负 D. 无法确定 课后作业 第一题：计算: (1)(－25)＋(－35); (2)(－12)＋(＋3); (3)(＋8)＋(－7); (4)0＋(－7). 第二题：中国人最先使用负数, 魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中, 用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(红色为正, 黑色为负), 如图①表示的是(＋2)＋(－2), 根据这种表示法, 可推算出图②所表示的算式是(　　) A. (＋3)＋(＋6) B. (＋3)＋(－6) C. (－3)＋(＋6) D. (－3)＋(－6) 第三题：(1)已知|x|＝6, |y|＝11, 求x＋y的值; (2) 已知|a|＝, |b|＝, 且b＜a, 求a＋b的值. 第四题：已知有理数a, b, c在数轴上对应点的位置如图所示. (1) 判断下列各式的符号: a－b, b－c, c－a; (2)若|a|＝2, |b|＝, |c|＝1, 试比较c－b与b－a的大小关系 第五题：李老师进行家访, 从学校出发, 先向西开车行驶4 km到达A同学家, 继续向西行驶7 km到达B同学家, 然后又向东行驶15 km到达C同学家, 最后回到学校. (1) 以学校为原点, 以向东为正方向, 用1个单位长度表示1 km, 画出数轴, 并在数轴上表示出A, B, C三名同学的家的位置. (2) A同学家离C同学家有多远? (3)李老师一共行驶了多少千米? 第六题：计算: (1)(－2. 6)＋(－3. 4)＋(＋2. 3)＋1. 5＋(－2. 3); (2)(－2. 125)＋＋＋(－3. 2). 第七题：“数学王子” 高斯在读小学时就能在课堂上快速地计算出1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝5 050. 归纳如下: 令S＝1＋2＋3＋…＋98＋99＋100, ① 则S＝100＋99＋98＋…＋3＋2＋1, ② ①＋②, 得2S＝(1＋100)×100, 解得S＝5 050. 请类比计算: 2＋4＋6＋…＋2 020＋2 022＋2 024. 第八题：已知a＝－4, b＝－5, c＝－7, 求式子a－b－c的值. 第九题：阅读下面的解题过程并填空: 计算: 53. 27－(－18)＋(－21)＋46. 73－15＋21. 解: 原式＝53. 27＋18－21＋46. 73－15＋21(第一步) ＝(53. 27＋46. 73)＋(－21＋21)＋(18－15)(第二步) ＝100＋0＋3(第三步) ＝103. (第四步) 计算过程中, 第一步把原式化成_______________________的形式; 第二步是根据_______________________________得到的, 目的是_____________________. 请你根据以上解题技巧进行计算: －21＋－－. 第十题：已知－＝, 得到＝＋; 已知－＝, 得到＝＋; 已知－＝, 得到＝＋. (1)按照上面的规律填空: ＝＋, ＝＋; (2)已知a, b, c都是质数, 且＋＋＝1, 求a＋b＋c的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$