第七章平面直角坐标系同步培优第二课---平面直角坐标系的应用讲义2023-2024学年人教版数学七年级下册

平面直角坐标系的应用 【知识点一：确定点的位置】 用坐标表示地理位置步骤： ①建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴y轴的正方向； ②根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； ③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。 说明：坐标系的位置不同，各点在坐标系中的坐标就不同。 【典例精析】 1．如图是某市市区几个旅游景点的平面示意图；（规定：选择水平线为x轴，向右为正方向；选择竖直线为y轴，向上为正方向．） （1）选取某一景点为坐标原点，建立平面直角坐标系； （2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各景点的坐标． 【随堂练习】 1．如图，一个长方形ABCD的长宽分别是12和8，请恰当的建立直角坐标系表示各顶点坐标，则A ；B ；C ；D ． 2．如图，在一座共8层的商业大厦中，每层的摊位布局基本相同．小明的父亲在6楼，位置可以表示为（6，2，3）．若小明的母亲在5楼，其摊位也可以用如图表示，则小明的母亲的摊位的位置可以表示为　 　． 题1图 题2图 3．在矩形ABCD中，A（-4，1），B（0，1），C（0，3），则D点的坐标为 ； 4．线段AB的长度为3且平行与x轴，已知点A的坐标为（2，-5），则点B的坐标为 或 ． 5．课间操时，小华、小军、小刚的位置如下图左，小华对小刚说，如果我的位置用(0，0)表示，小军的位置用 (2，1)表示，那么你的位置可以表示成（ ） A．(5，4) B．(4，5) C．(3，4) D．(4，3) 6．如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是( ) A．点A B．点B C．点C D．点D 7．如图是中国象棋的一盘残局，如果用（4，0）表示“帅”的位置，用（3，9）表示“将”的位置，那么“炮”的位置应表示为（　　） A．(8，7) B．(7，8) C．(8，8) D．(8，9) 题5图 题6图 题7图 8．将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 ． 1 第一排 2 3 第二排 4 5 6 第三排 7 8 9 10 第四排 题8图 9．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如 ( O 1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 x y )下图所示： （1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A12（ ， ）； （2）写出点A4n的坐标（n是正整数）； （3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向． 【知识点二：用坐标表示平移】 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这种图形的运动称为平移． 2．图形平移的性质： （1）平移后，对应点所连的线段平行且相等； （2）平移后，对应线段平行且相等； （3）平移后，对应角相等； （4）平移后，只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小． 3．决定平移的因素：平移的方向和距离． 用坐标表示平移：右加左减；上加下减。 ( P （ x ， y ） P （ x ， y － a ） P （ x － a ， y ） P （ x ＋ a ， y ） P （ x ， y ＋ a ） 向上平移 a 个单位长度 向下平 移 a 个单位长度 向右平移 a 个单位长度 向左平移 a 个单 位长度 ) 【典例精析】 1．①将点A(﹣4，﹣6）先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度,得到A′,则A′的坐标为____________. ②点M向左平移4个单位后的坐标为（－1，2），则点M开始时的坐标为__________. ③在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A(－2，1)的对应点为A′(3，4)，点B的对应点为B′(4，0)，则点B的坐标为（ ） A．（9，3）　 B．（－1，－3）　　 C．（3，－3）　 D．（－3，－1） 2．三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(2，－1)、B(1，－3)、C(4，－3.5)． 把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；在平面直角坐标系中，将点M（1，0）向右平移3个单位，得到点M1，则点M1的坐标为________ ． 3．如图，△ABC三个顶点的坐标A(4，3)，B(3，1)，C(1，2) （1）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变 （2）依次连接A1、B1、C1，各点，得到三角形A1B1C1 猜想：△A1B1C1与△ABC的大小，形状和位置上有什么关系，为什么？ 将△ABC三个顶点纵坐标都减去6，横坐标不变又会出现什么情况？ 【随堂练习】 1．点A（－3，－5）向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（ ） A.（1，－8） B.（1，－2） C.（－6，－1） D.（0，－1） 2．线段CD是由线段AB平移得到的，点A（－1，4）的对应点为C（4，7），则点B（－4，－1）的对应点D的坐标为（ ） A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（－ 9，－4） 3．已知点A（1，2）和点B（3，－1），把线段AB向右平移2个单位，则点B的坐标变为（ ） A.（－1，5） B.（5，－1） C.（1，－1） D.（－1，1） 4．把点P(a，b)向右平移两个单位，得到点P′(a+2，b)，再把点P′向上平移三个单位，得到点P′′，则P′′的坐标是 ； 5．初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a,b]=[m-i，n-j]，并称a+b为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m·n的最大值为 . 6．如图所示． （1）写出三角形③的顶点坐标； （2）通过平移由③能推出④吗？为什么？ （3）由对称性：由③可得①、②三角形，顶点坐标各是什么？ 7．注意观察网格图中的已知⊿ABC，请你利用网格点和三角板画图：(1)将△ABC平移：要求经平移后△ABC中的任一点P(a，b) 对应点为P(a+5，b+1)； （1）画出BC边上的高； （2）画出AB边上的中线． 【小试牛刀】 1． 长方形ABCD在坐标系中的位置如右图所示，若长方形的边长AB为1，AD为2，则点A，B，C，D的坐标依次为 ；把长方形向右平移3个单位，得矩形A′B′C′D′，则A′，B′，C′，D′的坐标为 ． 2．平面直角坐标系中一条线段的两端点坐标分别为（2，1），（4，1），若将此线段向右平移1个单位长度， 则变化后的线段的两个端点的坐标分别为 ，�若将此线段的两个端点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得的线段与原线段相比 ；若将此线段的两个端点的横坐标不变，纵坐标分别加上1，�则所得的线段与原线段相比 ；若横坐标不变，纵坐标分别减去3，�则所得的线段与原线段相比 ； 3．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向左平移3个单位得到的点在（　　） A．第一象限　　　 B．第二象限　　　 C．第三象限　　　D．第四象限 4．将三角形ABC的各顶点的横坐标不变，纵坐标分别减去3，连结所得三点组成的三角形是由三角形ABC（　　） A．向左平移3个单位　　　 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位　　　 D．向下平移3个单位 5．如图，平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为 ． 【知识点三：绝对值与点的坐标】 【典例精析】 例1．已知点P（x，y）在第二象限，且，，则点P的坐标为（ ） A．（－3，5） B．（1，－1） C．（－3，－1） D．（1，5） 【随堂练习】 1．已知点P（x，y），且︱x-2︱+︱y+4︱=0，则点P在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若，，且点M（a，b）在第三象限，则点M的坐标是（ ） A.（5，4） B.（－5，4） C.（－5，－4） D.（5，－4） 3．已知点P（x，），则点P一定（ ） A．在第一象限 B．在第一或第四象限 C．在x轴上方 D．不在x轴下方 4．第二象限内的点P(x，y)满足，，则点P的坐标是 ． 【知识点四：求平面图形的面积】 求面积常用方法：割补法 【典例精析】 例1．如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积． 【随堂练习】 1．过点P分别向坐标轴作垂线，且与坐标轴围成正方形的面积为4，则这样的点P有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2． 已知，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图7所示，点B坐标为（3，-2），则矩形的面积等于　　　 ． 3．已知点A（6，2），B（2，-4），求△AOB的面积．（O为坐标原点） 4．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为 （–2，8），（–11，6），（–9，0），（0，0）． （1）确定这个四边形的面积； （2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？ 5．已知：如图，点A、B、C的坐标分别为A(﹣2，0)，B(0，﹣3)， C(﹣3，﹣5)，求△ABC 的面积． 6．如图所示的平面直角坐标系，使点B、C的坐标分别为（2，0）和（6，0），根据坐标系提供的数据求： （1）点A、D、E、F、G坐标及它们所在的象限； （2）三角形BCF及四边形ABFG的面积． 【提高练习】 1．已知△ABC的A（1，3），B（﹣2，4），C（4，﹣1），将△ABC平移到△A′B′C′，A点平移到A′点 （﹣3，1），则平移后B点的坐标为（　　 ，　　），C点的坐标为（　　 ，　　）． 2．如图所示是某台阶的一部分，如果点A的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）. （1）请建立适当的直角坐标系，并写出C，D，E，F的坐标； （2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标比较有什么变化？ （3）如果该台阶有10级，你能得到该台阶的高度吗？ 3．如图，已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积． 4．如图，已知A.B两村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． （1）汽车行驶到什么位置时离A村最近？写出此点的坐标； （2）汽车行驶到什么位置时离B村最近？写出此点的坐标； 5．如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1 B1，第二次将△变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3． （1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是 ，B4的坐标是 ． （2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是 ，Bn的坐标是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数． （1）画出由里向外的第四个正方形，在第四个正方形上有多少个整点？ （2）请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少个？ （3）探究点（﹣4，3）在第几个正方形的边上（﹣2n，2n）在第几个正方形边上（n为正整数）． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$