2.5.1 直线与圆的位置关系--2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.1 直线与圆的位置关系 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想. 直观想象 数学运算 课前预习 预习01直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离 d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由 消元得到一元二次方程， 可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 预习02直线与圆相交时的弦长求法： 几何法 圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l， 利用r2＝d2＋2解题. 代数法 若交点坐标易求出，求出交点坐标后， 直接用两点间距离公式计算弦长. 弦长公式法 l：y＝kx＋b与圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， 弦长l＝|x1－x2|＝. 预习03求过某一点的圆的切线方程： (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 知识讲解 知识点01 直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 知识点02直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点03圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点04求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【大招总结】 大招1直线与圆位置关系的判断 判断直线与圆位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　 　 　　　 大招2 切线问题 1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 3．求切线长(最值)的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．　　 　 大招3 弦长问题 求弦长的两种方法 (1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋2＝r2求解，这是常用解法． (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．　　　　 大招4直线与圆方程的应用 坐标方法解决平面几何问题的“三步曲” 　 典型例题 题型01直线与圆位置关系的判断判断（直线与圆的位置关系） 【例1】直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交并且直线过圆心　 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【解析】圆心C(1,1)到直线的距离d＝＝，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．故选D 【变式】圆与直线的位置关系为（       ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 题型02 由直线与圆的位置关系求参数 【例2】求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离． 【解析】圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4， 故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝， 圆的半径r＝2. (1)若相交，则d<r，即<2， 所以m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)若相切，则d＝r，即＝2， 所以m＝±2. (3)若相离，则d>r，即>2， 所以m∈(－2，2)． 【变式】直线与圆相切，则（       ） A．3 B． C．或1 D．3或 题型03由直线与圆的位置关系求距离最值 【例3】圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（   ） A．36 B．18 C． D． 【解析】因为圆，即， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为， 故选：D. 【变式】已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值是___________. 题型04求圆的切线方程 【例4】若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________． 【解析】设切线斜率为k，则由已知得： k·kOP＝－1. ∴k＝－.∴切线方程为x＋2y－5＝0. 【变式】过点作圆的切线，则切线方程为（       ） A． B． C． D．或 题型05与切线长有关的问题 【例5】从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______． 【解析】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1， 如图，设，，切线长． 故答案为：2 【变式】过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________． 题型06弦长问题 【例6】在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________． 【解析】因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2 ＝. 【变式】圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于(　　) A. B. C．1 D．5 题型07直线与圆方程的应用 【例7】某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？ 【解析】建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上. 依题意，有A(－10，0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5，0)，E(5,0)．设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有 解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高 3 m,3<3.1，所以该船可以从桥下通过． 【变式】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（       ）米.（注意：≈） A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48 强化训练 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 4．若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为（    ） A． B． C．- D． 5．直线（）与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 6．直线截圆所得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 7．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 8．直线与圆交于A，两点，则当弦最短时直线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交 C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切 10．如图所示，已知直线l的方程是，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．16 11．一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 12．设直线l过点，且与圆相切，则l的斜率是（    ） A．－1 B． C． D． 13．过点作圆：的切线，切线的方程为 ． 14．已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为 . 15．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为 . 16．已知直线是圆的一条对称轴，则 ． 17．求平行于直线且与圆相切的直线的方程． 18．设是圆上一点，求过点且与圆相切的直线方程． 19．已知圆，点P为直线上的动点． (1)若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； (2)若点，直线与圆O的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 20．已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.1 直线与圆的位置关系 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想. 直观想象 数学运算 课前预习 预习01直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离 d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由 消元得到一元二次方程， 可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 预习02直线与圆相交时的弦长求法： 几何法 圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l， 利用r2＝d2＋2解题. 代数法 若交点坐标易求出，求出交点坐标后， 直接用两点间距离公式计算弦长. 弦长公式法 l：y＝kx＋b与圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， 弦长l＝|x1－x2|＝. 预习03求过某一点的圆的切线方程： (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 知识讲解 知识点01 直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 知识点02直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点03圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点04求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【大招总结】 大招1直线与圆位置关系的判断 判断直线与圆位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　 　 　　　 大招2 切线问题 1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 3．求切线长(最值)的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．　　 　 大招3 弦长问题 求弦长的两种方法 (1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋2＝r2求解，这是常用解法． (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．　　　　 大招4直线与圆方程的应用 坐标方法解决平面几何问题的“三步曲” 　 典型例题 题型01直线与圆位置关系的判断判断（直线与圆的位置关系） 【例1】直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交并且直线过圆心　 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【解析】圆心C(1,1)到直线的距离d＝＝，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．故选D 【变式】圆与直线的位置关系为（       ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【解析】将圆的方程化为标准方程：， 得圆心坐标为，半径 则圆心到直线的距离 因为，所以圆与直线相离. 故选：B 题型02 由直线与圆的位置关系求参数 【例2】求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离． 【解析】圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4， 故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝， 圆的半径r＝2. (1)若相交，则d<r，即<2， 所以m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)若相切，则d＝r，即＝2， 所以m＝±2. (3)若相离，则d>r，即>2， 所以m∈(－2，2)． 【变式】直线与圆相切，则（       ） A．3 B． C．或1 D．3或 【解析】圆的圆心坐标为，半径为 又直线与圆相切， 则，解之得或， 故选：D． 题型03由直线与圆的位置关系求距离最值 【例3】圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（   ） A．36 B．18 C． D． 【解析】因为圆，即， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为， 故选：D. 【变式】已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值是___________. 【解析】圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为 ， 所以的最小值为， 故答案为： 题型04求圆的切线方程 【例4】若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________． 【解析】设切线斜率为k，则由已知得： k·kOP＝－1. ∴k＝－.∴切线方程为x＋2y－5＝0. 【变式】过点作圆的切线，则切线方程为（       ） A． B． C． D．或 【解析】由圆心为，半径为， 斜率存在时，设切线为，则，可得， 所以，即， 斜率不存在时，显然不与圆相切； 综上，切线方程为. 故选：C 题型05与切线长有关的问题 【例5】从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______． 【解析】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1， 如图，设，，切线长． 故答案为：2 【变式】过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________． 【解析】圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，示意图如图所示．则圆心为O′(3,4)，r＝.切线长|OP|＝＝2. ∴|PQ|＝2·＝2×＝4. 题型06弦长问题 【例6】在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________． 【解析】因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2 ＝. 【变式】圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于(　　) A. B. C．1 D．5 【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长为2＝2＝.故选A 题型07直线与圆方程的应用 【例7】某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？ 【解析】建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上. 依题意，有A(－10，0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5，0)，E(5,0)．设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有 解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高 3 m,3<3.1，所以该船可以从桥下通过． 【变式】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（       ）米.（注意：≈） A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48 【解析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(-50,0). 可设圆拱所在圆的方程为,由题意可得： 解得： . 所以所求圆的方程为. 将x=-30代入圆方程,得: , 因为y>0,所以. 故选：A. 强化训练 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， ∵点在圆上，∴点P为切点． 从而圆心与点P的连线应与切线垂直． 又∵圆心为，设切线斜率为k， ∴，解得． ∴切线方程为． 故选：D. 2．已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意求出切线长的表达式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为， 设，则，有， 得， 当时，. 故选：C. 3．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果． 【详解】如图，设圆的圆心为，过点P向圆C作切线切点分别为A，B，连接， 则即为两切线的夹角， 由圆得， 所以圆心，半径， 由， ，又， . 故选：B.    4．若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为（    ） A． B． C．- D． 【答案】A 【分析】 由得是等边三角形，从而得到直线的距离，然后由点到直线距离公式求解． 【详解】，则是等边三角形，圆半径为1，因此到直线的距离为， 所以，解得， 故选：A． 5．直线（）与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出直线过的定点，再代入圆的方程判断点在圆内，所以相交. 【详解】由， 所以直线恒过定点， 圆可化为， 因为， 所以点在圆的内部， 所以直线与圆相交. 故选：B 6．直线截圆所得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由圆的方程求圆心和半径，再由点线距离求弦心距，最后应用几何法求直线被圆截得弦长. 【详解】由圆的方程知：圆心为，半径， 所以圆心为到直线距离为， 所以直线被圆截得弦长为. 故选：C 7．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】D 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交但不过圆心， 故选：D. 8．直线与圆交于A，两点，则当弦最短时直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求直线所过定点，结合图形分析，由直线l与CP垂直时弦最短可解. 【详解】由得， 则令，解得，故直线过定点， 由，则圆心，半径， 当时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率， 故直线为，则． 故选：D 9．已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交 C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切 【答案】AC 【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案. 【详解】解：直线过定点， 又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交， 所以A正确，B，D错误， 因为圆心与点间的距离为，圆半径为2. 所以最短弦长为，故C正确，        故选：AC. 10．如图所示，已知直线l的方程是，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】AD 【分析】设移动后圆心坐标为，由圆心到直线的距离求得或，进而求得运动的时间. 【详解】设当圆与直线相切时，设圆心坐标为， 则圆心到直线的距离为，解得或， 所以该圆运动的时间为或. 故选：AD. 11．一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 反射光线一定经过点关于轴的对称点，考虑斜率不存在和斜率存在两种情况，利用点到直线距离等于半径列出方程，求出斜率，得到答案. 【详解】 点关于轴的对称点为，则反射光线一定经过点， 由于圆心为，半径为1， 若反射光线的斜率不存在，此时反射光线方程为，与圆无交点， 设反射光线的斜率为，则可得出反射光线为，即， 因为反射光线与圆相切，则圆心到反射光线的距离，即， 解得或，则反射直线的方程为或. 故选：.      12．设直线l过点，且与圆相切，则l的斜率是（    ） A．－1 B． C． D． 【答案】BD 【分析】直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，求直线斜率. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1, 当直线l斜率不存在时，直线显然与圆不相切. 当直线l斜率存在时，设l：，即. 又l与圆相切，则圆心到直线距离．解得. 故选：BD 13．过点作圆：的切线，切线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得过点的切线与垂直，先求得，即可求得切线的斜率，再根据点斜式即可求得切线的方程． 【详解】因为点在圆上，所以过点的切线与垂直， 又因为，故切线的斜率， 所以切线的方程为，即．      故答案为：． 14．已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆的切线长公式，结合，利用圆的性质，即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为， 如图所示， 根据圆的切线长公式，可得， 则，, 当取最小值时，取最小值，又， 所以此时最小，也最小，取最小值， 圆心到直线的距离， 则，此时， 则. 故答案为：. 15．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为 . 【分析】 由直线与圆的位置关系数形结合计算即可. 【详解】，即过定点， ，即曲线为原点为圆心，2为半径的半圆， 如图所示，设与曲线切于点C，曲线与横轴负半轴交于点B，    则， 16．已知直线是圆的一条对称轴，则 ． 【答案】/ 【分析】根据圆的对称轴经过圆心的性质，将圆心代入直线方程，即可求得答案. 【详解】因为直线是圆的一条对称轴，故圆心在直线上， 又圆的圆心为，所以，得到， 故答案为：. 17．求平行于直线且与圆相切的直线的方程． 【答案】或. 【分析】根据题意，设切线方程为，再结合点到直线的距离公式，即可得到结果. 【详解】设平行于直线的切线方程为， 且圆的圆心为，半径为， 由直线与圆相切可得，解得， 则所求圆的切线方程为或. 18．设是圆上一点，求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】 【分析】依题意设直线方程为，由点在直线上及点在圆上，可得，从而得到切线方程. 【详解】如图所示，所求直线垂直于过切点的半径，    因此是直线的法向量． 故可设直线方程为①．         因为点在直线上，将其坐标代入①式，得②．         又点在圆上，其坐标适合圆方程，即③．             由②、③可解得， 故所求直线方程为． 19．已知圆，点P为直线上的动点． (1)若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； (2)若点，直线与圆O的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）设出P点的坐标，根据切线长与几何关系即可求出P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长. （2）根据题意求出坐标，证明直线与点三点共线即可. 【详解】（1） 根据题意，设， 设两切点为，则，， 由题意可知，即， 解得，所以点P坐标为． 在中，易得， 所以， 所以两条切线所夹劣弧长为. （2） 设， 依题意，直线经过点， 可以设， 和圆联立，得到， 代入消元得到，， 因为直线经过点，所以是方程的两个根， 所以有， 代入直线方程得，． 同理，设，联立方程有， 代入消元得到， 因为直线经过点，所以是方程的两个根， ， 代入得到． 若，则，此时， 显然三点在直线上，即直线经过定点， 若则， 所以有， 所以，所以三点共线， 即直线经过定点． 综上所述，直线经过定点． 20．已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据直线与圆相切，由点到直线的距离公式可得半径，结合圆心坐标即可得解； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式以及弦长公式即可求解. 【详解】（1）设圆A的半径为r，由题意知， 圆心到直线l的距离为，即， 所以圆A的方程为； （2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即， 点A到直线的距离为1，此时，符合题意； 当直线与x轴不垂直时，设，即， 取的中点Q，连接，则， 因为，所以， 又点A到直线的距离为， 所以，解得，所以直线方程为． 综上，直线的方程为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$